DC=BC
∴AE=AF
AC=AC
∴△ ADC≌△ ABC（SSS）
∴∠ B=∠ D ∵ E、 F 分别是 DC、 BC的中点
D E
又∵ BC＝ DC ∴ DE=BF ∵在△ ADE和△ ABF中
AD=AB
A
C
F B
20. 如图，在四边形 ABCD中， E 是 AC上的一点，∠ 1=∠2，∠ 3=∠4，求证 : ∠5=∠6．
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点的直线于 E，直线 CE交 BA的延长线于 F． 求证： BD=2CE．
证：∵∠ CEB=∠ CAB=9°0 ∠ ADB=∠ CDE
在△ ABD中，∠ ABD = 180°- ∠CAB-∠ADB 在△ CED中，∠ DCE = 180°- ∠CEB-∠CDE ∴∠ ABD =∠ DCE 在△ ABD和△ ACF中
∴ BD=2CE
14. 如图： DF=CE， AD=BC，∠ D=∠C。求证：△ AED≌△ BFC。
证明：∵ DF=CE，
∴DF-EF=CE-EF， 即 DE=C，F
D
E
F
C
在△ AED和△ BFC中，
∵ AD=BC， ∠D=∠C ， DE=CF
∴△ AED≌△ BFC（ SAS）
A
B
15. 如图： AE、 BC交于点 M，F 点在 AM上， BE∥CF， BE=CF。
CE 平分∠ BCD
∵ BE平分∠ ABC
CE=CE
∴∠ ABE=∠FBE
∴⊿ DCE≌⊿ FCE（AAS）
又∵ BE=BE
∴CD=CF
∴⊿ ABE≌⊿ FBE（SAS）
∴BC=BF+CF=AB+CD
∴∠ A=∠ BFE
∵ AB//CD
∴∠ A+∠ D=180o
∵∠ BFE+∠CFE=180o
∴∠ D=∠ CFE
BE=CF ∠B=∠Ｃ
∴△ BEM≌△ CFM（ SAS） ∴CF=BE
BM=CM
19. 已知：如图所示， AB＝AD， BC＝DC，E、F 分别是 DC、 BC的中点，求证： AE＝AF。
证：连接 AC
∠ D=∠ B
∵在△ ADC和△ ABC中
DE=BF
AD=AB
∴△ ADE≌△ ABF（SAS）
证明： 在 AE上取 F，使 EF＝EB，连接 CF ∵ CE⊥AB ∴∠ CEB＝∠ CEF＝90° ∵ EB＝EF，CE＝ CE，
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∴△ CEB≌△ CEF
∴∠ B＝∠ CFE
∵∠ B＋∠ D＝180°，∠ CFE＋∠ CFA＝180°
∴∠ D＝∠ CFA
∵ AC平分∠ BAD
D．求证： AD+BC=AB． 证明： 在 AB上取 F，使 AF＝AD，连接 EF ∵ AE平分∠ DAB
P
C
E
D
∴∠ DAE=∠FAE
A
B
在⊿ ADE和⊿ AFE中
AD＝ AF ∠DAE=∠FAE AE = AE ∴⊿ ADE≌⊿ AFE（SAS） ∴∠ ADE=∠AFE ∵ AB//CD ∴∠ ADE+∠C=180o ∵∠ AFE+∠BFE=180o ∴∠ C=∠ BFE ∵ BE 平分∠ ABC
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∴∠ MAO＝∠ MBO＝90
∵OM＝ OM
∴△ AOM≌△ BOM （ AAS）
∴OA＝ OB
∵ON＝ ON
∴△ AON≌△ BON （ SAS）
∴∠ OAB=∠OBA，∠ ONA∠= ONB
∵∠ ONA∠+ ONB＝ 180
∴∠ ONA＝∠ ONB＝90
∴OM⊥ AB
11. 如图，已知 AD∥BC，∠ PAB的平分线与∠ CBA的平分线相交于 E，CE的连线交 AP于
证：∵ CF=CE+EF
AB=CD
EB=EF+FB
∠ABF =∠ DCE
又∵ CE=FB
BF=CE
∴ CF=EB
∴△ ABF≌△ CDE (SAS)
在△ CDF与△ ABE中
∴AF=ED
AB=CD AE=DF BE=CF
A
B
F
∴△ CDF≌△ ABE(SSS)
∴∠ DCB=∠ABF
E
在△ ABF与△ CDE中
A
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证明：延长 AB取点 E，使 AE＝AC，连接 DE ∵ AD平分∠ BAC ∴∠ EAD＝∠ CAD ∵ AE＝AC，AD＝ AD ∴△ AED≌△ ACD （SAS） ∴∠ E＝∠ C ∵ AC＝AB+BD ∴ AE＝AB+BD ∵ AE＝AB+BE ∴ BD＝BE ∴∠ BDE＝∠ E ∵∠ ABC＝∠ E+∠BDE ∴∠ ABC＝2∠E ∴∠ ABC＝2∠C 5、已知： AC平分∠ BAD，CE⊥ AB，∠ B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE
证明：∵在△ ADC和△ ABC中
∴△ DEC≌△ BEC（SAS）
∠BAC=∠ DAC
∴∠ DEC=∠BEC
∠BCA=∠ DCA
AC=AC ∴△ ADC≌△ ABC（AAS） ∵ AB=AD，BC=CD 在△ DEC与△ BEC中
CE=CE
D
A
1
5
3
2
E6
4
C
B
∠BCA=∠ DCA
BC=CD
21. 如图，在△ ABC中， AD为∠ BAC的平分线， DE⊥AB于 E， DF⊥AC于 F。
9. 如图，在△ ABC中， BD=DC，∠ 1=∠2，求证： AD⊥ BC．
解：延长 AD至 BC于点 E,
∵BD=DC ∴△ BDC是等腰三角形
∴∠ DBC=∠DCB
又∵∠ 1=∠2 ∴∠ DBC+∠1=∠DCB+∠２
即∠ ABC=∠ACB
∴△ ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ ABD和△ ACD中
初一典型几何证明题
1、已知： AB=4，AC=2，D是 BC中点， AD是整数，求 AD
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解：延长 AD到 E, 使 AD=DE
∵ D是 BC中点
A
∴ BD=DC
在△ ACD和△ BDE中
AD=DE ∠ BDE=∠ ADC
B
C
D
BD=DC
∴△ ACD≌△ BDE
∴ AC=BE=2
∵在△ ABE中
AB-BE＜AE＜ AB+BE
A 12
F
C D E B
过 C 作 CG∥EF 交 AD的延长线于点 G CG∥EF，可得，∠ EFD＝ CGD DE＝DC ∠FDE＝∠ GDC（对顶角） ∴△ EFD≌△ CGD EF＝CG ∠CGD＝∠ EFD 又， EF∥AB ∴，∠ EFD＝∠１ ∠1=∠２ ∴∠ CGD＝∠２ ∴△ AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG ∴ EF＝AC 4、已知： AD平分∠ BAC，AC=AB+B，D求证：∠ B=2∠C
AB=AC
∠1=∠２
BD=DC
∴△ ABD和△ ACD是全等三角形（边角边）
∴∠ BAD=∠CAD
∴AE是△ ABC的中垂线
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC
10. 如图， OM平分∠ POQ， MA⊥OP, MB⊥OQ， A、 B 为垂足， AB交 OM于点 N． 求证：∠ OAB=∠OBA 证明： ∵OM平分∠ POQ ∴∠ POM＝∠ QOM ∵MA⊥ OP，MB⊥OQ
∴ BF=EF,∠ CBF=∠ DEF 连接 BE 在△ BEF中 ,BF=EF ∴ ∠ EBF=∠ BEF。 ∵ ∠ ABC=∠ AED。 ∴ ∠ ABE=∠ AEB。 ∴ AB=AE。 在△ ABF和△ AEF中 AB=AE,BF=EF, ∠ ABF=∠ ABE+∠ EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ ABF≌△ AEF。 ∴ ∠ BAF=∠ EAF ( ∠1=∠ 2) 。 3、已知：∠ 1=∠2，CD=D，E EF//AB，求证： EF=AC
∵ AB=4
即 4-2 ＜2AD＜ 4+2
1＜AD＜3
∴ AD=2
2、已知： BC=DE，∠ B=∠ E，∠ C=∠ D， F 是 CD中点，求证：∠ 1=∠ 2
A 12
B
E
C
F
D
证明：连接 BF 和 EF ∵ BC=ED,CF=DF∠, BCF=∠EDF ∴△ BCF≌△ EDF (S.A.S)
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AB=AC
∴△ FBD≌△ FCD(SAS)
BD=DC
∴BF=FC
AD=AD
A
∴△ ABD≌△ ACD(SSS)
∴∠ ADB=∠ADC
D
∴∠ BDF=∠FDC
在△ BDF与△ FDC中
B
C
BD=DC
∠ BDF=∠ FDC
F
DF=DF
17. 如图： AB=CD， AE=DF，CE=FB。求证： AF=DE。
∴∠ DAC＝∠ FAC
∵ AC＝AC
∴△ ADC≌△ AFC（SAS）
∴ AD＝AF
∴ AE＝AF＋FE＝ AD＋BE
6、如图，四边形 ABCD中， AB∥DC，BE、CE分别平分∠ ABC、∠BCD，且点 E 在 AD上。求
证： BC=AB+D。C
又∵∠ DCE=∠FCE
在 BC上截取 BF=AB，连接 EF
C
D
18. 公园里有一条“ Z”字形道路 ABCD，如图所示，其中 AB∥ CD，在 AB，CD，BC三段路