2019-2020学年广东省中山市八年级第二学期期末数学试卷一、选择题1．下列二次根式，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．某市五月份连续五天的日最高气温分别为33、30、31、31、29（单位：℃），这组数据的众数是（）A．29B．30C．31D．333．下列各组线段不能构成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，5C．1，1，D．6，8，104．下列运算正确的是（）A．+＝B．×＝4C．（）2＝6D．÷2＝5．甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这三个团游客年龄的方差分别是S甲2＝28，S乙2＝18.6，S丙2＝1.7，导游小李最喜欢带游客年龄相近的团队，若在三个团中选择一个，则他应选（）A．甲团B．乙团C．丙团D．三个团都一样6．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，下列式子不一定正确的是（）A．AC＝BD B．AB＝CD C．∠BAD＝∠BCD D．AO＝CO7．如图，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝3，则BD的长是（）A．3B．5C．3D．68．已知关于x的一次函数y＝kx+2k﹣3的图象经过原点，则k的值为（）A．0B．C．D．39．对于函数y＝﹣x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象不经过第四象限B．y的值随x的增大而增大C．它的图象必经过点（0，1）D．当x＞2时，y＞010．下列命题的逆命题成立的是（）A．对顶角相等B．两直线平行，同位角相等C．如果a＝b，那么a2＝b2D．正方形的四条边相等二、填空题（共7个小题，每小题4分，满分28分）11．某车间5名工人日加工零件数依次为6、9、5、5、4，则这组数据的中位数．12．使二次根式有意义的x的取值范围是．13．在▱ABCD中，∠A＝105°，则∠D＝．14．正方形的边长为，则这个正方形的对角线长为．15．如图，直线y＝kx+3经过点A（1，2），则它与x轴的交点B的坐标为．16．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与矩形OABC的边BC、OC分别交于点E、F，已知OA＝3，OC＝4，则△CEF的面积是．三、解答题（一）（共3个小题，每小题6分，满分18分）18．计算：（3﹣）÷+（1﹣）．19．学校规定学生的学期总评成绩满分为100，学生的学期总评成绩根据平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩按照2：3：5的比确定，小欣的数学三项成绩依次是85、90、94，求小欣这学期的数学总评成绩．20．如图，每个小正方形的边长均为1，求证：△ABC是直角三角形．四、解答题（二）（共3个小题，每小题8分，满分24分）21．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题对全校学生进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：（1）请将条形统计图补充完整，本次调查所得数据的众数是，中位数是；（2）请通过计算估计全校学生平均每人大约阅读多少部四大古典名著．22．某通讯公司推出①②两种收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通话时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示．（1）分别求出①②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；（2）何时两种收费方式费用相等？23．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC．CP∥BD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝4，BD＝6，求OP的长．五、解答题（三）（共2个小题，每小题10分，满分20分）24．如图，正方形ABCD中，点E是边BC上一点，EF⊥AC于点F，点P是AE的中点．（1）求证：BP⊥FP；（2）连接DF，求证：AE＝DF．25．如图，直线y＝x+9分别交x轴、y轴于点A、B，∠ABO的平分线交x轴于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）若点M与点A、B、C是平行四边形的四个顶点，求CM所在直线的解析式．参考答案一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）1．下列二次根式，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念判断．解：A、＝1，不是最简二次根式；B、＝2，不是最简二次根式；C、＝2，不是最简二次根式；D、是最简二次根式；故选：D．2．某市五月份连续五天的日最高气温分别为33、30、31、31、29（单位：℃），这组数据的众数是（）A．29B．30C．31D．33【分析】根据题目中的数据，可以直接写出这组数据的众数，本题得以解决．解：∵一组数据33、30、31、31、29，∴这组数据的众数是31，故选：C．3．下列各组线段不能构成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，5C．1，1，D．6，8，10【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．解：A、∵22+32≠42，∴三角形不是直角三角形，故本选项正确；B、∵32+42＝52，∴三角形是直角三角形，故本选项错误；C、∵12+12＝（）2，∴三角形是直角三角形，故本选项错误；D、∵62+82＝102，∴三角形不是直角三角形，故本选项错误．故选：A．4．下列运算正确的是（）A．+＝B．×＝4C．（）2＝6D．÷2＝【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．解：∵不能合并，故选项A错误；∵＝＝4，故选项B正确；∵（）2＝3，故选项C错误；∵÷2＝，故选项D错误；故选：B．5．甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这三个团游客年龄的方差分别是S甲2＝28，S乙2＝18.6，S丙2＝1.7，导游小李最喜欢带游客年龄相近的团队，若在三个团中选择一个，则他应选（）A．甲团B．乙团C．丙团D．三个团都一样【分析】根据方差的意义求解可得．解：∵S甲2＝28，S乙2＝18.6，S丙2＝1.7，∴S丙2＜S乙2＜S甲2，∴丙旅游团的游客年龄相近，∴在三个团中选择一个，他应选丙团，故选：C．6．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，下列式子不一定正确的是（）A．AC＝BD B．AB＝CD C．∠BAD＝∠BCD D．AO＝CO【分析】根据平行四边形的性质分析即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，∠BAD＝∠BCD，故B、C、D都成立，只有A不一定成立，故选：A．7．如图，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝3，则BD的长是（）A．3B．5C．3D．6【分析】先由矩形的性质及等边三角形的判定定理得出△AOB为等边三角形，则可得出OB的长，然后根据BD＝2OB，可求得答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OB，OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∵AB＝3，∴OB＝AB＝3，∴BD＝2OB＝6．故选：D．8．已知关于x的一次函数y＝kx+2k﹣3的图象经过原点，则k的值为（）A．0B．C．D．3【分析】由一次函数图象经过原点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．解：∵关于x的一次函数y＝kx+2k﹣3的图象经过原点，∴2k﹣3＝0，∴k＝．故选：B．9．对于函数y＝﹣x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象不经过第四象限B．y的值随x的增大而增大C．它的图象必经过点（0，1）D．当x＞2时，y＞0【分析】A、利用一次函数图象与系数的关系，可得出函数y＝﹣x+1的图象经过第一、二、四象限，结论A不正确；B、利用一次函数的性质，可得出y的值随x的增大而减小，结论B不正确；C、代入x＝0求出与之对应的y值，进而可得出函数y＝﹣x+1的图象必经过点（0，1），结论C正确；D、代入y＝0求出与之对应的x值，结合y的值随x的增大而减小可得出当x＞0时，y＜0，结论D不正确．解：A、∵k＝﹣＜0，b＝1＞0，∴函数y＝﹣x+1的图象经过第一、二、四象限，结论A不正确；B、∵k＝﹣＜0，∴y的值随x的增大而减小，结论B不正确；C、当x＝0时，y＝﹣x+1＝1，∴函数y＝﹣x+1的图象必经过点（0，1），结论C正确；D、当y＝0时，﹣x+1＝0，解得：x＝2，又∵y的值随x的增大而减小，∴当x＞0时，y＜0，结论D不正确．故选：C．10．下列命题的逆命题成立的是（）A．对顶角相等B．两直线平行，同位角相等C．如果a＝b，那么a2＝b2D．正方形的四条边相等【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据对顶角的定义、正方形的判定和平行线的判定进行判断．解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立，不符合题意；B、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，成立，符合题意；C、如果a＝b，那么a2＝b2的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，不成立，不符合题意；D、正方形的四条边相等的逆命题是四条边相等的四边形是正方形，不成立，不符合题意；故选：B．二、填空题（共7个小题，每小题4分，满分28分）11．某车间5名工人日加工零件数依次为6、9、5、5、4，则这组数据的中位数5．【分析】首先将这组数据按大小顺序排列，再利用中位数定义，即可求出这组数据的中位数．解：把这组数据从小到大排列为：4，5，5，6，9，则这组数据的中位数是5．故答案为：5．12．使二次根式有意义的x的取值范围是x≥﹣3．【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，解得x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．13．在▱ABCD中，∠A＝105°，则∠D＝75°．【分析】根据平行四边形的性质得出∠A+∠D＝180°，即可求得答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝105°，∴∠D＝180°﹣105°＝75°；故答案为：75°．14．正方形的边长为，则这个正方形的对角线长为2．【分析】由正方形的性质可得AB＝BC＝，∠B＝90°，即可求解．解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝，∠B＝90°，∴AC＝AB＝2，故答案为：2．15．如图，直线y＝kx+3经过点A（1，2），则它与x轴的交点B的坐标为（3，0）．【分析】由点A的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点B的坐标．解：将A（1，2）代入y＝kx+3，得：k+3＝2，解得：k＝﹣1，∴直线的解析式为y＝﹣x+3．当y＝0时，﹣x+3＝0，解得：x＝3，∴点B的坐标为（3，0）．故答案为：（3，0）．16．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为40．【分析】由三角形的中位线定理，求出BD＝10，根据菱形的性质及∠A＝60°，得△ABD为等边三角形，从而求出菱形ABCD的边长，再乘以4即可得出菱形ABCD的周长．解：∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF＝BD，∵EF＝5，∴BD＝10，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40，故答案为：40．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与矩形OABC的边BC、OC分别交于点E、F，已知OA＝3，OC＝4，则△CEF的面积是．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及矩形的性质可求出点E，F的坐标，进而可得出CE，CF的长，再利用三角形的面积公式即可求出△CEF的面积．解：当y＝0时，x﹣1＝0，解得：x＝，∴点F的坐标为（，0），OF＝，∴CF＝OC﹣OF＝．∵四边形OABC为矩形，OC＝4，点E在边BC上，∴点E的横坐标为4．当x＝4时，y＝×4﹣1＝，∴点E的坐标为（4，），CE＝．∴S△CEF＝CE•CF＝××＝．故答案为：．三、解答题（一）（共3个小题，每小题6分，满分18分）18．计算：（3﹣）÷+（1﹣）．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别化简得出答案．解：原式＝3﹣+﹣6＝﹣3．19．学校规定学生的学期总评成绩满分为100，学生的学期总评成绩根据平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩按照2：3：5的比确定，小欣的数学三项成绩依次是85、90、94，求小欣这学期的数学总评成绩．【分析】根据数学学期总评成绩＝平时作业成绩×所占的权重+期中考试成绩×所占的权重+期末考试成绩×所占的权重即可求得该学生的数学成绩．解：85×+90×+94×＝91．答：小欣这学期的数学总评成绩是91．20．如图，每个小正方形的边长均为1，求证：△ABC是直角三角形．【分析】根据勾股定理计算出AC2、AB2、BC2，再根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形．【解答】证明：∵AC2＝32+42＝25，AB2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，∴AC2＝AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形．四、解答题（二）（共3个小题，每小题8分，满分24分）21．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题对全校学生进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：（1）请将条形统计图补充完整，本次调查所得数据的众数是1部，中位数是2部；（2）请通过计算估计全校学生平均每人大约阅读多少部四大古典名著．【分析】（1）从两个统计图可知，“2部”的有10人，占调查人数的25%，可求出调查人数，进而求出“1部”的人数，即可补全条形统计图，根据中位数、众数的意义求出中位数和众数即可；（2）样本估计总体，求出样本平均数，估计总体平均数，进而求出答案．解：（1）10÷25%＝40（人），40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14，补全条形统计图如图所示：“1部”出现的次数最多，是14次，因此众数是1部，40个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是“2部”，因此中位数是2部，故答案为：1部，2部；（2）＝＝2.05≈2（部），答：全校学生平均每人大约阅读2部四大古典名著．22．某通讯公司推出①②两种收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通话时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示．（1）分别求出①②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；（2）何时两种收费方式费用相等？【分析】（1）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可；（2）根据（1）的结论列方程解答即可．解：（1）设y1＝k1x+30，y2＝k2x，由题意得：将（500，80），（500，100）分别代入即可：500k1+30＝80，∴k1＝0.1，500k2＝100，∴k2＝0.2故所求的解析式为y1＝0.1x+30；y2＝0.2x；（2）当通讯时间相同时y1＝y2，得0.2x＝0.1x+30，解得x＝300．答：通话300分钟时两种收费方式费用相等．23．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP∥AC．CP∥BD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝4，BD＝6，求OP的长．【分析】（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形；（2）根据已知条件证明平行四边形DOCP是矩形，再根据AC＝4，BD＝6，即可求OP 的长．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠BCA＝∠BAC，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∵DP∥AC，CP∥BD，∴四边形DOCP是平行四边形，∵∠DOC＝90°，∴平行四边形DOCP是矩形，∴OP＝CD，∵AC＝4，BD＝6，∴OC＝2，OD＝3，∴CD＝＝，∴OP＝CD＝．答：OP的长为．五、解答题（三）（共2个小题，每小题10分，满分20分）24．如图，正方形ABCD中，点E是边BC上一点，EF⊥AC于点F，点P是AE的中点．（1）求证：BP⊥FP；（2）连接DF，求证：AE＝DF．【分析】（1）利用正方形的性质和外角的性质证明即可；（2）连接BF，DF，由SAS定理可得△ABF≌△ADF，由全等三角形的性质可得BF＝DF，利用等腰直角三角形的性质可得BF＝DF＝PF，等量代换可得结论．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠BAF＝∠BAP+∠PAF＝45°，∵点P是AE的中点，∠ABC＝90°，∠AFE＝90°，∴AP＝PE＝BP＝FP，∴∠BAP＝∠ABP，∠PAF＝∠AFP，∴∠BPF＝∠BPE+∠FPE＝∠BAP+∠ABP+∠PAF+∠AFP＝2∠（∠BAP+∠PAF）＝2×45°＝90°，∴BP⊥FP；（2）连接BF，DF，如图，在△ABF与△ADF中，∴△ABF≌△ADF（SAS）∴BF＝DF，∵PB＝PF，∠BPF＝90°，∴BF＝DF＝PF，∴∵AE＝2PF，∴AE＝．25．如图，直线y＝x+9分别交x轴、y轴于点A、B，∠ABO的平分线交x轴于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）若点M与点A、B、C是平行四边形的四个顶点，求CM所在直线的解析式．【分析】（1）由直线解析式可求出点A，B的坐标，求出AB＝15，过点C作CD⊥AB 于点D，如图1，证明Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），得出BD＝BO＝9，CO＝CD，设CO＝x，则AC＝12﹣x，CD＝x，由勾股定理求出x，则可得出答案；（2）分两种情况：当AB为平行四边形的一边时，当AB为平行四边形的对角线时，可求出直线CM的解析式．解：（1）∵直线y＝x+9分别交x轴、y轴于点A、B，∴x＝0时，y＝9，当y＝0时，x+9＝0，解得x＝﹣12．∴A（﹣12，0），B（0，9）．∴OA＝12，OB＝9，∴AB＝＝＝15，过点C作CD⊥AB于点D，如图1，∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴CD＝CO，∵BC＝BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），∴BD＝BO＝9，CO＝CD，∴AD＝AB﹣BD＝15﹣9＝6，设CO＝x，则AC＝12﹣x，CD＝x，∵CD2+AD2＝AC2，∴x2+62＝（12﹣x）2，解得x＝．∴C（﹣，0）．（2）如图2，当AB为平行四边形的一边时，∵CM∥AB，∴设CM的解析式为y＝x+b，∴，解得b＝，∴直线CM的解析式为y＝．当AB为平行四边形的对角线时，BM∥AC，AM∥BC，∴BM＝AC＝AO﹣OC＝，∴M（﹣，9）．设直线CM的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴CM的解析式为y＝﹣3x﹣．综合以上可得：CM所在直线的解析式为y＝x+或y＝﹣3x﹣．。