k 1 p 1 / 3
,k P ( X k ) p 1 p 1 , 2 , i
(几何分布)
1 1 p E ( X ) 3 ,D ( X ) 2 6 i i p pp p 1 / 3 1 / 3
X , X , , X 相互独立, X X k 1 2 100
由此解得
n5 1 0 5
定理7: (李雅普诺夫定理)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,…相
互独立,它们具有数学期望和方差:
E (X k) k D (X 0 ( k 1 ,2 ,...) k)
2 k
设 B , 若存 在 , 使 正 得 n 数 时 当 ,
的分布函数 F (x ) 对于任意 x ,满足 n
n
2 t x 2
1 1 lim F ( x ) lim P { ( X ) x } edt n k k n n B 2 k 1 n
例6 某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加人寿 保险，已知该类人在一年内死亡的概率为0.006，每 个参加保险的人在年初付12元保险费，而在死亡时 家属可向公司领得1000元。问在此项业务活动中： (1) 保险公司亏本的概率是多少？
dt
例4 某车间有200台车床，每台独立工作， 开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因 供电不足而影响生产？
解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力， X 为开工的车床数 , 则 X ~ B(200,0.6) ,
k
或近似服从正态分布.
对此现象还 可举个有趣 的例子—— 高尔顿钉板 试验—— 加 以说明.



N(0, n )
n—
钉子层数
3
0
3
例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
k 1
100
E ( X ) 300 ,D ( X ) 600
由独立同分布中心极限定理, 有
X ~ N ( 300 , 600 )( 近似 )
320 300 280 30 P ( 280 X 320 ) 600 60
Xk
P
10 0.5
20 0.5
E ( X ) 15 ,D ( X ) 25 k k
X , X , , X 相互独立同分布, X X k 1 2 1900
k 1 1900
E (X ) 1900 15 28500 D (X ) 1900 25 47500
近似
X~N ( 28500 , 47500 )
5.2 中心极限定理
定理5: (独立同分布的中心极限定理)设随机变量 X1 ,X2 ,…,Xn ,…相互独立,服从同一分布,且具有数学 期望和方差，E(Xk)=, D(Xk)= 20( k=1,2,…).则随 机变量
k 1 Y n
X E(X ) X n
k k 1 k
n
n
n
D ( X k)
{X120 } P{X>120}=1- P
X 60 120 60 1 P { } 59 . 64 59 . 64
1 ( 7 . 7693 ) 0
X 60 80 60 P { X 80 } P { } ( 2 . 5898 ) 0 . 995 59 . 64 59 . 64
由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理, 有
X ~ N (120, 48) (近似)
问题转化为求 a , 使 P ( 0 rX a ) 99 . 9 %
a / r 120 0 120 P ( 0 rX a ) 48 48
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 中心极限定理估计, n 多大
时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出
现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A
发生的次数 , 则
X ~ B(n,0.75)
E ( X ) 0 . 75 n , D ( X ) 0 . 1875 n

200 200 0 20 (2) P ( 0 X 200 ) 15 15
( 0 ) ( 13 . 33 ) 0 . 5

例2 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路 人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售 了100份报时过路人的数目，求 P (280 X 320). 解 令Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出 第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,…,100
20 2 0 . 8165 1 0 . 587 2 1 600
例3 检验员逐个检查某产品,每查一个需 用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次， 再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率 为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多 于1900个的概率. 解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时. 设 X 为检查1900 个产品所用的时间(秒) 设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间 (单位：秒), k = 1,2,…,1900
解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则 X ~ B( 6000 , 1/6 )
由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理, 近似 5000 有 X~N 1000 , 6
X 1 X 100 60 P 0 .01 P 6 6000
1060 1000 940 1000 6 5000 6 5000
0 . 9162

(n1 ,2 ,...) 定理6: (德莫佛-拉普拉斯定理)设随机变量 n
服从参数为 n , p(0<p<1) 的二项分布，则对于任意 x,有
np 1 n lim P { x } e n np ( 1 p ) 2
2 t x 2
P ( 10 1900 X 3600 8 ) p ( 19000 X 28800 )
28800 28500 19000 2850 47500 47500
1 . 376 43 . 589
中心极限定理
X 1 P 0 . 01 0 . 962 6 6000
Poisson 分布
X 1 P 0 . 01 0 . 937 6 6000
X 1 0 . 01 0 . 768 Chebyshev 不等式 P 6 6000
100 k 1
X X ,E ( X ) 200 ,D ( X ) 225 , k
由独立同分布中心极限定理, 有
X ~N ( 200 , 225 )
近似
180 200 (1) P ( X 180 ) 1 15
1 ( 1 . 3 ) ( 1 . 3 ) 0 . 91
60 60 6 6 5000 5000
60 2 1 0 . 9624 6 5000
比较几个近似计算的结果
X 1 0 . 01 0 . 959 二项分布(精确结果) P 6 6000
k 1
n
k1
k
n
的分布函数Fn(x) , 对于任意x ,有
n X n x t2 k 1 2 k 1 lim F ( x ) lim P x e dt n n n n 2
中心极限定理的意义
2 n k 1 2 n
n
1 n 2 lim E { X } 0 k k 2 n B 1 n k
k 1 则随机变量 Z n
X E ( X) X
k k 1 k
n
n
n
n
D ( X k)
k 1
n
1 k
k
k 1
k
B n
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数
X , X , , X 相互独立， 1 2 100
2 E ( X ) 2 , D ( X ) 1 . 5 , k 1 , 2 , , 10 k k
设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则
X 0 . 7 5 n 0 . 0 1 P n . 1 8 7 5 n 0 . 1 8 7 5 0
. 0 1 0 2 n 1 0 . 9 0 . 1 8 7 5 0
0 .0 1 由此可得 n0 .9 5 .1 8 7 5 0 0.01 查表可得 n 1.65 0.1875
a/ r 120 48
(17.32) 0
反查标准正态函数分布表，得
3 . 09 99 . 9 %
令
a 120 r 3.09 48
解得
a ( 3 . 09 48 120 ) r 141 r (千瓦)
例5 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种 比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.