, n 为广义坐标， i x , i 1, 2,
n 应该为系统的实际模态函数，

但计算时常近似地代以假设模态， 也就是满足部分或者全部边界条件， 但不一定满足动力学 方程的试函数族。 采用以广义坐标表示的功和能来描述系统的动态性能， 所有不做功的力和约束力在这种 方法中均不出现， 因此最后得到的方程是封闭形式的表达式， 提供了关节力矩和关节运动之 间的明显解析关系。同时，柔性机械臂由于连杆柔性会在工作过程中产生扭曲变形、轴向变 形、和剪切变形，但考虑到机器人连杆的长度总比其截面线径大的多，运行过程中所产生的 轴向变形和剪切变形相对于扭曲变形而言非常小。 因而在系统的动力学建模过程中通常可以 忽略轴向变形和剪切变形的影响， 将每个柔性连杆简化为 Euler 一 Bemuolii 梁来处理。 此时， 在拉格朗日方程的基础上， 采用假设模态法来描述弹性连杆的变形， 该方法具有计算量相对 少，方法简单，具有系统性和效率高的特点。即将弹性连杆的高阶模态忽略不计，可以得到 离散化的维数较低的动力学方程，进而有利于系统的动力学分析和控制器设计。 2） 有限元法 有限元法是一种以计算机辅助分析为手段的， 全新的结构分析方法。 在利用有限元法进 行建模的过程中，柔性物体被离散化为若干个弹性体单元，而这些弹性体单元在边界点(结 点)处相互连接，从而组成整个柔性物体，各个弹性体单元的分布质量可以按照一定的格式 集中到各自的结点上。对于每一个弹性体单元，其在物体坐标系内的挠度和转角，可以用结 点位移的插值函数来表示，而插值函数实质上就是一种假定振型，这样，整个柔性物体的振 动状态就可以用这些节点位移来表示， 这里的节点位移并不是对整个结构或某个子结构所取 的假定振型，而是具备简单物理意义的参数。 利用有限元法进行数学建模， 所得到的数学模型的广义坐标不但维数有限， 而且物理意 义明确， 这就使得获取某些参数不必经过复杂的数值运算而可以直接通过测量得到。 从弹性 体单元的选择到整个柔性物体运动方程的建立都有统一的方法， 这就使得有限元法的相关数 值运算可以利用计算机来完成。 利用有限元法建立起来的柔性物体模型设计控制器时， 不必 考虑很多近似因素，可以更加准确的设计控制器。 3） 分布参数法 柔性机械臂分布参数模型的建立，主要利用哈密顿原理，由此得到的是一组复杂的高 度非线性的常微分－偏微分耦合方程组， 而考虑到在小的挠曲变形的假设下， 可以得到一个 相对简单的分布参数模型。 哈密顿原理是柔性臂系统分布参数模型动力学建模的理论基础，由哈密顿原理建模的 步骤大致是：建立系统的动能、势能和虚功表达式；对系统的变分积分方程进行必要的推导 和整理。该方法以能量方式建模，可以避免方程中出现内力项，适用于比较简单的柔性体动 力学方程。 而对于复杂的结构， 函数的变分运算将变得非常繁琐。 但是变分原理又有其特点， 由于它是将系统真实运动应满足的条件表示为某个函数或泛函的极值条件， 并利用此条件确
二、受时变约束机械臂控制
1、建模 1）拉格朗日方程 2）基于哈密顿原理的分布参数模型 2、控制方法 1） 、力/位置混合控制 力/位置混合控制方法是基于将末端执行器的坐标空间按其是否被环境约束而分为位置 子空间和力子空间，力/位置控制方法通过控制末端执行器在位置子空间的位置和在力子空 间的力来实现顺应控制，这种方法的优点是可以直接控制末端执行器和环境间的相互作用 力， 这在有些场合是很重要的。 其缺点是需要很多任务规划以及需要在力控和位置控制之间 切换。 2） 、阻抗控制 阻抗控制是将力信号转变为位置或速度调整量的控制方案。 阻抗控制方法的特点是不直 接控制机械臂和环境的作用力，而是根据执行器末端的位置（或速度）和端部作用力之间的 关系，通过调整反馈位置误差、速度误差或刚度来达到控制的目的。与力/位置混合控制相 比，阻抗控制任务规划量和实时计算量较少，并且不需要控制模式的切换，因而在机器人柔 顺控制中占据着主导地位。
(3)自适应控制法 振动的自适应控制的研究起始于上世纪八十年代初， 它主要用来解决受控结构及其参数 存在较严重不确定性情况下的振动控制问题。这些不确定性包括：受控结构的模型误差，包 括两部分:由于建模方法、手段的限制，受控对象与数学模型之间的误差以及对数学模型进 行线性化处理和降阶所带来的误差； 受控结构本身发生变化， 受控结构所处工作环境的变化； 控制器计过程中的工程近似； 计算机字长影响等。 结构振动自适应控制设计所采用的方法主 要有:自校正控制、简化自适应控制、基于超稳定性的自适应控制以及基于自适应滤波的振 动控制等。 (4)神经网络 神经网络有三种比较普遍的控制结构，常用于预测和控制，分别是模型预测控制、反馈 线性化、模型参考控制。使用神经网络进行控制时候，通常有两个步骤：系统辨识和控制设 计。 在系统辨识阶段主要目的是对需要控制的对象建立神经网络模型。 在控制设计阶段主要 任务是基于所建立的模型设计控制器。 基于奇异摄动的方法把系统分解成慢变和快变两个子 系统。对于慢变子系统，基于神经网络的方法设计一个自适应控制器对它进行角度控制。对 于快变子系统，设计一个模糊 PD 控制器来抑制顶端振动，并且取得了很好的效果。 (5)PID 控制 PID 控制具有以下几个优点：1、原理简单，使用方便；2、适应性强，3、鲁棒性强。 在柔性臂控制中，一般是通过调整控制器的控制增益构成自校正 PID 控制器，或者与其他 方法结合构成复合控制系统以改善 PID 控制器的性能以及机械臂振动的控制效果。 (7)分力合成 该方法在本质上与输入成形方法是相同的， 只是考虑问题的角度不同。 其实质是利用几 个相同或者相似的随时间变化的力作为分力， 它们按一定的规律按时间轴排列合成为柔性系 统的输入， 它可以在实现指定刚性运动的同时有效抑制掉对系统影响较大的任意多阶振动分 量(柔性系统的刚性运动要求由分力的时变规律来保证，各个分力在时间轴上的排列规则用 以实现振动的抑制)。在实际应用中，只需要知道要抑制的各阶振动的阻尼和频率即可，无 需大量复杂的计算，非常简单适用。
一、柔性机械臂协调操作柔性负载
1. 建模方法 1） 假设模态法 假设模态法是利用有限个已知模态函数来确定系数的运动规律。连续系统的解可写作 全部模态函数的线性组合，若取前 n 个有限项作为近似解，则有
y ( x, t ) i x qi t
i 1
n
其中 qi t , i 1, 2,
定系统的运动。 因此这种方法可结合控制系统的优化进行综合分析， 便于动力学分析向控制 模型的转化。 2. 控制方法 1）奇异摄动法 奇异摄动方法的思想是首先忽略快变量以降低系统阶数， 然后通过引入边界层校正来提 高近似程度。 这两个降阶的系统就可以用来近似原系统的动力学行为， 这实际上相当于在两 个时间尺度范围内分别独立完成设计任务。 对动态系统来说， 这种分解实际上就是一种时标 的分解。 利用奇异摄动方法，柔性机械臂的动力学模型被分解为两个子系统，慢变子系统表征 大范围运动的刚性系统， 快变子系统则表征弹性连杆的小幅振动， 从而实现了柔性臂协调运 动系统中的快、慢变量的解祸，以便于简化控制器设计。 2）自适应控制 自适应控制能通过测取过程状态的连续信息， 自动调节控制器参数以适应环境条件或过 程参数的变化，使系统获得较强的鲁棒性，维持控制系统所要求的性能准则。 3. 振动抑制 i.被动控制 被动控制是一种没有外部能源的振动控制方法。被动控制的主要措施有：吸振，通过在 主系统上加子系统来实现能量的重新分配； 隔振， 它通过采用附加的隔振器将振源与需隔振 的系统分开减少系统的振动； 阻振， 增加需减振的系统的阻尼来消耗能量从而达到减振的目 的。被动控制所采取的方法主要有设置隔振器，减振器，采用大阻尼复合材料等。在机械臂 系统的振动控制中，由于高速，高精度，大范围的运动所产生的振动强度大，被动式的控制 方法不足以克服这种强烈的振动， 而且由于被动控制方法缺乏控制上的灵活性， 对突发性的 环境变化的应变能力较差。此外，由于有很多不确知因素的影响，使得有时候被动控制根本 起不到抑制振动的效果，有时甚至会产生相反的效果，并且被动控制的适应性差，对低频振 动尤其是超低频振动的抑制效果很差，而在现实中低频运动是一定要抑制的。因此，当前对 柔性物体的振动抑制的研究主要集中在主动控制中。 ii.主动控制 振动主动控制是主动控制技术在振动领域的一项重要应用。 包括开环和闭环两类。 开环 控制中，其控制器中的控制律是预先按规定的要求设计好的，与受控对象的振动状态无关， 而闭环控制中的控制器是以受控对象振动状态为反馈控制信息而进行设计的。 振动的闭环控 制根据受控对象的振动状态进行实时的外加控制， 使其振动满足人们的预期要求。 具体的说， 就是装在受控对象的传感器感受其振动， 传感器输出信号传送至控制器， 控制器实现所需要 的控制律，用其输出来控制受控对象。这样就构成了一个闭环控制系统。 (1)特征结构配置法 特征结构配置法根据系统的动态响应和由其闭环特征解决定的性质， 使相应的控制律的 设计直接满足闭环特征值和特征向量的预定要求， 进而改善系统的动态特性。 特征结构配置 包括特征值配置和特征向量配置两部分， 系统的特征值决定着系统的动态特性， 特征向量影 响系统的稳态特性。 (2)最优控制法 最优控制是满足一定条件的反馈控制， 其兼顾响应与控制两方面的要求使性能指标达到 最优。 因为控制器的设计一般建立在降阶模型的基础上， 所以应用最优控制理论设计的控制 器作用于实际结构时，系统性能都是次优的。最优控制法可表述为带约束条件的优化问题， 通常采用受控结构状态和控制信号的二次型形式作为性能指标。 如果采用状态反馈， 一般需 要进行状态重构。