图形的平移和旋转
一：知识点
1．平移的定义与规律
关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．
（1）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，•对应点所连的线段平行且相
等（或共线且相等）．
（2）简单作图
平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个
特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．
2．旋转的定义与规律
（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，•这样的图形运
动称为旋转．关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．
（2）旋转的规律
经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应
点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
（3）简单的旋转作图：旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是
相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．
3、如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，求证：OE=OF。
4．如图，已知正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且AE=BE+FD说出AF平分∠DAE的理由。
5、如图，有边长为1的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，•以D为顶点作∠MD
N=60°角，两边分别交AB、AC于M、N的三角形，连结MN，（1）、求证MN=BM+CN；（2）、试说明△AMN的周长为2．（3）、若M,N分别在AB,CA的延长线上，则（1）中结论还成立吗？如果不成立，MN,BM,CN又满足什么关系？
M
6、如图，正方形纸片ABCD和正方形EFDH边长都是1，点E是正方形ABCD的中心，在正
方形EFGH绕着点E旋转过程中，
（1）观察两个正方形的重叠部分的面积是否保持不变？（2）如果保持不变，求出它的值；否则，请简要说明理由。
第3/7页7、操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边A
B的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．（2）三角板绕点P旋转，△PBE能否为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE
为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．
8、如图，在六边形ABCDEF中，已知AB//DE,AF//CD,BC//FE,AB=DE,AF=CD,BC=FE，对角线FD⊥BD,FD=24cm，BD=18cm，你能求出六边形ABCDEF的面积吗？
第4/7页9、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世，著名的大峡谷A和世界级风景保护区星斗山B位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A,B到直线X的距
离分别为10km，40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A,B两景区运送游客。
小
民设计了两种方案，
方案一：如图一，AP于直线X垂直，垂足为P，P到A,B的距离之和为S1=PA+PB
方案二：如图二，点A关于直线X的对称点是D,连接BD交直线X于P,P到A,B距离之和
为S2=PA+PB. （1）求S1，S2，并比较大小（2）请说明S2=PA+PB的值最小。
（3）如图三，拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立图形的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各建一服务区P,Q，使P,A,B,Q组成的
四边形的周长最小，并求最小值。
10、如图（1），已知△ABC是边长为2的等边三角形，D,E,F分别为AB,AC,BC边上的中点，连接DE,DF,EF.将△
ADE向下平移，使得A
点与C点重合，将△BDF向右平移，使得B点与C点重合，（如图2）。
（1）设△
ADE, △BDF, △EFC的面积分别为S1,S2,S3,则，
S1+S2+S3_______3.（用>,=,<填空）
（2）如图3，已知∠AOB=∠COD=∠EOF=60°,AD=C F=BE=2,设△ABO, △CDO, △EFO的面积
分别为S1,S2,S3。
问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由。
F
A
E B C B
D
图2 图3
第5/7页11、已知，如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC。
巩固练习
1、△ABC平移到△DEF的位置，（即点A与点D，点B与点E，点C与点F，是对应点）有
下列说法：①AB=DE;②AD=BE;③BE=CF;④BC=EF其中说法正确个数有……( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、（2003，河南）把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A′B′C′D•′的位置，它们的重叠部分（如图1中的阴影部分）的面积是正方形ABCD•面积的一半，•若
AA′是_______．
（1）（2）（3） 3．（2004，南宁）如图2是两张全等的图案，它们完全重合在叠放在一起按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转_______度角后，•两
张图案构成的图形是中心对称图形． 4、如图，两个全等的正六边形ABCDEF、PQRSTU，其
中点P位于正六边形ABCDEF 的中心，如果它们的面积均为1，则阴影部分的面积是______ ____。
5、如图11-2所示，Rt△A′B′C′是△ABC向右平移3cm所得，已知∠B＝60°，B′C＝
5cm，则∠C′＝_____________，B′C′＝_____________cm．
6.如图所示，直角△AOB顺时针旋转后与△COD重合，若∠AOD＝127°，则旋转角度是
7．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别在D′、C′位置，若∠EFB=65°，则∠AED′=_________. 8．四边形ABCD为长方形，△ABC旋转后能与△AEF重合，旋转中
心是点
旋转了多少度；连结FC，则△AFC是三角形。
第6/7页9．如图11-5，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕B点逆时针旋转，使得B、O两点的对应点分别为C、D，则旋转角为_____________，图中除△ABC外，还有等边三形是________ _____．
12．如图11-6，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针
方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有_____________．
13、(青岛市)如图，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若
将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB ，则点P与点P' 之间的距离为多少，∠APB？P
图9
C
13、如图①，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=
1
AB， 2
（1）求证：△ABE≌△ADF。
（2）阅读下列材料：如图②，把△ABC沿直线平移线段BC
的长度，可以变到△ECD的位置；如图③，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC
的位置；如图④，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样其
中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换。
请回答下列问题：
<1>在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置？
<2>指出图①中线段BE与DF之间的关系.。