现值PV=15000(元)，终值FV=200000元， t=18年，求解收益率
200000=15000×（1+r）18 r=15.48%
例题6：确定利率。
美国前总统富兰克林死于1790年。他在自己的 遗嘱中写道，他将分别向波士顿和费城市政府 捐赠l 000美元用于设立奖学金。捐款必须等他 死后200年方能捐出使用。1990年时，付给费 城的捐款已经变成200万美元，而给波士顿的 已达到450万美元。问两个城市的投资收益率 各为多少?
在65岁时成为百万富翁，今天你要拿出多少钱 来投资? 解：确定变量：FV=100万元，r=10％，t=6521=44，PV=? 代人终值算式中并求解现值： 1000000=PV×(1.10)44 PV=15091
例题5：确定利率。
假设你的子女在18年后将接受大学教育， 预计届时需要的学费总20万元。你现在 有15000元可以用于投资，问需要怎样的 回报率才能实现该目标?
年金是指在一定时期内一组等值现金流（不特 殊说明，我们一般认为年金为期末年金）
计算普通年金现值的例子
例如，某甲赢了一项博彩大奖，在以后
的20年中每年将得到5万元的奖金，一年 以后开始领取。若市场的年利率为8%， 请问这个奖的现值是多少？
该奖项的现值
50000
[
1 0.08
0.08
1 1.0820
例题2：
张三购买了金山公司首次公开发售时的股 票。该公司的分红为每1．10元，并预计 能在未来5年中以每年40％的速度增长。 5年后的股利为多少? 解析：
FV=C0× (1+r)T=1.10×(1.40)5=5.92(元)
一年内对你的金融资产计m次复利，T年后， 你得到的价值是：
FV
C0
(1
r )mT m
（1）投资未提前结束 （2）投资期内的所有现金流都按到期收益率进
行再投资。 有可能面临再投资风险（Reinvestment Risk）
利率折算惯例
年利率通常用%表示; 月利率用‰表示； 日利率用‱表示。 注意计复利的频率。利率的完整表达应
该是1年计1次复利的年利率、1年计4次 复利的年利率等。若无特殊说明，利率 均指在单位时间中计一次复利。
年的现值； 现值计算是终值的逆运算。简单地说，终值计算是将现在
一笔钱计算为未来某一时刻的本利和。而现值计算，则 是将来一笔钱相当于现在多少钱的计算方式，这是货币 时间价值计算中最基本也是最重要的换算关系。 随着期限T的增长，现值贴现因子将变小，即同样一笔钱， 离现在越远，现值越小；随着利率r的提高，现值贴现 因子1／(1+r)T将减小，即同样一笔钱，贴现率越大， 现值越小。反之，随着期限T的增长，终值复利因子 （1+r）T将增大。即同样一笔钱，离现在越远，终值越 大，利率越大，终值越大。
（6.7）
年金的到期收益率
例如，一笔面额为1000元的抵押贷款，期限 为25年，要求每年支付126元。那么，我们可
以按照下面的公式计算这笔贷款的现值，并使
之与贷款今天的价值（1000元）相等，从而计 算出这笔贷款的到期收益率。
PV
126 1 y
126 (1 y)2
126 (1 y)3
126 (1 y)25
1 y)n
y
+
(1
F y)n
（6.9.2）
格上升。
我们将（6.9）简化：
举例：面值1000美元10年到期，票面利率10%， 试计算如果投资者要求3%、5%、15%、25%到期收 益率时的债券价格。（假设息票按年支付）
当到期收益率为3%时，Y=0.03,C=100,F=1000,n=10, 我们代入（6.9.2）:
金融市场利率与价格形成机制
金融工具分类
简易贷款 年金 附息债券 贴现债券
简易贷款
贷款人在一定期限内，按照事先商定的 利率水平，向借款人提供一笔资金（或 称本金）；至贷款到期日，借款人除了 向贷款人偿还本金以外，还必须额外支 付一定数额的利息。
年金
年金是指在一段固定时期内有规律地收 入（或支付）固定金额的现金流。如养 老金、租赁费、抵押贷款等。
PV=C1/1+r （二）多期的终值和现值
多期的终值的计算公式： FV=PV×（1+r）T 多期中的现值计算公式： PV=FV/(1+r)T
其中，(1+r)T是终值复利因子，1/(1+r)T为现值贴现因子 终值复利因子是指1元钱在投资报酬率为r的前提下投资T
年的终值； 现值贴现因子是指1元钱在投资报酬率为r的前提下贴现T
FV P0 1 r n （6.1）
现值的计算公式
如果r代表利率水平，PV代表现值，FV代 表终值，n代表年限，那么计算公式如下：
PV
FV (1 r)n
（6.2）
普通年金的现值计算公式
PV
A[1 r
1
r1
rn ]
（6.3）
其中, A表示普通年金，r表示利率，n表示年金 持续的时期数。
1、年金的现值就是现金流的折 现。
PV
C 1 r
C (1r )2
C (1r )3
C r
1
1 (1r )T
C (1r )T
例题7：
加拿大的银行公布的按揭利率是年利率，但却为半年复 利计息，而还款计划往往按月支付。假如你从加拿大 银行按揭了10000加元，25年期，年利率为7.4％，半 年复利计息。你的月供款(月底)为多少?
]
=50000×9.8181
=490，905元
普通永续年金
当n趋于无穷大时，普通年金就变成普通永 续年金,其现值公式为：
PV
A[ 1 r
r
1
1
r
n
]
PV=A/r
(6.4)
实际上，n期普通年金就等于普通永续年金减 去从n+1期开始支付的永续年金。
普通年金的终值计算公式
FV A[1 rn 1]
当附息债券的购买价格与面值相等时， 到期收益率等于息票率。
当附息债券的价格低于面值时，到期收 益率大于息票率；而当附息债券的价格 高于面值时，到期收益率则低于息票率。
附息债券的价格与到期收益率负相关。
贴现债券的到期收益率
例如，一张面额为1000元的一年期国库 券，其发行价格为900元，一年后按照 1000元的现值偿付。那么，
P=100
1-
(1
1 0.03)10
0.03
=1597.11（美元）
当n=4%时，P=USD1386.9
当n=15%时，P=USD749.06
当n=25%时，P=USD464.62
+
(1
1000 0.03)10
例子
例如，一张息票率为10%、面额为1000
元的10年期附息债券，每年支付息票利
1000
查表可得，y＝12％
附息债券的到期收益率
如果P0代表债券的价格，C代表每期支付 的息票利息，F代表债券的面值，n代表 债券的期限，y代表附息债券的到期收益 率。那么我们可以得到附息债券到期收 益率的计算公式：
P0
C 1
y
C (1 y)2
C (1 y)3
C (1 y)n
F (1 y)n
息100元，最后再按照债券面值偿付1000
元。其现值的计算可以分为附息支付的
现值与最终支付的现值两部分，并让其
与附息债券今天的价值相等，从而计算
出该附息债券的到期收益率。
P0
100 1 y
100 (1 y)2
100 (1 y)3
100 (1 y)10
1000 (1 y)10
1000
债券价格与到期收益率之间的 关系
（1）货币可以满足当前消费或者用于投资而产 生投资回报；
（2）通货膨胀可能造成货币贬值； （3）投资可能有风险，需要提供风险补偿。 四个术语：现值：PV； 终值（或者说未来
值）：FV；时间：t； 利率：r。
（一）单期中的终值与现值
单期中终值的计算公式为：
FV=C0（1+r） 单期中的现值计算公式：
附息债券
附息债券的发行人在到期日之前每年向 债券持有人定期支付固定数额的利息， 至债券期满日再按债券面值偿还。在这 种方式下，债券持有者将息票剪下来出 示给债券发行人，后者确认后将利息支 付给债券持有者。 如中长期国库券和公 司债券 。
贴现债券
债券发行人以低于债券面值的价格（折 扣价格）出售，在到期日按照债券面值 偿付给债券持有人。如美国短期国库券、 储蓄债券以及所谓的零息债券。
1 yn
n t 1
CFt
1 yt
（6.6）
P0表示金融工具的当前市价，CFt表示在第t期的 现金流，n表示时期数，y表示到期收益率。
简易贷款的到期收益率
对于简易贷款而言，利率水平等于到期 收益率。
如果以L代表贷款额，I代表利息支付额，
n代表贷款期限，y代表到期收益率，那
么，
L
LI (1 y)n
r
（6.5）
在上面的例子中，该博彩大奖在20年后的 终值为：
50000 1.0820 1 2，288，098元
0.08
附息债券的现值和终值
附息债券实际上是年金和简易贷款的结 合。因此根据简易贷款和年金的现值和 终值计算公式就可以算出附息债券的现 值和终值。
例子
例如，某基金经理购买了2000万元面值 的15年期债券，其息票率为10%，从1年 后开始每年支付一次。如果他将每年的 利息按8%的年利率再投资，那么15年后 他将拥有多少终值？ 2，000，000 1.0815 1 54，304，250元
代入上式计算出费城的投资收益率为3.87%， 波士顿的投资收益率为4.3%。