精密三角高程三角高程测量Trigonometric Leveling目录：1．三角高程测量原理、基本公式、误差分析 (1)1.1 单向观测计算高差的基本公式 (1)1.2 三角高程测量严密公式 (3)1.3 三角高程的精度估计公式 (6)1.3.1 单向观测高差的精度估算公式.. 61.3.2 对向观测高差的精度估算公式.. 71.3.3 理论结论 (8)2 垂线偏差与大气折光相关研究 (14)2.1垂线偏差 (14)2.1.1天文大地测量方法 (16)2.1.2 重力测量方法 (16)2.1.3 天文重力方法 (17)2.1.4 GPS测量方法 (17)2.2 大气折光系数的计算 (18)2.2.1实测法 (18)2.2.2 反演法 (19)2.3 削弱垂直折射的方法 (21)2.4 往返观测与近似对向观测试验(于雷) 231． 三角高程测量原理、基本公式、误差分析三角高程测量如下图所示：图1.1 三角高程测量原理若A 点的高程已知为A H ，则B 点高程为：v i S H h H H A AB A B -+⋅+=+=αtan （1.1）应用上式时要注意竖角α的正负号，当为仰角时取正，为俯角时取负号。

凡仪器设置在已知高程点，观测该点与未知高程点之间的高差称为直觇；反之，仪器设在未知高程点，测定该点与已知高程点之间的高差称为反觇。

1.1 单向观测计算高差的基本公式在三角高程测量基本公式1.1中，没有考虑地球曲率与大气折光对所测高差的影响。

在A 、B 两点相距较远时，则必须顾及地球曲率和大气折光的影响，二者对高差的影响称之为球气差。

如下图所示，设0S 为A 、B 两点间的实测水平距离，仪器置于A 点，仪器高度为i 。

B 点为照准点，觇标高度为v ，R 为参考椭球面上⌒''B A 的曲率半径。

⌒PE 、⌒AF 分别为过P 点和A 点的大地水准面。

PC 是⌒PE 在P 点的切线，⌒PN 为光程曲线。

当位于P 点的望远镜指向与⌒PN 相切的PM 方向时，由于大气折光的影响，由N 点出射的光线正好落在望远镜的横丝上。

这就是说，仪器置于A 点测得P 与N 间的垂直角为α。

图1.2 地球曲率和大气折光的影响如上图所示：A 、B 两点间的高差为：NB MN EF CE MC BF h --++==12 （1.2）式中，EF 为仪器高i ；NB 为照准点的觇标高度v ；而CE 和MN 为地球曲率和大气折光的影响：2021S RCE =，20'21S R MN = 式中，'R 为光程曲线⌒PN 在N 点的曲率半径。

设K RR ='（大气垂直折光系数），则大气折光为： 202S RK MN = 由于B A 、两点之间的水平距离0S 与曲率半径R 之比值很小（当km S 100=时，0S 所对的圆心角仅'5多一点），故可认为PC 近似垂直于OM ，即认为090≈∠PCM ，这样PCM ∆可视为直角三角形。

则式1.2中的MC 为：αtan 0S MC =将各项代入公式1.2，则B A 、两地面点的高差为：v i S RK S v S R K i S R S h -+-+=--++=200202002,121tan 221tan αα （1.3）令式中C RK =-21（一般称为球气差系数），则单向观测计算高差的基本公式： v i CS S h -++=20012tan α （1.4）其中，竖直角α，仪器高i 和觇标高或棱镜高v 均可由外业观测得到。

0S 为实测的水平距离，一般要归算为高斯平面上的长度d 。

光电测距三角高程测量可按斜距计算高差公式为：v i RD K D h -+-+=αα22cos 2)1(sin （1.5） 其中，h 为测站与棱镜之间的高差，α为竖直角，D 为经气象改正后的斜距，K 为大气折光系数，i 为经纬仪水平轴到地面点的高度，v 为反光镜瞄准中心到地面点的高度。

由公式1.5可知，三角高程测量的精度受到边长误差、竖直角观测误差、大气折光误差、仪器高和目标高的量测误差等多个因素的影响。

1.2 三角高程测量严密公式三角高程测量求得的高差应该是相对参考椭球面的椭球面高差，即大地高高差，其垂直角是以椭球面的法线为准。

而垂直角的测量值是以大地水准面的垂线为准，在推导三角高程测量计算高差的公式时，并没有考虑到垂线偏差对观测垂直角的影响，这就意味着在导出这些公式时已经假设测站点的垂线与椭球面的法线重合（即不存在垂线偏差）的假定。

实际上，大地水准面是一个不规则的曲面，相对于参考椭球面总是有起伏的，不可能互相平行，而且，不管参考椭球的元素和定位如何恰当，大地水准面不可能与参考椭球处处相互吻合，由此可见，地面上一点的垂线与法线一般是不重合而相交成一个角度，这个角度就是垂线偏差。

大地水准面与参考椭球面不重合而在垂直方向有一段距离，这段距离就是大地水准面差距。

严格来讲，垂线是一条空间曲线，地面上的两点的垂线切线是两条空间异面直线。

一般文献导出的三角高程公式函数模型达厘米级，下面推导严密的三角高程公式。

图1.3 图1.4在图1.3中平面三角形12PP O 中存在关系：()()εδcos cos ''2'2'1'11'12,1R h R h Z D +=+++ ()2''22''2'290cos ϕ-︒-+≈+OO R h R h即：()()()εϕδcos 90cos cos 2''22'1'11'12,1-︒-+=+++OO R h R h Z D （1.6）利用和差化积公式，将1.6展开并略去二次小项得：()()()2''22'222'2'222''22'1'11'12,1'12,1sin 222sin 21cos sin cos sin sin cos ϕεεϕεεϕεδOO R h R h OO R h OO R h R h Z D Z D -+-+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=++- 设测站点地面的正常高是r h 1，仪器高是1r ；照准点地面的正常高是rh 2，觇标高是2v ，显然有：111i h h r -=，222v h h r -=。

又R S K 211≈δ，S Z D ≈'2sin ，代入上式经整理可得：()()2''1'221'2221'12,112sin 2222cos ϕεεOO R R S R KR h v i Z D h h r r +---++-+=- （1.7）由图1.4可知： ()()()11221122180180180180Z Z Z Z δδεεδδ''''⎡⎤⎡⎤-++-++=-=-+++⎣⎦⎣⎦ ()12180Z Z γ-=-+由大地天顶距Z 和观测天顶距Z '有以下关系：111122122Z Z Z Z KS Rεδεδδ'=++'=++=则得到： ()()()11222121180Z Z γδδεεεεε''-=-++++-=-+- 即：()21εγεε=+-代入公式1.7中可得：斜距单向观测三角高程计算正常高高差的公式：()2121211,21122121cos sin 22r r K l h h D Z i v S R R OO R εεϕρ--''''-=+-++--+''（1.8） 其反向观测公式为：()2221122,12212111cos sin 22r r K l h h D Z i v S R R OO R εεϕρ--''''-=+-+-+-+''（1.9） 取正、反向观测的平均值得出双向观测方程：()()()()()221211,212,122121212112111cos cos 22241sin sin 22r r K K h h D Z D Z i i v v S R l R R OO εεϕϕρ-''-=-----+-'''+--+-''（1.10） 公式中，l 为平均高程面上的平距；可以用椭球近似来估算()()12211sin sin 2OO R R ϕϕ'''---项；式中的()21εε-为地面1P ，2P 点相对垂线偏差在测线方向上的分量，是一个可以用地面测量值计算的量。

该三角高程测量函数模型误差小于0.5mm ，满足高精度三角高程的应用。

当由它们组成高精度三角高程测量闭合或附合线路时，与水准测量一样应考虑水准面不平行改正。

由公式1.10可知，若不考虑后三项改正，将产生系统误差，其中最主要的是两观测点在观测时间内的折光差系数之差异，这种差别与对向观测时间间隔的长短，观测时的天气情况及视线高度有关。

显然山区折光差的影响比平原小，但垂线偏差变化大，因此在山区进行高精度三角高程测量应加入相对垂线偏差改正。

1.3 三角高程的精度估计公式1.3.1 单向观测高差的精度估算公式为了估算EDM 三角高程测量的精度，对公式1.8中的各观测量进行微分（略去下标1、2）得：211cos sin 2K S l dh Z dD D Z dZ S dS dk d di dv R R ερ-=⋅+⋅⋅+⋅⋅-⋅++-'' （1.11） 上式中右端第3项很小（当S ＜10km 时，其值＜0.1mm ）可忽略不计，将微分转换成中误差，则单向观测高差精度公式：22222222222sin cos ()22h D k i D Z S l m Z m m m m m R αερρ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+ ⎪ ⎪''''⎝⎭⎝⎭ （1.12） 式中认为i m =v m1.3.2 对向观测高差的精度估算公式由于对向观测的时间间隔较短，往返测的k 值有一定的相关性，因此不能认为它们是彼此独立的。

于是有关k 的项，即2214k k S R-项中的21k k k ∆=-宜单独作为一个观测量考虑。

则由公式1.10可写出往返测高差的精度估算公式： 2222222222211sin 1cos ()2242h D k i D Z S l m Zm m m m m R αερρ∆⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪''''⎝⎭⎝⎭（1.13） 对向观测是三角高程测量的主要观测方案之一，于是针对这种方案进行精度估计具有代表性。