B题钢管下料问题摘要应客户要求，某钢厂用两类同规格但不同长度的钢管切割出四种不同长度的成品钢管。

故该原料下料问题为典型的优化模型。

钢厂在切割钢管时，又要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，故我们先分别列出两种原料钢管出现频率较高的切割模式，每一问都需要针对不同钢管节约要求分别求出5种切割模式的最佳组合。

第一问要求余料最少，在切割模式的选择方面，我们尽量要求余料为零，并在此基础上要求切割得成品钢管除满足客户要求外，多余客户要求的钢管数也要尽可能的少，运用Lingo软件求出余料最少时，需要65根A类钢管采用4种切割模式切割，需要40根B类钢管采用2种切割模式切割，总余料为20米。

第二问要求总根数最少，故我们只要求总根数最少，在这里我们分了两种情况：有余料时，需A类钢管65根，采用5种切割模式，需B类钢管38根，采用4种切割模式，余料各为2米；无余料时，需A类钢管75根，采用3种切割模式，需B类钢管39根，采用4种切割模式。

第三问我们运用Lingo软件求出较优解为当m=0.4时最大收益h=a-159，具体切割模式见模型求解部分。

为了找到替代比例与最大收益的关系，我们分别给m赋值为0、10%、20%、30%、40%时，用Lingo解得各自的最大收益，并用四次拟合的方法大致算出了最大收益z和替代比例m的关系，为432（a为总售出额）。

16385.13h=+-+--mma mm6.37382411.179.72第四问就是将钢厂下料问题一般化，将本文中模型进行推广，得出了可普遍应用的一般化模型。

关键词：优化模型、整数规划模型、线性规划模型、非线性规划模型、Lingo、四次拟合问题重述某钢厂主要生产两种结构用无缝钢管，两类钢管除长度不同外规格无差别，A 类型钢管长度为19米，B 类型钢管长度为29米。

假设某单位要订购该钢厂的一批钢管，要求钢厂将原料钢管按照客户订单的要求进行切割成不同长度，具体如下：钢厂在切割钢管时，要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，建立数学模型解决下列问题：（1）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使余料最省；（2）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使耗费原料钢管的数量最少； （3）如果B 类钢管的单价是A 类钢管的2.5倍，又目前钢厂B 类钢管产量不足，如果客户要求将B 类钢管中的5米、7米和8米三种长度的订货量必须全部满足，而B 类中3米的订货量中可以有不超过40%的部分用A 类代替，又该如何切割，才能使钢厂的收益最大，并给出替代比例与最大收益之间的关系。

（4）如果要求A 类钢管切割模式有1m 种、B 类钢管钢管切割模式有2m 种，每类钢管都需要切割成n 种不同尺寸，且不同钢管种每种尺寸的订货量也不同，试给出求钢管厂最大收益的一般数学模型。

问题分析对于原料下料问题首先要确定采用哪些合理的切割模式。

本题要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，于是问题便转化为在满足客户需要的条件下，求出有哪几种合理的模式，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。

而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最省，二是切割原料钢管的总根数最省。

第一问即为解决总余料最少的情况。

本问我们计划运用整数规划模型，以最短余料长度为目标函数，运用线性规划、整数规划和非线性规划算法求出最优解。

第二问即为解决总根数最少的情况。

我们还是运用整数规划模型，但以最少原料根数为目标函数，运用线性规划和非线性规划算法求出最优解。

第三问，我们站在钢厂的角度，在考虑成本及实际情况的基础上，用一部分A类钢管替代B类钢管生产3米的成品钢管。

我们计划运用双目标规划模型，分别以钢厂收益和B类钢管可生产出的长度为3米的成品钢管根数为自变量建立目标函数求解。

第四问为解决整个原料下料问题的模型的推广。

模型假设1. 假设原料钢管切割过程中的无原料损耗；2. 假设原料钢管切割过程无因损坏而增加额外费用买进原料钢管的情况；3. 假设原料钢管与顾客所需钢管的大小一致；4. 假设原料钢管进货正常，没有额外追加订单；5. 假设切割得钢管均为合格品。

符号说明模型建立与求解首先要确定采用哪种切割模式是可行的。

所谓切割模式，是按照实际需要在原料上安排切割组合。

确定哪些切割模式是合理的。

通常假设一个合理切割模式的余料应该小于客户需要的钢管的最小尺寸。

在这种合理性假设下，切割模式情况如下表所示。

问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式，切割多少根钢管最为节省。

而所谓节省，可以有两种标准：a.切割后剩余的总余料量最少；b.切割原料钢管的总根数最少。

下面将对这两个目标分别讨论。

表1 A类钢管满足条件的切割模式表2 B 类钢管满足条件的切割模式5.1 问题一：余料最少5.1.1 模型的建立：针对问题一，我们设定决策变量：:i m 按照第i 种切割模式()5,4,3,2,1=i 切割的钢管的余料量； :i x 表示按照第i 种切割模式()5,4,3,2,1=i 切割的钢管的根数； :1i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的3米成品钢管的根数；:2i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的5米成品钢管的根数；:3i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的7米成品钢管的根数；:4i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的8米成品钢管的根数。

下面为求解本问的约束条件： A 类钢管： 余料长度：()⎩⎨⎧∈≤≤=----=N m m i r r r r m i i ii i i i ，、、、、20543218753194321成品钢管根数满足的约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++++≥++++≥++++≥++++60407030545444343242141535434333232131525424323222121515414313212111x r x r x r x r x rx r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x rB 类钢管： 余料长度：()⎩⎨⎧∈≤≤=----=N m m i r r r r m i i ii i i i ,20543218753294321、、、、成品钢管根数满足的约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++++≥++++≥++++≥++++45703525545444343242141535434333232131525424323222121515414313212111x r x r x r x r x rx r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r目标函数：最短余料长度5544332211min x m x m x m x m x m z ++++=该问题的线性规划模型为：5544332211min x m x m x m x m x m z ++++= ()()1234123412341234..1935781234530704060293578123453070406002,.(12345j=1234)i i i i ii ii ii ii i i i i i ii i i ii ii ii i i ji s t m r r r r i rx r x r x r x m r r r r i r x r x r x rx m m N N N i =----=≥≥≥≥=----=≥≥≥≥≤≤∈∈∈=∑∑∑∑∑∑∑∑、、、、、、、、，，x r 、、、、，、、、5.1.2 模型求解：在模型的求解过程中，由于可行解较多，考虑到钢厂的实际生产模式和收支平衡，故我们在原有模型的基础上增加了约束条件：使生产出的成品钢管除满足客户要求外，多处要求的钢管根数在合理的变化范围内。

用Lingo 求解时，我们分别对客户要求3m 、5m 、7m 、8m 钢管根数数量上分别各增加5、10、15(根)，通过大量计算和比较，我们找出了在各增加5根时解较优，如下：表一 A 类钢管的5种切割模式表二 B 类钢管的5种切割模式需A 类钢管65根，采用第一种切割模式切割20根、第二种20根，第三种20根，第四种5根，第五种0根，余料共20米。

需B 类钢管40根，采用第一种切割模式切割0根、第二种25根，第三种15根，第四种0根，第五种0根，无余料。

5.2 问题二：根数最少5.2.1 模型的建立针对问题二，我们设定决策变量：:i m 按照第i 种切割模式()5,4,3,2,1=i 切割的钢管的余料量； :i x 表示按照第i 种切割模式()5,4,3,2,1=i 切割的钢管的根数； :1i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的3米成品钢管的根数；:2i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的5米成品钢管的根数；:3i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的7米成品钢管的根数；:4i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的8米成品钢管的根数。

下面为求解本问的约束条件： A 类钢管： 余料长度：()⎩⎨⎧∈≤≤=----=N m m i r r r r m i i ii i i i ，、、、、20543218753194321成品钢管根数满足的约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++++≥++++≥++++≥++++60407030545444343242141535434333232131525424323222121515414313212111x r x r x r x r x rx r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x rB 类钢管： 余料长度：()⎩⎨⎧∈≤≤=----=N m m i r r r r m i i ii i i i ,20543218753294321、、、、成品钢管根数满足的约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++++≥++++≥++++≥++++45703525545444343242141535434333232131525424323222121515414313212111x r x r x r x r x rx r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r目标函数：切割原料钢管的总根数最少54321min x x x x x z ++++=该问题的线性规划模型为：54321min x x x x x z ++++= ()()1234123412341234..1935781234530704060293578123453070406002,.(12345j=1234)i i i i ii ii ii ii i i i i i ii i i ii ii ii i i ji s t m r r r r i rx r x r x r x m r r r r i r x r x r x rx m m N N N i =----=≥≥≥≥=----=≥≥≥≥≤≤∈∈∈=∑∑∑∑∑∑∑∑、、、、、、、、，，x r 、、、、，、、、5.2.2 模型的求解在模型的求解过程中，由于可行解较多，考虑到钢厂的实际生产模式和收支平衡，故我们在原有模型的基础上增加了约束条件：即分成有预料和无余料两种情况求的较优解。