云南、四川、贵州、西藏四省名校2021届高三数学第一次大联考试题文本试卷共4页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{x∈N|x2－x－2<0}，集合B＝{x|x>0}，则A∩B＝A.1B.[1，2)C.{1}D.(－1，＋∞)2.已知复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知a＝log52，b＝ln2，c＝log523，则A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a4.曲线f(x)＝xex在点(2，f(2))处的切线方程为A.y＝24ex＋22eB.y＝24ex C.y＝－24ex＋22eD.y＝－24ex5.祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家以及天文学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年。

为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率π的值。

正三角形的边长为4，若总豆子数n＝1000，其中落在圆内的豆子数m＝618，则估算圆周率π的值是(为方便计算3取1.70，π的值精确到0.01)A.3.13B.3.14C.3.15D.3.166.已知圆C过点A(0，2)且与直线y＝－2相切，则圆心C的轨迹方程为A.x2＝4yB.x2＝8yC.x2＝－4yD.x2＝－8y7.已知α为锐角，且满足sinα－cosα＝33，则cos2α的值为A.±53B.53C.－2D.－538.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝23π，b＝2，且△ABC的面积为3，则a的值为A.12B.8C.22D.239.在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上运动，则MA MB⋅的最小值为A.－1B.0C.1D.310.一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为A.8＋2B.12C.16＋2D.12＋211.已知圆C：x2＋y2－2x－3＝0，直线l：y＝kx＋1与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时k的值为－1 D.12.已知函数f(x)＝sinxcos2x ，关于函数y ＝f(x)有下列命题：①f(3π)＝ ②f(x)的图象关于点(2π，0)对称； ③f(x)是周期为π的奇函数； ④f(x)的图象关于直线x ＝2π对称。

其中正确的是A.①④B.②③C.①③D.②④第II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.若x ，y 满足约束条件x y 202x y 20y 0+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则z ＝x －2y 的最大值为 。

14.2020年新冠肺炎疫情期间，为停课不停上教课学习效果，组织了一次网上测试。

并利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生 人。

15.设双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点为F ，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且|OA|＝2|AF|，O 为坐标原点，则C 的离心率为 。

16.在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，顶角为120°，以底边BC 所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2是a 1，a 4的等比中项。

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当数列{a n }的公差d>0时，求数列n 1(1)n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和T n 。

18.(本小题满分12分)西尼罗河病毒(WNV)是一种脑炎病毒，通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类。

1999年8－10月，美国纽约首次爆发了WNV脑炎流行。

在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV的复制，抑制其对细胞的致病作用。

现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了使生产效率提高，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x(千克)和利巴韦林含片产量y(百盒)的统计数据如下：由相关系数r可以反映两个变量相关性的强弱，|r|∈[0.75，1]，认为两个变量相关性很强；|r|∈[0.3，0.75)，认为两个变量相关性一般；|r|∈[0，0.3)，认为两个变量相关性较弱。

(1)计算相关系数r，并判断变量x、y相关性强弱；(2)根据上表中的数据，建立y关于x的线性回归方程y bx a=+。

为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林?参考数据：660≈25.69。

参考公式：相关系数r＝12211()()()()ni iin ni ii ix x y yx x y y===----∑∑∑，线性回归方程y bx a=+中，121()()ˆˆˆ,()ni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑。

19.(本小题满分12分)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝12AA1＝1，E是棱AA1的中点，EC＝3。

(1)求证：平面EDD1⊥平面EDC；(2)求三棱锥D 1－DEC 的体积。

20.(本小题满分12分)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是C 的上顶点，且直线PF 2(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2作两条互相垂直的直线l 1，l 2。

若l 1与C 交于A ，B 两点，l 2与C 交于D ，E 两点，求|AB|＋|DE|的最大值。

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－32x 3＋ax 2。

(1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设a ＝1，当x ≥12时，f(x)>x(k －e x )，求实数k 的取值范围。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程。

在直角坐标系xOy 中，曲线D 的参数方程为2x t y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数，t ∈R)。

点A(－1，0)，点B(1，0)，曲线E 上的任一点P 满足13PA PB =。

以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求曲线D 的普通方程和曲线E 的极坐标方程；(2)求点P 到曲线D 的距离的最大值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|3x －1|＋|3x ＋a|，g(x)＝x ·f(x)，h(x)＝x 2－5x －3。

(1)若f(x)≥3恒成立，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a(其中a>－1)，使得∀x ∈[－3a ，13]，都有不等式g(x)≥h(x)恒成立?若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由。