学科代码：0702学号：2007052011 铜仁学院本科学生毕业论文题目：固体热容理论的研究系别：物理与电子科学系专业：物理学年级：2007级学生：符东欧指导老师：宋谋胜完成时间：2011年5月10日固体热容理论的研究符东欧摘要:固体热容量是物质热性质的重要参量之一，也是研究材料热性质最基本的根据与内容之一。

从而对固体热容的研究就显得十分重要。

本文将用归纳总结从经典统计理论到量子统计理论的过程去研究两种理论的建立背景、应用范围与条件，分析二者的互关系、二者的局限性以及各自的应用情况。

得出经典热容理论与量子热容理论两者的成功与不足，可见热容理论还不完善从而使本文为今后对固体热容的研究提供一定的理论基础。

关键字：热容；经典理论；爱因斯坦模型；德拜模型；Study of Solid heat capacity theoryDong ou FuAbstract:Solid heat capacity is an important parameter material thermal properties, and also one of the most basic research material thermal properties of according and one of the contents.So the study of solid heat capacity becomes very important. This paper from the classical statistical theory to quantum statistical theory to study the process of the two theories of building background, application range and conditions, analysis of both the limitations of mutual relations, both and their application. Heat capacity that classical theory and quantum theory of heat capacity of both success and inadequacy ,visible heat capacity theory is not perfect so this paper for future research on solid heat capacity provide certain theoretical basis.Key words:Heat capacity Classical theory Einstein model Debye model一. 引言在20世纪末期对固体热容的研究比较少。

可以知道在常温度下，电子气的摩尔比热容与晶格振动的摩尔比热相比较是很小的，可以忽略不计，因此金属的比热容遵从Dulong-petit定律，即平时给出的固体比热容的数值时固体金属定压比热容数值的平均值[1-3]。

对金属材料，比热容由晶格振动和电子两部分的贡献的。

在常温下，主要考虑晶格振动的贡献；在低温下，电子对比热容的贡献起主要作用[4-6]。

在实温下，某些固体的比热容远小于经典值，在低温下比热容是随温度的降低而降低是经典热容理论的不足。

进入21世纪后人们对固体比热容的研究越来越重视，研究它的人也越来越多。

先给出固体热容量的实验规律，再用近代量子统计理论对金属中自由电子运动和晶格振动对固体热容量产生的影响作了定量分析[7]。

运用比较和归纳方法，从微观粒子的二象性，测不准原理，全同性原理，微观粒子运动状态描述和对应定理几方面阐述了量子统计与经典统计之间的区别与联系。

以及从经典统计理论发展到量子统计理论的推导解释过程中，可以看出经典统计理论局限的突破，是热现象理论发展的必要也是量子理论产生的必然[8-9]。

从确定了晶体的Debye 温度随温度变化的普适关系，导出在此关系下晶体热力学函数的表达式，在这基础上对铟的德拜温度和定压热容量随温度变化的规律，得出在高温和低温的理论值与实验符合得较好，在中间段符合得较差。

通过对德拜模型的研究，分析了利用德拜模型解决金属固体热容量与实验结果不一致的原因，并且研究了金属自由电子气对热容量的贡献，最终达到了由统计理论得到的金属固体热容量与实验结果一致的结论[10-13]。

目前,在研究固体热力学性质尤其是研究固体热容量随温度的变化时,许多文献都把德拜温度看作常数来处理,其理论结果与实验结果有所偏差.大量实验研究表明:系统的德拜温度与温度.压强.体积有关.可见固体热容理论还够不完善.固体热容量是物质热性质的重要参量之一，也是研究材料热性质最基本的根据与内容之一。

对它的研究经历了从经典统计理论到量子统计理论的过程，然而这两种理论均有各自的应用范围，只有在给定的条件下才适用.尽管二者的理论计算结果与实验有不同程度的偏差，但量子统计理论对热容量的究更与实验结果相符合。

因此，本文通过研究两种理论的建立背景、应用范围与条件，分析二者的相互关系、二者的局限性以及各自的应用情况。

二. 经典热容理论2.1 能量均分定理玻耳兹曼在经典条件下得的玻耳兹曼分布，在满足其分布下由经典力学知道粒子的能量是动能p ε和势能q ε之和。

动能可以表示为动量的平方项之和：2112ri pi i p a ε==∑ (2-1)21112a p 的平均值为： 2111110 (1111222)r r r dq dq dp dp a p e kT Z h βεβ-=⋅=⎰ (2-2) 假如势能中有一部分可表示为平方项：()'''2111,,2r i i r q q r i b q q q εε+==+∑则可同样证明(i q 的积分限是-∞到+∞)：2111122b q kT =⋅ (2-3)这样就证明了，能量ε中每一个平方项的平均值等于12kT ⋅。

2.2 经典统计理论的热容量经典统计理论把固体中各个原子在它们各自的平衡位置附近作微小的简谐振动看成是彼此独立的。

设固体的总原子数为N ，把原子看成质点，则系统共有3N 个自由度。

除去整个固体作为刚体而有的3个平动和3个转动自由度，总振动自由度为3N-6个。

当1>>N 时，3N -6≈3N ，则固体的微观总能量为：301Nii E E ε==+∑ (2-4)其中i ε为第i 个振动自由的能量，其经典形式为：222122i i i p m q m εω=+ (2-5)()00E E V =是固体原子处于平衡位置时的总能量，既固体的结合能，它是体积的函数。

由经典统计的能量均分定理得到每一个振动自由度的平均能量等于KT ε=，故有：03E NkT E =+ (2-6)3v VE C Nk T ⎛⎫∂== ⎪∂⎝⎭ (2-7)2.3 经典热容理论的应用、局限性.经典统计理论的热容量是在全经典力学下推导得出的,从(2-7)式可以看出固体热容的经典理论给出的热容是一个与温度无关的恒量.这结果在高温和实温范围内与实验测量值相符合，这也与Pearl DuLong - for law 一致。

在经典统计理论中粒子遵从波尔兹曼分布，如已知粒子遵从经典波尔兹曼分布，其能量表达式为：()222212x y z p p p ax bx m ε=++++ ()bX aX p p p mz y x ++++=222221ε 其中a 、b 是常数，则粒子的平均能量为ε⎛⎫=- ⎪⎝⎭21424b kT a 。

上面是经典统计理论的成功之处，然而在低温下固体热容量的实验测量表明,固体的热容量随温度的降低而减少.并在0T =时变为零.固体热容的低温特性可用下面的关系式[11]表示:3v C T T αγ=+α、γ均为常数，这一关系是经典理论所不能解释的。

1900年普朗克在处理黑体辐射时提出能量量子化的假说以后，有几年时间并未引起物理学界的重视。

是爱因斯坦首先提出量子概念有更广泛的应用，在1906年爱因斯坦用量子理论来解决固体比热的问题[6-7]。

如在经典的固体比热理论暴露出来的问题，例如：在实温下，某些固体的比热容远小于经典值。

既比热容并非是像经典统计理论得出的是常数，在低温下比热容是随温度的降低而降低。

爱因斯坦认识到，经典统计理论的问题出在能量均分定理在低温下不适用。

三. Einstein 热容理论3.1 Einstein 模型爱因斯坦模型：爱因斯坦把固体中原子的热运动看成3N 个振子的振动，并且这3N 个振子的频率都相同。

3.2 Einstein 热容量设ω为振子的圆频率，则振子的能级为：12n n εω⎛⎫=+⎪⎝⎭n=0、1、2、…由于每一个振子都定域在其平衡位置附近作振动，振子是可以分辨的，遵从波尔兹曼分布。

其配分函数为：211eZ e βωβω--=- (3-1) 由内能的统计表达式：1ln U NZ β∂=-∂ (3-2) 由 (3-1)式和 (3-2)得固体的内能为：133ln 321N U NZ N e βωωωβ∂=-=+∂- (3-3) (3-3)式中的第一项为3N 个振子的零点能量、第二项为温度在T 时刻3N 个振子的热激发能量。

定容热容量v C 为：2231kTv v kTU e C Nk T kT e ωωω∂⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭(3-4)引入爱因斯坦特征温度E θ，并令E k θω= 则热量为：2231EETE vTeC Nk T e θθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭(3-5)可见v C 随温度降低而减少，并且v C 作为ETθ的函数是一个普适函数。

对 (3-5)式在高温(E T θ )和低温(E T θ )的范围内进行讨论。

当E T θ时，可以取近似1EE T e Tθθ-≈代入(3-5)式得：3v C Nk = (3-6)(3-6)式和能量均分定理的结果一致，因为在高温(E T θ )时，能级间距远小于kT ,能量量子化的效应可以忽略，可见经典统计是实用的。

当E T θ 时1EETT ee θθ-≈带入(3-5)式得：23E E Tv C Nk eT θθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭(3-7) 由(3-7)式可知，当温度趋于零时，v C 也趋于零。

这个结论与实验结果定性符合，这是因为温度趋于零时，振子能级间距ω 远大于kT 。

3.3 Einstein 热容理论的应用、局限性.由于经典热容理论无法解释固体热容在低温下的情况的条件下，爱因斯坦首先用量子理论解释固体热容在低温下趋于零的问题，但是它与实验结果在低温下的情况还有偏差，它在高温下适用。