解：用0.5级量程为0～400mA电流表测100mA时，最大相对误差为
用1.5级量程为0～100mA电流表测量100mA时的最大相对误差为
xm 400 x1 s% 0.5% 2% x 100
xm 100 x2 S % 1.5% 1.5% x 100
结论：应选用1.5级量程为0～100mA电流表。不能片面追求 仪表的等级，应根据被测量的大小，兼顾仪表的满度值和级别。
3.10
0.0038k
—— 3位有效数字 —— 2位有效数字
3.91010 Hz
5
—— 4位有效数字
（二）数字的舍入规则 目前广泛采用的舍入规则是： （1）当保留n位有效数字时，若后面的数字小 于第n位单位数字的0.5就舍掉； （2）当保留n位有效数字时，若后面的数字大 于第n位单位数字的0.5，则第n位数字进1； （3）当保留n位有效数字时，若后面的数字恰 为第n位单位数字的0.5，则第n位数字为偶数或零时 就舍掉后面的数字；第n位数字为奇数时，第n位数 字加1。




（1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等 不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而使仪 器带有的误差。 （2）影响误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、电源 电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。 （3）理论误差和方法误差：由于测量原理、近似公式、测量方 法不合理而造成的误差。 （4）人身误差：由于测量人员感官的分辨能力、反应速度、视 觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等原因，而在测量中使用操作 不当、现象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。 （5）测量对象变化误差：测量过程中由于测量对象变化而使得 测量值不准确，如引起动态误差等。
随机误差的特点： 1. 有界性（多次测量中，随机误差的绝对值不会超过一定 的界限）； 2. 对称性（绝对值相等的正负误差出现的机会相同）；
3. 抵偿性（随机误差的算术平均值随着测量次数n的无限增 加而趋近于零）。



例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。 单次测量的随差没有规律， 但多次测量的总体却服从统计规律。 可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值
测量的误差值（包括绝对误差、相对误差、不 确定度、标准偏差等）一般只取一位到两位数字。
1、量值+不确定度表示法
对于一个已对确定性系统误差进行了修正的测 量结果，常可用被测量的量值和它的不确定度共同 表示，被测量的量值最低位与误差最低位对齐。
例如：某电压为4.320.05V；
某频率为3000.583 0.068 kHz
绪论 测量误差与数据处理
1

研究误差理论的目的？ 1、充分利用测量数据，合理正确地处理数据，以在 给定的测量条件下得出被测量的最佳估计值。 2、根据数据处理的结果正确表示测量不确定度。 3、正确分析误差来源及规律，以便在测量中合理地 选择仪器、方法及环境，消除不利因素，完善检测

手段，提高测量精度。


x 100% A0
相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小和符号，没 有单位。
实际相对误差：
x A 100% A
用实际值A代替真值A0
示值相对误差：
x x 100% x
用测量值X 代替实际值A
（2）满度相对误差（引用相对误差，衡量仪表或仪器的准 确度） ◦ 用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该 量程值（上限值－下限值）之比来表示的相对误差，称 为满度相对误差（或称引用相对误差）
[例] 将下面的数字保留3位有效数字：
45.77, 36.251, 43.035, 38050, 47.15
[解] 将各数字列于箭头左侧,保留的有效数字列于 右侧:
45.7745.8
36.251 36.3
43.035 43.0
38050 3.8010
47.15 47.2
4
（三）测量结果的表示法
系统误差*
保持不变或以可预知方式变化的误差分量 来源:①仪器固有缺陷;
②实验理论近似或方法不完善；
③实验环境、测量条件不合要求； ④操作者生理或心理因素。
22
方法误差举例
电流表 R 电压表 (A) 电压表 (B) 电流表 R
图2-2 测量电阻中的电压和电流时存在的方法误差
3. 粗大误差： 粗大误差是一种显然与实际值不符
测量误差的分类
◦ 根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、 粗大误差三类。

1.随机误差
◦ 定义: 在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技 术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时 （等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知 的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。 ◦ 随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共 同造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦 和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的 无规律变化等。
的误差。产生粗差的原因有：
◦ ①测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实验条件未 达到预定的要求而匆忙实验等。 ◦ ②测量方法不当或错误 如用普通万用表电压档直接测高内阻 电源的开路电压 ◦ ③测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或降低，雷 电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。
[例] 已知某电阻的测量中没有确定性系统误差， 系统不确定度为测量值的1%，随机误差的影响可 以忽略。若该电阻的30次测量值之和为1220，写 出该电阻的测量结果。
[解] 求该电阻测量值的平均值 R 1220 R= —— = —— = 40.6667 n 30 由于随机误差可忽略，电阻的不确定度R近 似等于系统不确定度S，若取两位数字，则 R S =40.6667 1% = 0.406667 0.41
§1 测量与误差
一、测量
1、测量的含义 • 测量就是借助仪器将待测量与同类标准量进行比
较，确定待测量是该同类单位量的多少倍的过程 称作测量。测量数据要写明数值的大小和计量单 位。
• 倍数→ 读数+单位→数据 • 测量的要素：对象，单位，方法，准确度。
3
• 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家 乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同 的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、 市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大 会于1960年确定了国际单位制（SI），它规定 了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎 德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能 量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单 位的导出单位。
4
2.测量的分类
按方法分类：
• 直接测量 • 间接测量 按条件分类： • 等精度测量
√
5
• 非等精度测量
测量

直接测量
L 3.15 cm
数值 单位
间接测量
m 2 r h
L 3.15
6
测量误差的定义 测量的目的: 获得被测量的真值。 测量误差 : x x A 真值: 在一定的时间和空间环境条件下，被测量 本身所具有的真实数值。包括理论真值和约定真 值． 所有测量结果都带有误差 。

含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时， 应剔除掉。
3、测量的精密度、准确度、精确度
1 ）精密度。表示重复测量所得数据的相互 接近程度（离散程度）。 2 ）准确度，表示测量数据的平均值与真值 的接近程度。 。 3 ）精确度。是对测量数据的精密度和准确 度的综合评定。
25
• 以打靶为例来比较说明精密度、准确度、精确度三者
随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测 量进行无限多次测量所得结果的平均值之差
i xi x
( n )

随机误差的统计特性及减少方法
◦ 在测量中，随机误差是不可避免的。 ◦ 随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引 起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源 电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微 振动等。 ◦ 多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。 ◦ 可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少 随机误差对测量结果的影响。
用电阻平均值作为测量值,并且与误差的位数 对齐，按舍入规则，有
R=40.6667 40.67 故电阻的测量结果为:
R=40.67 0.41
2、数值表示法 当一个测量数据作为中间结果还要参加其它运 算时，希望用一个数值来表达，而不要带着不确定 度。 用一个数值表示测量结果的具体作法是： （1）由误差或不确定度的大小定出测量值有效 数字最低位的位置； （2）从有效数字最低位向右多取1～2位安全数 字； （3）根据舍入规则处理掉其它数字。

测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。 1.绝对误差 （1）定义： 由测量所得到的被测量值与其真值之差，称为 绝对误差。
实际应用中常用实际值（约定真值）A（高一级以上的测量仪器或计量器具测量 所得之值）来代替真值。
绝对误差：
x x A
有大小，又有符号和量纲
绝对误差表明了被测量的测量值与实际值间的偏 离程度和方向。


标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度 的特征数。 标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集 中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据 越分散。
p( ) 1
2 3
0


2.系统误差
◦ 定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差 的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律 变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差， 或值随温度变化的误差。 ◦ 产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确，环境 因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算 公式，测量人员不良的读数习惯等。 ◦ 系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差 越小，测量就越准确。 ◦ 系统误差分为定值误差、变值系统误差。