可求两个竖向支座反力：
P1
A
HA VA
l1
C
f
l2 l
P2
B HB
VB
VA
Pibi l
由 X 0
VB
Pi ai l
得： H A HB H
等代梁
A
P1
a1 (推力) VA0
C
b1 a2
P2
B
b2VB0
另考虑中间铰C处弯矩为零：MC 0
以左部分为例
则： MC VAl1 P1(l1 a1) Hf 0
0.000 1.125 1.500 1.125 0.000 0.375 4.500 0.375 0.000
q=2kN .m
P=8kN
y
1 0
A
34
2
2
y2
x
5 6
6m
6m
绘制内力图
7
8
B
M2 M2 Hy2 11 3 2 31.5 7.5 3
1.5kN m
Q2 Q2 cos 2 H sin 2 11 2 3 0.832
当 f 等于零，H趋于无穷大；此时三铰共线。 几何瞬变体系。
5) 三铰拱受向内的推力，因此需给基础施加向外的推力。 所以三铰拱的基础要比简支梁的基础大，或加拉杆， 以减小对墙的推力。
静定拱
2. 内力的计算公式 <1> 弯矩计算公式
MK VAxK P1(xK a1) HyK
VA VA0
静定拱
§3.4.1 三铰拱的组成和类型
拱--杆轴线为曲线，在竖向荷载 作用下会产生水平推力的结构。
FP
三铰拱
静定拱
拱的拱趾铰
拱趾铰
跨度
斜拱
拉杆拱
静定拱
静定拱
三铰拱
超静定拱
超静定拱
两铰拱
无铰拱
静定拱
§3.4.2三铰拱的支座反力及截面内力计算
P1
C
P2
VB=VB0
A
HA
P=8kN
y
34
5
2 1
2
y2
0
6 7 8
例 1、三铰拱及其所受荷载如 f=4m 图所示拱的轴线为抛物线方程
7.5kN
x
A
x2=3m 6m
6m
3m
B
H 7.5kNy
4f l2
xl x
VB 9kN 制内力图。
计算反力并绘
VA 11kN
（2）内力计算 以截面2为例
y2
4f l2
xl
x
44 122
分析：
MK
M
0 K
HyK
显然，由于推力
H
存在， M K
M
0 K
静定拱
<2> 剪力计算公式 QK VA cosK P1 cosK H sinK
VA P1 cosK H sinK
QK0 cosK H sinK
QK0 为相应简支梁K截面处的剪力。
注：K 在左半拱为正，右半拱为负。
静定拱
a1
l2 l
VB
P2
CB
b1
上式中的分子 VAl1 P1(l1 a1)
VA0
a2
b2VB0
恰恰与简支梁截面C处的弯矩
M
0 C
相同。
H
M
0 C
f
即，推力H等于相应简支梁截面C处的弯矩
M
0 C
除以拱高
f。
静定拱
特点：
1) 由于推力的存在，三铰拱截面弯矩比简支梁弯矩小。
MC VAl1 P1(l1 a1) Hf 0
7.5 0.555 0.0025kN 0.003kN
M图
kN.m N2 Q2 sin2 H cos2 11 230.555
7.50.832 9.015kN
0.600 0.354 0.003 0.472 1.000 3.331 1.060 0.600
Q图 kN
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 1.421 6.796 3.325 11.235 11.665 11.700
312
3
3m
tg 2
dy dx
x3
4f l
1 2lx
x3
44 12
1
2123
0.667
（1）计算支座反力
VA
VA
2
6
9 12
8
3
11kN
VB
VB
2
6
38 12
9
9kN
H
M
C
11 6 2 6 3 7.5kN
f
4
2 3341,sin 2 0.555,cos 2 0.832
静定拱
所以推力:
H VAl1 P1(l1 a1) f
静定拱
分析两个竖向支座反力
P1 C
P2
VA
Pibi l
VB
Pi ai l
A
f
B HB
与简支梁的支座反力：
VA0
Pibi l
VB0
Pi ai l
HA VA VA0 VA
l1
VB VB0
等代梁
A
P1
分析 推力H 式：
H
VAl1 P1(l1 a1) f
（１）不管拱轴区段上是否有分布荷载，拱的各内力图在区段
上均为曲线形状； （２）在竖向集中力FP作用点两侧截面，拱的轴力和剪力有突 变，突变值分别为FP sinΨK 和FP cosΨK，弯矩图在该点转折； 在集中力偶Ｍ作用点两侧截面，弯矩有突变，突变值为Ｍ，轴 力和剪力不受影响。
<3> 轴力计算公式
NK VA P1 sinK H cosK
QK0 sinK H cosK
拱的任一截面上一般有三个内力（M, Q, N），内力计算的 基本方法仍是截面法。与直杆件不同的是拱轴为曲线时， 截面切线角度不断改变，截面上内力（Q, N）的方向也相 应改变。
静定拱
q=2kN .m
３、带拉杆的三铰拱，其支座反力可由整体的平衡条件完全求 得；水平推力由拉杆承受。可将顶铰和拉杆切开，取任一部分 求出拉杆中的轴力。
静定拱
三、 拱的内力图特征 １、拱的内力图特征
Mk Mk H y
Qk Qk cosk H sink
Nk Qk sink H cosk
由上式分析可知，当拱轴为曲线时。有：
l1
VA
等代梁 P1
A
f l2
l
C
a1
VA0
b1 a2
B HB
VA=VA0 H= MC0 / f
VB
P2
B
三铰拱的反力只 与荷载及三个铰 的位置有关，与 拱轴线形状无关 荷载与跨度一定 时，水平推力与 矢高成反比
b2 VB0
静定拱
支座反力共四个分量 需列出四个方程：
由整体平衡方程：
MA 0 和 MB 0
三铰拱C处弯矩
M
0 C
VAl1
P1 (l1
a1)
简支梁C处弯矩
2) 梁无轴力(在竖向载荷作用下) 拱的截面轴力较大，且一般为压力。
3) 推力只与三个铰和载荷位置有关，与拱轴形状无关；
即只与 f/l 有关。
静定拱
4) 当载荷和拱的跨度不变时，推力与拱高 f 成反比。 f 越大，H越小；反之， f 越小，H越大；
N图 kN
静定拱
Mk Mk H y
Qk Qk cosk H sink
Nk Qk sink H cosk
上式可作为拱内力的计算公式用，特别是在作拱的内力图时。 但须注意以下几点： １、上式要在以拱的左底铰为原点的平面直角坐标中应用，并 仅考虑了竖向荷载的作用。
２果在、取右式是半中与拱水时k为平所方为k计向负算的。K锐截角面考处虑拱，轴则切K线截与面水在平左x半坐拱标时的夹k为角正。，如