第十二章微分方程§2-1 微分方程的基本概念一、 判断题1. y=ce 2x （c 的任意常数）是y ' =2x 的特解。

（ ）2. y=（ y ）3是二阶微分方程。

（ ）3. 微分方程的通解包含了所有特解。

（）4. 若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。

（ ）5. 微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。

（）二、 填空题微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 _______________ 。

2. 函数y=3sinx-4cosx ___________ 微分方程的解。

3. 积分曲线y=(c 1 +c 2x)e 2x 中满足 y x=o =O, y" x=o =1的曲线是 _________________ 。

三、选择题1. _________________ 下列方程中 是常微分方程_2_2 2 2 2d arctan x3'32 2(A )、x+y =a (B)、 y+——(e ) = 0 (C)、—2 +— =0( D )、y =x +ydxexcy2. _______________ 下列方程中 是二阶微分方程2y 2i-2 2 3 2(A ) ( y ) +x +x =0(B) ( y ) +3x y=x (C) y +3 y +y=0 (D) y -y =sinx(A ) y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c i coswx+c 2sinwx(D)y=c coswx+c sinwx24. C 是任意常数，则微分方程y =3y 3的一个特解是 ______________3333(A ) y-=(x+2) (B)y=x +1 (C) y=(x+c) (D)y=c(x+1)四、试求以下述函数为通解的微分方程。

222x3x1. y =Cx C (其中C 为任意常数)2.y =C i e C 2e (其中C-C ?为任意常数)五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻 力与运3.微分方程穿+w2y =0的通解是______ 中c.c i.c 2均为任意常数动的速度成正比。

用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

12-2可分离变量的微分方程、求下列微分方程的通解2 21. sec .tacydx+sec ytanxdy=O2 22. (x+xy )dx-(x y+y)dy=0x+y x x+y y3. (e -e )dx+(e -e )dy=04. y =cos(x-y).(提示令.x-y=z)、求下列微分方程满足所给初始条件的特解-x 兀1. cosydx+(1+e )sinydy=O. y x=o=—4secx2. ------- 牙dy = xdx. y 3仃=一11+y2T、设f(x)=x+ . x f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1），且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。

五、船从初速v o=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。

已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。

12-3 齐次方程、求下列齐次方程的通解求下列齐次方程满足所给初始条件的特解二、求方(x+y+1 ) dx=(x-y+1)dy 的通解y 1 xy -xsinxy y2 (x+ycos ) dx-xcos dy=0x x1. xy 虬x 2+y 2ax2 22.x dy+(xy-y )dx=0yx=i =1四、设有连结点 0(0, 0)和A ( 1，1)段向上凸的曲线孤 O A 对于O A 上任一点P (x ， y ),曲线孤与O P 直线段O p 所围图形的面积为x 2，求曲线孤O 「A 的方程。

、求下列微分方程满足初始条件的特解1. y " cosy+siny =x y x曲=—4、已知f(二),曲线积分，a sinx - f (x)l#dx • f (x)dy与路径无关，求函数f(x).x四、质量为M o克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。

五、求下列伯努利方程的通解1. y，+_y =x2y5x2. xy' +y-y2l nx=0 12.4 —阶线性微分方程、求下列微分方程的通解x1.x y +y=xe2. y +ytanx=sin2xdy _ ydx x y3e y2.(2x+1)e y y 2e y=4 y = 012-4 全微分方程、求下列方程通解221．[cos(x+y )+3y]dx+[2ycos(x+y )+3x]dy=02.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0yy3. e dx+(xe -2y)dy=0、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解21 ydx-xdy+y xdx=02 y(2xy+e x)dx-e x dy=02三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x 2y]dy=0 为全微分方程，其中函数f(x) 连续可微，数f(0)=0, 试求函f(x) ，并求该方程的通解。

12-7可降阶的高阶微分方程一、求下列各微分方程的通解1. y =xsinx2. y - y =x3. y y +( y )2= y4. y (1+e x)+ y =0二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解FF 31 卩1. 2 y =sin 2y 丫*卫=匚y %卫=1tt t ft c ・22. x y -y 1 n y+y inx=o yx±=2 y x^=e、函数f(x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2 ,以及「(x)-丄凶一x丄単dt = 0 ,求f(x).x 出t2四、一物体质量为m,以初速度Vo从一斜面上滑下，若斜面的倾角为:,摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。

四、试求以xi . x _X\ e _y= — (c i e +C 2e )+ - x 2(C i,C 2是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。

12-8高阶线性的微分方程一、选择题1.下列方程中 ________ 为线性微分方程(D) y 一 y 一 3xy 二 cos yy +p(x) y +4(x)y=0两个特解，C i C 2为任意常数，则y=c i y 什C 2y 2 ________(A) 一定是该方程的通解 (C )是该方程的解4•下列函数中哪组是线性无关的(A ) Inx, lnx 2(B)i , Inx(C)x, In2x (D)ln J x , lnx 2二、证明：下列函数是微分方程的通解iy=c i x 2+C 2X 2Inx(c i C 2是任意常数)是方程x 2 y -3x y +4y=0的通解x2y=c i e -x +C 2ee x (c i C 2是任意常数)是方程2 y - 2e x 的通解三、设y i (x)y 2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且y i (x)y 2(x).y 3(x).线性无关,证明：微分方程的通解为：y rG y j x)，C 2y 2(x) • (i -C i -C 2)y 3(x)(A )( y ) +x y =x(B)y y -2 八 x(C)2 x2.已知函数y i = e2xy i = e(x-1)y 3=e ( X丿(A )仅y i 与y 2线性相关 C )仅y i 与y 3线性相关(B )仅y 2与y 3线性相关 (D )它们两两线性相关3 .若y i 和y 2是二阶齐次线性方程, (B )是该方程的特解 (D )不一定是方程的解i12-9二阶常系数齐次线性微分方程一、选择题1以y i =cosx,y 2=sinx 为特解的方程是 ___________ (A )y —y =0(B) y y =0(C) y y 、0(D)y _y ：=02 .微分方程2 y ； y - y = 0的通解是 _____________xxx_2x / 、_x~2x"S_x2x(A) y = c 1e -c 2e (B )y = c ,e -c 2e 2 (C ) y = c 1e -c 2e 2 (D) y = c 1e c 2e 3.常微分方程y ” •(’1 • ■ 2)y ':Y‘咒1 ■ 2y =0 ,(其中■ 1, ■ 2是不等的系数)，在初始条件y 1x=0= y x=0 =0特解是 ____________ (A ) y=0(B)y= Ge"+qe'2x (C) y =^X 2x 2(D ) y = (A q 中扎2)x 22x4. y =e 是微分方程y py • 6y = 0的一个特解，则此方程的通解是 ____________________2x(D) y=e (c 1 s in 3x c 2 cos3x)5. y =c 1e x c 2e 是微分方程 _______________ 的通解 (A ) y y = 0 (B ) y '；： - y = 0 (C ) y y = 0 (D ) y "-y = 0二、求下列微分方程的通解 1. y -5y =02. y -4y 4y=0 (A) 2x |_3xy = c 1ec 2e(B) y = ©xc 2 )e 2x3. y 4y y = 04. y -5y 6y = 0学习-----好资料三、求下列微分方程满足初始条件的特解d 2x dx2.3x=0dt dt四、一质量为 m 的质点由静止（t=0,v=0 ）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大小成正比（比例系数为 k ）,求此质点的运动规5. y _6y 3y 10y =05. y ⑷ _2厂 y =01. y 2y 10y =0x =0=11x =0t =0=0律。

12-10二阶常数非齐次线性微分方程一、选择题1微分方程，y-2y= x 的特解y 形式为 _______________2 2(A)ax (B)ax+b(C)ax (D) ax + bx2. ____________________________________________ 微分方程y -科二e 1的特解y 形式为 _________________Q y* — 一.3.微分方程y " - 2u = xe 的特解y 形式为 _______________, 2, 、 2x(D) (ax bx c)e4.微分方程y " • 4y 二cos2x 的特解y 形式为 ___________ (A ) acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x)(D)acos2x+bsin2x25. 微分方程y - y 二xsin x 的特解形式为 y*= _____________ (A ) (ax+b ) sin 2x(B)(ax+b)sin 2x+(cx+d)cos 2x (C ) (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x(D ) (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f6. 微分方程y "-4y "-5y =e » sin 5x 的特解形式为 _________________(C ) axe" bsi n5x二、求下列各方程的通解 1. y 2y y 二 xe x(A ) aebsin 5x (B) ae* bcos5x csin 5x(A ) ae xbxx (B ) axe b( C ) ae bxx(D ) axe bx2x 2 x (A) x(ax b)e (B ) (ax b)e2x(C ) xe(D ) axe bcos5x csin 5xx ・y y = x cosx 3. y -2y 5y 二e sin x4.、求微分方程y"・9y =cosx满足二0的特解四、已知二阶常系数微分方程y z剳訓二(x 2)有特解y :■,'-,的值，并求该方程的通解x 2e 1「x 「6x，求五、k为常数。