鲁教版2020八年级数学上册5.3三角形的中位线培优练习题4（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（）A．只与AB、CD的长有关B．只与AD、BC的长有关C．只与AC、BD的长有关D．与四边形ABCD各边的长都有关．2．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（）A．5B．4C．3D．23．如图，要测定被池塘隔开的A、B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC、BC，并分别找出它们的中点D、E，连接DE．现测得AC＝30m，BC＝40m，DE＝24m，则AB＝（）A．35m B．45m C．48m D．50m4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝16，E为AC中点，DE∥BC，D 为AB上的点，则DE的长度为（）A．2B．4C．6D．85．如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2、B2、C2分别是边B1C1、A1C1、A1B1的中点；点A3、B3、C3分别是边B2C2、A2C2、A2B2的中点；……；以此类推，则第2018个三角形的周长是（）A．B．C．D．6．已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2018个三角形的周长为（）A．B．C．D．7．如图所示，点D，E，F分别是△ABC（AB＞AC）各边的中点，下列说法错误（）A．AD＝BC B．EF＝BCC．EF与AD互相平分D．△DEF的面积是△ABC面积的8．如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝4，过点D作DF ∥BE交AC于F，则EF的长等于（）A．2B．3C．D．9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（）A．10B．12C．14D．1610．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AB n∁n的周长为（）A．a B．a C．a D．a二．填空题（共10小题）11．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝4，BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF＝．12．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于G，AB＝6，则AG＝．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是线段AB上的动点，M、N分别是AD、CD的中点，连接MN，当点D由点A向点B运动的过程中，线段MN所扫过的区域的面积为．14．如图，若等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等于15cm，则这个等腰三角形的面积等于．15．如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝6cm，则DE的长度是cm．16．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝．17．点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为3，则△ABC的周长为．18．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的点，连线DE，若DE＝3，DE∥BC，，则线段BC的长等于．19．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，同时，点F在DE上，且∠AFB＝90°，已知AB＝5，BC＝8，那么EF的长为．20．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝．三．解答题（共8小题）21．如图，△ABC的三边长分别是AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长．22．已知BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平分线，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N．求证：MN∥BC．23．如图，点D、E、F是△ABC各边的中点，已知△ABC的面积是16．分别求出△DBF 和△DEF的面积？24．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC 于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3（1）求证：BN＝DN；（2）求△ABC的周长．25．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，BF＝EF．求证：EF∥AC．26．如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，求这个小三角形的周长．27．补全图形并写出下列命题的已知、求证，完成证明过程．命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图，．求证：．证明：28．如图，M、N分别为AD、BC的中点，且AB＝CD，求证：∠1＝∠2．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长（）A．只与AB、CD的长有关B．只与AD、BC的长有关C．只与AC、BD的长有关D．与四边形ABCD各边的长都有关．【解答】解：∵点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，∴四边形EGFH的周长＝FG+GE+EH+FH＝，故选：B．2．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：延长CE，交AB于点F．∵AE平分∠BAC，AE⊥CE，∴∠EAF＝∠EAC，∠AEF＝∠AEC，在△EAF与△EAC中，，∴△EAF≌△EAC（ASA），∴AF＝AC，EF＝EC，又∵D是BC中点，∴BD＝CD，∴DE是△BCF的中位线，∴BF＝2DE＝2．∴AC＝AF＝AB﹣BF＝7﹣2＝5；故选：A．3．如图，要测定被池塘隔开的A、B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC、BC，并分别找出它们的中点D、E，连接DE．现测得AC＝30m，BC＝40m，DE＝24m，则AB＝（）A．35m B．45m C．48m D．50m【解答】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，∵DE＝24m，∴AB＝2DE＝48m，故选：C．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝16，E为AC中点，DE∥BC，D 为AB上的点，则DE的长度为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝16，∴BC＝AB＝8．∵D为AB的中点，E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4．故选：B．5．如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2、B2、C2分别是边B1C1、A1C1、A1B1的中点；点A3、B3、C3分别是边B2C2、A2C2、A2B2的中点；……；以此类推，则第2018个三角形的周长是（）A．B．C．D．【解答】解：∵△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7，∴△A1B1C1的周长是16，∵A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点，∴B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的，…，以此类推，则△A4B4C4的周长是×16＝2；∴△A n B n∁n的周长是，当n＝2018时，第2018个三角形的周长＝＝故选：A．6．已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2018个三角形的周长为（）A．B．C．D．【解答】解：∵连接其三边中点构成第二个三角形，∴第二个三角形与第一个三角形相似，且相似比为1：2，∴第二个三角形的周长为＝，同理，第三个三角形周长为＝，∴第2018个三角形的周长为＝，故选：C．7．如图所示，点D，E，F分别是△ABC（AB＞AC）各边的中点，下列说法错误（）A．AD＝BCB．EF＝BCC．EF与AD互相平分D．△DEF的面积是△ABC面积的【解答】解：A、由于点D是BC的中点，所以BD＝BC，只有当BD＝AD＝CD时，结论AD＝BC成立，故本选项符合题意．B、根据中位线定理，EF＝BC．故本选项不符合题意；C、根据中位线定理，AF∥ED，AE∥FD，四边形AEDF为平行四边形，对角线EF与AD互相平分．故正确；D、因为△DFE和△ABC的各边对应成比例，为1：2，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，是位似图形．故选：A．8．如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝4，过点D作DF ∥BE交AC于F，则EF的长等于（）A．2B．3C．D．【解答】解：∵DF∥BE，AD是△ABC的中线，∴DF＝BE＝2，∵AD⊥BE，DF＝2，AD＝4，∴AF＝，∴EF＝，故选：C．9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（）A．10B．12C．14D．16【解答】解：如图，∵∠AFC＝90°，AE＝CE，∴EF＝AC＝5，∴DE＝1+5＝6；∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝12，故选：B．10．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AB n∁n的周长为（）A．a B．a C．a D．a【解答】解：∵以△ABC的各边的中点为顶点作△A1B1C1，∴△A1B1C1的周长＝△AB1C1的周长＝△ABC的周长＝a，∵以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，∴△A2B2C2的周长＝△AB2C2各的周长＝△AB1C1的周长＝a＝a，…，∴△AB n∁n的周长＝a故选：A．二．填空题（共10小题）11．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝4，BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF＝2．【解答】解：如图，取BC的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴EG∥AC且EG＝AC＝×4＝2，FG∥BD且FG＝BD＝×8＝4，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝．故答案为：212．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于G，AB＝6，则AG＝2．【解答】解：过E作EM∥AB与GC交于点M，∴△EMF≌△DGF，∴EM＝GD，∵DE是中位线，∴CE＝AC，又∵EM∥AG，∴△CME∽△CGA，∴EM：AG＝CE：AC＝1：2，又∵EM＝GD，∴AG：GD＝2：1．∵AB＝6，∴AD＝3，∴AG＝，故答案为：213．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是线段AB上的动点，M、N分别是AD、CD的中点，连接MN，当点D由点A向点B运动的过程中，线段MN所扫过的区域的面积为12．【解答】解：分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是▱AFGE的面积，∵AC＝6，BC＝8，∴AE＝AC＝3，GC＝BC＝4，∵∠ACB＝90°，∴S四边形AFGE＝AE•GC＝3×4＝12，∴线段MN所扫过区域的面积为12，故答案为：12．14．如图，若等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等于15cm，则这个等腰三角形的面积等于144．【解答】解：作MN⊥BC于N，∵AM＝MC，MN∥AD，∴DN＝NC．∴，在Rt△BMN中，BM＝15，MN＝9．∴BN＝12，而BD＝DC＝2DN，∴3DN＝12，DN＝4，∴BC＝16，S△ABC＝AD•BC＝×18×16＝144．15．如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝6cm，则DE的长度是3 cm．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3cm，故答案为：3．16．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝．【解答】解：连接DE，∵四边形ABCD为直角梯形，AB＝AD＝a，CD＝，CB⊥AB，点E，F分别为线段AB，AD的中点∴△AED为直角三角形．则EF是Rt△AED斜边上的中线，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，EF＝DE＝AB＝．故答案为：17．点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为3，则△ABC的周长为6．【解答】解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，∴BC＝2DF，AC＝2DE，AB＝2EF，故△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2（DF+FE+DE）＝6．故答案为：6．18．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的点，连线DE，若DE＝3，DE∥BC，，则线段BC的长等于9．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴BC＝3×3＝9，故答案为：919．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，同时，点F在DE上，且∠AFB＝90°，已知AB＝5，BC＝8，那么EF的长为 1.5．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4．∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，∴DF＝AB＝2.5，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2.5＝1.5．故答案为：1.5．20．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝5．【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE＝BC＝5，故答案为：5．三．解答题（共8小题）21．如图，△ABC的三边长分别是AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长．【解答】解：延长BP交AC于点E，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAP＝∠EAP，∵BP⊥AD于D，∴∠APB＝∠APE＝90°，在△APB和△APE中，，∴△APB≌△APE（ASA），∴AB＝AE＝14，∵AC＝26，∴EC＝26﹣14＝12，∵△APB≌△APE，∴BP＝EP，∵M是BC的中点，∴PM＝EC＝×12＝6．22．已知BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平分线，AM⊥BE于M，AN⊥CF于N．求证：MN∥BC．【解答】证明：延长AM、AN分别交BC于点D、G．∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，∴∠BAG＝∠BGA，∴△ABG为等腰三角形，∴BM也为等腰三角形的中线，即AM＝GM．同理AN＝DN，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．23．如图，点D、E、F是△ABC各边的中点，已知△ABC的面积是16．分别求出△DBF 和△DEF的面积？【解答】解：∵点D，F分别是△ABC的三边AB，BC上的中点，∴DF∥AC，DF＝AC．∴△DBF∽△ABC，且相似比为．∴S△DBF＝S△ABC＝×16＝4；∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴△DEF∽△ABC相似，相似比是，S△DEF＝S△ABC＝×16＝4．综上所述，△DBF和△DEF的面积都是4．24．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC 于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3（1）求证：BN＝DN；（2）求△ABC的周长．【解答】（1）证明：∵AN平分∠BAC∴∠1＝∠2∵BN⊥AN∴∠ANB＝∠AND＝90°在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN＝DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6，故△ABC的周长＝AB+BC+CD+AD＝10+15+6+10＝41．25．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，BF＝EF．求证：EF∥AC．【解答】证明：∵BF＝EF，∴∠BEF＝∠EBF，∵BE⊥AD，∴∠EAF+∠EBF＝∠AEF+∠BEF，∴∠EAF＝∠AEF，∵AD平分∠BAC，∴∠EAF＝∠CAD，∴∠AEF＝∠CAD，∴EF∥AC．26．如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，求这个小三角形的周长．【解答】解：由题意得，这个小三角形的周长＝×（a+b+c）＝（a+b+c）．27．补全图形并写出下列命题的已知、求证，完成证明过程．命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB，AC的中点．求证：DE∥BC，DE＝BC．证明：【解答】已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB，AC的中点．求证：DE∥BC，DE＝BC．证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF．∵点E是AC中点，∴AE＝EC．∵在△AED和△CEF中，∴△AED≌△CEF（SAS）．∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，∴AB∥CF．∵点D是AB中点，∴AD＝BD．∴BD＝CF．∴四边形BDFC是平行四边形．∴DE∥BC，DF＝BC．∴DE＝DF＝BC．28．如图，M、N分别为AD、BC的中点，且AB＝CD，求证：∠1＝∠2．【解答】证明：连接AC，取AC的中点G，连接NG和MG．∵G是AC的中点，M是BC的中点，即MG是△ABC的中位线，∴MG＝AB，且MG∥AB．∴∠2＝∠NMG，同理，GN＝CD，NG∥CD，∴∠1＝∠MNG，又∵AB＝CD，∴MG＝NG，∴∠MNG＝∠NMG，∴∠1＝∠2．。