关键点教学设计
在教学研究中，人们讨论较多、较深入的是教学的重、难 点。在钻研与处理教材乃至课堂教学中，除了重、难点外， 还存在一个关键点的问题。教学就是要在确定与处理关键点 上下功夫。只有把握关键，才能抓住重点、突破难点。这是 优化教学过程的重要环节，是提高课堂效率的重要途径。
初中代数
数：数的扩充思路（研究问题与研究方法）、数的运算法则
式：式的由来与运算（符号意识——符号结构、符号意义、符号表示、符号运算） 方程：解方程的思路 函数：函数的主要问题与研究方法及用函数解决问题的基本思路与方法
初中代数中的关键数学能 力
运算能力
符号意识（察觉结构——数学抽象）
数学六大核心素养 数学抽象、逻辑推理、 数学建模、数学运算、 直观想象、数据分析
正比例函数 一次函数
y＝kx
“数”
一条过原点的直线
“形”
y＝kx＋b
？
从“数”探“形”！
观察：
猜想：y＝2x＋1的图象是一条直线
y＝2x ? y＝2x＋1
从内，画出函 数y＝2x与y＝2x＋1的图象.
x y＝2x y＝2x＋1
… … …
－2 －4 -3 －3
－1 －2 -1 －1
0 0 1 1
1 2 3 3
2 4 5 5
… … …
从“数”探“形”！
梳理：函数y＝2x＋1的图象
k都为2 b由0到1
1、一条直线，与直线y＝2x平行； 2、可以看作由直线y＝2x向上平移1个 单位长度得到； 3、过一、二、三象限，
特殊的点
与y轴交于点（0，1），
与x轴交于（－0.5，1）.
2 2
发现模式
平方差公式 (x＋a)(x－a)＝x2－a2
公式结构特征：
①等式左边：两数和与两数差的积； ②等式右边：两个数的平方差
两数之和与这两数之差的乘积， 等于这两个数的平方差．
新人教版七年级上 3.2.1 解一元一次方程---合并同类项和移项(1) “从古老的代数书说起”： 约公元825年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写 了一本代数书，重点论述怎样解方程。这本书的拉丁 文译本取名为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什 么意思呢？ 问题1 某校三年级共购买计算机140台，去年购 买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的 2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？
问题3 综合提高
2.活动二：几何验证 我们知道，用平面几何图形的面积可表示一些代数的恒等变 形式.如平方差公式、完全平方公式.请小组内同学合作，根据 要求用几何图形的面积验证一些因式分解的恒等变形式.
小结反思
课后作业
1.必做题：活页P101-102 2.选做题：
初中几何
证明（图形性质证明） 变换（图形及其性质的认识）
公式生成
生 5：利用规律，因为 40，36 分别比 38 多 2，少 2，结果会比 1444 少 4. 师： 请大家再举出类似的例子， 并从这些例子中发现数量关系的规律？算式及结果有什 么特点？自己有了想法之后可以和小组同学交流讨论． (教师巡视，不断提示从算式特征和结果特征发现规律，发现学生的问题及时点拔) 生 6：两个整数的积如果可以化成相同两数的和与差的积，结果就有规律． 师：你对你的发现能用一般化式子表示吗？ 生 6： ( x a)(x a) x a ．
发现规律 师：从上面的算式中的结果你发现了什么？ 生：结果都相差 1. 师：我们知道结果与算式有关，你发现两个算式之间的数量关系吗？
生 1 ：其中一个算式是两个相同整数的积，另一个算式的两个因数一个比相同数大 1， 一个比相同数少 1. 生 2：相同两个数的积可以看成这个数的平方．
公式生成
致用” ，如果 38 38 1444 ，那么 39 37 ? 你能不进行乘法计算就得出结果吗？ 生 2：1443. 师：你能给出一个类似的例子吗？请一个同学回答． 生 2： 99 101 ？ 师：不错，只给一个算式怎么得出结果？ 生 3：直接算就可以了．也可以用规律，结果是 100 平方少 1. 生 3： ( x 1)(x 1) x 1 ．
图象与性质
k b 图象 象限
一次函数y ＝kx＋b（k，b是常数，k≠0） k＞ 0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0
y
O
b＜0
y x
O
y x
O
y x
O
y x
O
y x
O
x
三二一 三一 三四一 增减性 y 随x的增大而增大
倾斜度
二一四 二四 二三四 y 随x的增大而减小 k越小，图象越陡
新人教版九年级上
21.2.1 解一元二次方程---配方法
一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这 桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表， 你能算出盒子的棱长吗？
x 2 25
回顾与复习
你还认识“老朋友”吗
1.解下列方程
（1）x2=2 (2)(x-2)2=2 构造运算程序
配方
(2) x2 -4x+4 = 2. (3) x2 -4x = -2
移项
这种通过添项使表达式 变成完全平方式的方法 ，我们称之为配方法
(3)
4
(2)
(3)
你能把方程: x2 -4x+2= 0化为方程（2）吗？ 对你解形如x2 +px+q= 0（p,q为常数）的方程有启发吗？
从特殊到一般
2 x 配方法解形如 +p
解：合并同类项，得
－ x＝ 3 所以原方程的解为－x＝3
练一练
解下列方程： （1）23x－5x=9 1 1 （2） x－ 2 x－ 4 x＝５ （3）7x＋6x－12x＝5 （4）7y－4.5y＋2y－1.5y＝－15×4－6×3
问题1 某校三年级共购买计算机140台，去年购 买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的 2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？ 设前年这个学校购买了x台计算机，可以表示出：去年 购买计算机 2x 台，今年购买计算机 4x 台．根据问题中的相等关系为： 前年 购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台， 列方程： x+2x+4x=140 “从古老的代数书说起”： 约公元825年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书， 重点论述怎样解方程。这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.“ 对消”与“还原”是什么意思呢？
2
师：很好，会用乘方表示相同数的积．我们发现了两个算式的数量关系的规律． “学以
表示规律
师：我们已学会“用字母表示数” ，你能用一般的式子表示你的发现吗？
师：两个同学说了式子的两种表达方式，非常好．如果将算式进行变化，你还能很快得 出结果吗？如果 38 38 1444 ，那么 40 36 ? 生 5：1440． 师：你是直接用乘法运算还是利用上面规律？
推理能力（确定运算对象和运算法则， 明确运算方向，构造运算程序）
§2.2.1整式的加减 ——合并同类项
新人教版七年级上
概念引入 1、计算 300+4+200+5（写出计算过程） 结构特征 2、用简便方法计算：
①100 1 1 1 1 145 200 45 ＝__________； 3 4 3 4 1 1 1 1 ②100 145 200 45 ＝__________； 5 6 5 6 ③100a 145b 200a 45b ＝__________ ．
概念引入
100t
-252t
10
5ab
3ab
3ab
5ab
2
- ba
2
252t

55
4ab
2
请把上面的式子分类，并说明分类的依据。
概念生成 同类项、合并同类项的概念
填空：
①6t 2t＝( ②3x 2 2 x 2＝( ③ 7a 2 b 2a 2 b＝( )t ＝ __________ ； ) x 2 ＝ __________ ；
1、观式画图：
数学建模 直观想象
y＝x y＝3x y＝－0.5x y＝－10x
y
o
x
2、看图写式：
y y x
o
o
x
一种思维方式
正比例函数
数 形
y＝k· x
一条直线
一种思维方式
B
以形助数
B
y
y＝2x
O
x
A
A 以数定形
知识的发展
正比例函数
一次函数
y＝kx
特殊
y＝kx＋b 一般
从特殊到一般的思考
k越大，图象越陡
交点
与y 轴交于点(0，b)，与x轴交于点(
，0)
新人教版八年级上
14.3.3 因式分解 （复习课）
问题1 课前小测
问题1 课前小测
结构特征
问题2 针对训练
提公因式的方法： ①公因式的系数取各项整数系数的绝对值的最大公约数； ②取各项中相同的整式，且取相同整式的最低次数.
问题2 针对训练
合并同类项的步骤：“一找，二并，三加减”
新人教版八年级上
公式引入
师：观察下列式子，你能发现每组算式与计算结果之间的规律吗？
4 2 8 3 3 9
6 4 24 5 5 25
9 7 63 8 8 64
26 24 624 25 25 625
初中几何中的关键数学能力
培养空间观念直观想象（变换） 发展逻辑推理能力 (证明)
数学六大核心素养 数学抽象、逻辑推理、 数学建模、数学运算、 直观想象、数据分析
三个阶段
新人教版九年级上
几何语言规范教学，培养学生识图、画图的能力