陕西省西安市长安区第一中学2021届高三数学上学期第一次教学质量检测试题 文第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．3 B ．1 C ．-3 D ．1或-3 2．已知{}n a 为等差数列,若1598a a a π++=,则28cos()a a +的值为 A ．21-B ．23-C ．21D ．233．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，则双曲线12222=-bx a y 的离心率为A ．3B ．52C ．72D ．24．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到xx g 2sin )(=的图像，则只需将()f x 的图像A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位5．设p ∶210||2x x -<-，q ∶260x x +->，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 函数21()log f x x x=-的零点所在区间为（ ） A.1(0,)2 B.1(,1)2C.(1,2)D.(2,3) 7. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A.5100B.2550C.5050D.1008．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||||OA OB OA OB +=- （其中O 为坐标原点），则实数a 的值为A ．2B ．6C ．2或2-D ．6或6-9.已知22a <<，则函数22()2f x a x x =-+-的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．410. 在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-,22x =的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标是A. (-2,-9)B. (0,-5)C. (2,-9)D. (1,-6)11.已知点F 1、F 2是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（ ）A.0B.1C.2D.2212．已知函数()f x 对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2013)f =A ．2B ．3C ．4D ．0第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上. 13. 右图中的三个直角三角形是一个体积 为320cm 的几何体的三视图，则h= cm 14．已知223＋＝2·23，338＋＝3·38, 4415＋＝4·415,….若8a t ＋＝8·a t（,a t 均为正实数），类比以上等式，可推测,a t 的值，则a t +＝ 15．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且2,60c C ︒==，则sin sin a bA B++= ．16．函数21(0)()2ln x (0)x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数为_________．三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分12分)已知函数2()2sin()cos()()222f x x x x ααα=++++为偶函数， 且[]πα,0∈（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）若x 为三角形ABC 的一个内角，求满足()1f x =的x 的值. 18．（本题满分12分）如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面， AD=PA=2，CD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点. （Ⅰ）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求四面体PEFC 的体积．19．（本小题满分12分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:1n n T n >+. 20．（本小题共12分）已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程 为360x y --=,(20)M ，满足=,点(11)T -，在AC 所在直线上且0=⋅AB AT ．（Ⅰ）求ABC ∆外接圆的方程；（Ⅱ）一动圆过点(20)N -，，且与ABC ∆的 外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹Γ的方程；（Ⅲ）过点A 斜率为k 的直线与曲线Γ交于相异的,P Q 两点，满足6OP OQ ⋅>，求k 的取值范围．xyM ANCT BO21．（本小题满分12分）设函数2()2xk f x e x x =--. （Ⅰ）若0k =，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若当0x ≥时()1f x ≥，求实数k 的取值范围.请考生在第22，23，题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22．（本小题10分）选修4-4:坐标系与参数方程 已知圆22:4O x y +=，将圆O 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线C ．（I ）写出曲线C 的参数方程；（II ）设直线:220l x y -+=与曲线C 相交于,A B 两点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线m 过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，求直线m 的极坐标方程．23.（本小题10分）选修4-5:不等式选讲（I ）若关于x 的不等式123x x a +-->-的解集是空集，求实数a 的取值范围；（II ）对任意正实数,x y <恒成立，求实数k 的取值范围．长安一中2020—2021学年度第一学期第一次质量检测高三年级 数学(文科)参考答案 一、选择题：二、填空题:13．4 14. 71 15 16． 2 三、解答题：17．解：（Ⅰ）2()2sin()cos()()222f x x x x ααα=++++ sin(2))2sin(2)3x x x πααα=+++=++由()f x 为偶函数得,32k k Z ππαπ+=+∈,6k k Z παπ∴=+∈ 又 [0,]6παπα∈∴=（Ⅱ）由()1f x = 得 1cos 22x =又 x 为三角形内角，(0,)x π∈566x x ππ∴==或18. 解（Ⅰ）2,PA AD AF PD ==∴⊥ PA ABCD CD ABCD ∴⊥⊆平面，平面,PA CDAD CD PAAD A CD PAD AFPAD AF CD PD CD D AF PCD GE PCD GE PEC PCE PCD ∴⊥⊥=∴⊥⊆∴⊥=∴⊥∴⊥⊆∴⊥，平面，平面，，平面，平面，平面，平面平面；（Ⅱ）由（2）知GE PCD EG PEFC ⊥平面，所以为四面体的高，//1212213PCF PCF GF CD GF PDEG AF GF CD S PD GF PEFC V S EG ∆∆⊥=====⋅==⋅=又，所以得四面体的体积 19.解：（Ⅰ）由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立∴21112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）② ①-②得21122----+=n n n n n a a a a a∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2） ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列又n=1时，21112S a a =+， 解得1a =1,∴n a n =.(*N n ∈)(Ⅱ) 解：由（1）可知 21n b n=21111(1)1n n n n n >=-++ 11111(1)()()22311n nT n n n ∴>-+-++-=++ 20．解：（Ⅰ） 0=⋅AT AB ∴⊥,从而直线AC 的斜率为3-． 所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=． 由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，得点A 的坐标为(02)-，，(2,0)BM MCM Rt ABC =∴∆为外接圆的圆心又r AM ===． 所以ABC ∆外接圆的方程为: 22(2)8x y -+=． （Ⅱ）设动圆圆心为P ，因为动圆过点N ，且与ABC∆外接圆M 外切，所以PM PN =+PM PN -= 故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为2c =的双曲线的左支．从而动圆圆心的轨迹方程Γ为221(0)22x y x -=<． (Ⅲ)PQ 直线方程为：2y kx =-,设1122(,),(,)P x y Q x y由222(0)2x y x y kx ⎧-=<⎨=-⎩得22(1)460(0)k x kx x -+-=<222122122212122101624(1)04016012261k k k k x x k x x k k OP OQ x x y y k ⎧⎪⎪-≠⎪∆=+->⎪⎪⎪∴+=<⎨-⎪⎪=>⎪-⎪+⎪⋅=+=>⎪-⎩解得：1k <<-故k的取值范围为(1)-21．解：（Ⅰ）0k =时，()xf x e x =-，'()1xf x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞上单调减小，在(0,)+∞上单调增加 故()f x 的最小值为(0)1f =（Ⅱ）'()1x f x e kx =--，()xf x e k ''=-当1k ≤时，()0 (0)f x x ''≥≥，所以()f x '在[)0,+∞上递增， 而(0)0f '=，所以'()0 (0)f x x ≥≥，所以()f x 在[)0,+∞上递增， 而(0)1f =，于是当0x ≥时，()1f x ≥ . 当1k >时，由()0f x ''=得ln x k =当(0,ln )x k ∈时，()0f x ''<，所以()f x '在(0,ln )k 上递减，而(0)0f '=，于是当(0,ln )x k ∈时，'()0f x <，所以()f x 在(0,ln )k 上递减， 而(0)1f =，所以当(0,ln )x k ∈时，()1f x <.与()1f x ≥矛盾。