同时返回fval=-2
对应到原来的线性规划中即知目标函数的最大值为2，此时 x1=4,x2=1,x3=9。
第二节 无约束规划计算方法
一、实验目的
1、了解无约束规划问题的求解原理与方法 ；
2、会用Matlab软件求解无约束规划问题。
二、实验原理和方法
无约束规划问题的解法一般按目标函数的形式分为两大类： 一类是一元函数的一维搜索法，如黄金分割法、插值法等； 另一类是求解多元函数的下降迭代法。
【例 5】 求解约束非线性规划：
min ( x1 1) 2 ( x2 2) 2 ( x3 3) 2 ( x4 4) 2 x1 x2 x3 x4 5 s.t. 3 x1 3 x2 2 x3 x4 10 x 0 i 初值为[1;1;1;1]
解：首先建立函数文件fun702.m
function f fun702( x) f 3 / 2 x(1)^2 1 / 2 x(2)^2 x(1) x(2) 2 x(1)
以fun702为文件名保存此函数文件。 在命令窗口输入： x0=[-2;4]; x=fminunc('fun702',x0) 结果显示：
其中：A为约束条件矩阵，b,c分别为目标函数的系数向量和 约束条件中最右边的数值向量；也可设置解向量的上界vlb和
下界vub，即解向量必须满足vlb<=x<=vub；还可预先设置
初始解向量x0。
如没有不等式，而只有等式时，A=[ ],b=[ ]; 输出的结果：x表示最优解向量；fval表示最优值。
【例 1】 求解线性规划问题：
Lb=[0;0;0;0];
[x,g]=fmincon(‘fun705’,x0,A,B,Aeq,Beq,Lb)
答案为: x = 0.0000 0.6667 1.6665 2.6668 g= 6.3333
Matlab程序： ch705.m
Matlab程序：
最后在命令窗口中输入：
ch704.m
A=[];b=[];Aeq=[];Beq=[];Lb=[];Ub=[];
[x,f]=fmincon(‘fun7041’,[1;1],[],[],[],[],[],[],’fun7042’) -f
结果为: x= 0.8852 0.7592 f= 6.2043e-016 ans= - 6.2043e-016 最后的结果为: - 6.2043e-016
在Matlab优化工具箱中，fmincon函数是用SQP算法来 解决一般的约束非线性规划的函数，它的命令格式为：
x=fmincon(‘fun’,x0,A,b) x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq) x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlco n)
在命令窗口输入： x0=[0;0]; x=fminunc(‘fun703’,x0) 结果显示： f =5.2979e-011 x =1.0673 0.1392 则非线性方程组的解为x1=1.0673,x2=0.1392。
Matlab程序： ch703.m
第三节 约束非线性规划计算方法 一、实验目的
Matlab程序： ch701.m
s.t.
然后建立M文件如下：
c=[-3;1;1];A=[1 -2 1;4 -1 -2];b=[11;-3];
aeq=[2 0 -1];beq=-1;vlb=[0;0;0];
[x,fval]=linprog(c,A,b,aeq,beq,vlb)
以ch701作为文件名保存此M文件后，在命令窗口 输入ch701后即可得到结果： x = 4.0000 1.0000 9.0000
一般求解线性规划的常用方法是单纯形法和改进 的单纯形法，这类方法的基本思路是先求得一个可行 解，检验是否为最优解；若不是，可用迭代的方法找 到另一个更优的可行解，经过有限次迭代后，可以找
到可行解中的最优解或者判定无最优解。
三、内容与步骤：
在Matlab优化工具箱中，linprog函数是使用单纯形法求解 下述线性规划问题的函数。
【例 4】 求解约束非线性规划：
x1 2 2 max e x2 (3 e x2 ) x1 2 (初值为[1;1]) s.t. e x2 3
首先将问题转化为matlab要求的格式;即求出 fun,A,b,Aeq,Beq,X0,Lb,Ub
x1
解:首先建立一个m文件fun7041.m
function y=fun7041(x) y=-exp(x(1))*x(2)^2*(3-exp(x(1))-x(2)^2);
约束非线性规划的一般形式为：
min f ( x)
x
s.t
Ax b, aeq * x beq (线性约束 ) g ( x) 0, ceq( x) 0 （非线性约束 ） lb x ub
其中，f(x)为多元实值函数;g(x)为向量函数,并且f(x),g(x)中至 少有一个函数是非线性函数的（否则成为线性规划问题）。
f=
-1.0000 x=
Matlab程序： ch702.m
1.0000 1.0000
即极小值为-1，是x1=1,x2=1时取得。
【例 3】 解非线性方程组
2 x1 x 2 1 0 2 2 ( x1 2) ( x 2 0.5) 1 0
解：解此非线性方程组等价于求解无约束非线性规划问题：
s.t.
也可以用矩阵形式来表示：
min s.t.
f cT x Ax b , x 0
线性规划的可行解是满足约束条件的解；线性规划 的最优解是使目标函数达到最优的可行解。
线性规划关于解的情况可以是： 1、无可行解，即不存在满足约束条件的解； 2、有唯一最优解，即在可行解中有唯一的最有解； 3、有无穷最优解，即在可行解中有无穷个解都可使目 标函数达到最优； 4、有可行解，但由于目标函数值无界而无最优解。
1、了解约束非线性规划问题的求解原理与方法； 2、会用Matlab软件求解约束非线性规划问题。
二、实验原理和方法
对于约束非线性规划，随着目标函数和约束条件的不同， 解法也不同，一般来说，有两类方法： （1）、将约束问题化为无约束问题的求解方法；
（2）、用线性规划来逼近非线性规划；
三、实验内容与步骤
max
f 3x1 x 2 x 3 x1 2x 2 x 3 11 4x x 2x 3 1 2 3 2x1 x 3 1 x i 0, i 1,2,3
s.t.
min 解：考虑到linprog函数只解决形如 s.t.
的线性规划。所以先要将线性规划 变为如下形式：
三、实验内容与步骤
在Matlab软件中，求解无约束规划的常用命令是：
x=fminunc(‘fun’,x0) 其中，fun函数应预先定义到M文件中，并设置初始 解向量为x0。
【例 2】 求解 min 取
3 2 1 2 f ( x ) x1 x 2 x1x 2 2 x1 2 2
x (0) (下四步：
1) 2) 3） 选取初始点x 0 , 并令k 0; 得到x k 后，选取一个搜索方向P k , 使得沿着这个方向的 目标函数f ( x)的值时下降的； 由x k出发，沿P k 方向选取适当的步长k , 使得 f ( x k k P k ) f ( x k ) 由此得到下一个点x k 1 x k k P k 4) 检验新得到的点x k 1是否满足精度要求的最优解。 如果是，则结束运算；否则，令k k 1, 返回(2)继续迭代
解：首先建立一个m文件 fun705.m function y=fun705(x) y=(x(1)-1)^2+(x(2)-2)^2+(x(3)-3)^2+(x(4)-4)^2; 存储为fun705.m文件.
x0=[1;1;1;1];A=[1 1 1 1;3 3 2 1]; B=[5;10];Aeq=[];Beq=[];
min s.t.
T f c x
Ax b , aeqx beq; vlb x vub
它的命令格式为：
[ x, fval] linprog(c, A, b, aeq, beq, vlb, vub) [ x, fval] linprog(c, A, b, aeq, beq, vlb, vub, x0)
min ( x1 x2 1) 2 ((x1 2) 2 ( x2 0.5) 2 1) 2
然后建立函数文件fun703.m
2
function f fun703( x) f ( x(1)^2 x(2) 1)^2 ((x(1) 2)^2 ( x(2) 0.5)^2 1)^2
第七章 最优化计算方法
第一节 线性方程组的应用
一、实验目的：
1、了解线性规划问题及可行解、最优解的概念 ； 2、掌握Matlab软件关于求解线性规划的语句和方法。
二、实验原理和方法：
在生活实践中，很多重要的实际问题都是线性的（至少能
够用线性函数很好的近似表示），所以我们一般把这些问
题化为线性的目标函数和约束条件进行分析，通常将目标 函数和约束都是线性表达式的规划问题称为线性规划 。
f cT x Ax b , aeqx beq; x 0
min
f 3x1 x 2 x 3 2 x1 x 3 1 x 2 x x 11 1 2 3 4 x1 x 2 2 x 3 3 x i 0, i 1,2,3
它的一般形式是：
min
f c1x1 c 2 x 2 c n x n a11x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1x1 a m 2 x 2 a mn x n b m x i 0 (i 1,2, , n )