第4章
分形几何
理学院精应选用pp数t 学系 1
4.1 分形几何学产生的背景
从数学的发展进程看，十九世纪经典数学研 究的对象是牛顿连续动力学体系，导致其几何学 研究对象为欧几里得规则几何结构。
这些研究对象往往具有规则、光滑、连续等 特点，如常见的直线、曲线、光滑的曲面或球面 等，我们可以用这些规则的几何体去近似描述自 然界或物理运动中具有规则形状的人造物体。
拓扑维数。
⑤ 在大多数令人感兴趣的情形下，F以非常简单的方
法确定，可能由迭代过程产生。
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4.2.3 规则分形与随机分形
一、规则分形 通过初始元和生成元的确定，按照严格的规
律不断变化以至无穷，并且具有严格的自相似性 的分形。
二、随机分形 自相似性只存在于无标度区之内，一旦逾越
了无标度区域，自相似性就不复存在的分形。
丢勒正五边形
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4.2.2 分形的定义
一、B.B.Mandelbrot的两次定义
（1）满足下式条件：
Dim(A)>dim(A)的集合A，称为分形集。
其中，Dim(A)为集合A的Hausdorff维数(或分维数)，
dim(A)为拓扑维数。(一般Dim(A)不是整数，而是分
数)。
（2）分形是那些局部和整体按某种方式相似的集合
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4.2 分形的特征及定义
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4.2.1 具有分形特征的典型例子与无标度性
例4.1 康托（Cantor）三分集
康 托 三 分 集 的 长 度 ： F l k i m E k l k i m 2 3 k k l k i m 2 3 k 0
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欧氏几何与分形几何的区别
欧几里得几何
分形几何
经典的（2000多年的历史）
现代数学怪物（30多年的历史）
基于特征长度与比例 适合于人工制品 用公式描述 图形规则 图形的结构层次有限 局部一般不具有整体的信息
图形越复杂，背后的规则也越复杂
无特征长度与比例 实适用于大自然现象 用（递归或迭代）算法描述 图形不规则 图形的结构层次无限 局部往往具有整体的信息 图的图形形复复杂杂，，背背后后的规规则则经经常常是是简简单单的
康托（Cantor）三分集的性质：
① F是自相似的。 很明显，在区间［0,1/3］和［2/3,1］内的F部分与
E0是几何相似的，相似比为1/3 ，进而E2的四个区间内F 的部分也与 E0 相似，相似比为1/9,…, 这种部分与整体相 似的图形称为具有自相似性质。
② F有“精细结构”。 即它包含有任意小比例的细节。越放大康托集的图
形，间隙就越清楚地呈现在我们面前。
③ F在某种意义下是相当大的集。 但它的大小不适合于用通常的长度来度量。用任何
合理定义的长度，F总是长度为零。
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例4.2 谢尔宾斯基（Sierpinski）三角
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皮亚诺（Peano）曲线
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朱莉娅（Julia）集
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“科赫曲线”——1904, H. V. Koch
S1(1(13
3))1 3 2 2 12
S2
3(1)24 34
12 3
12 9
S3123(1 3)24123(9 4） 2
……
科 赫 曲 线 面 积 ： lki m 12 39 4k
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“科赫雪花”——1904, H. V. Koch
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这些变化无穷的几何形体，已经不再具备我
们早已熟知的数学分析中连续、光滑等基本性
质了，显然，我们无法用传统的几何学来描述、
研究它们。
因此，这类几何体常被排斥在传统数学研
究对象人之们外逐，渐并意称识之到为对“这病些态“”病的态几”何的对几象何。结
构开展研究是十分必要的，因为不规则几何体
不仅比经典几何图形能更好的反映自然现象，
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“科赫曲线”——1904, H. V. Koch
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“科赫曲线”——1904, H. V. Koch
E0
E1 4 1 4 33
E2
4
2
1 32
Байду номын сангаас
4 3
2
……
E3
E4
4k
1 3k
4 3
k
科赫曲线长度：
lim
k
4 3
k
Koch曲线处处连续，但处处不可导，其长度为无穷大。
为了研究上的方便，常常要对这些几何体要 做出连续、可微的限制。
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4.1 分形几何学产生的背景
然而，在真实的自然界中却存在着千姿百态 的自然构型：
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自然界中千姿百态的自然构型：
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科学研究中的“病态”几何对象：裂纹
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科学研究中的“病态”几何对象：布朗运动
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分形理论的哲学启示
分形理论作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的:
(1) 分形整体与局部形态的相似，启发人们通过 认识部分来认识整体，从有限中认识无限。
(2) 分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、 复杂与简单之间的新形态、新秩序。
(3) 分形从一个特定的层面揭示了世界普遍联系 和统一的图景。
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前面对分形的讨论都是一种定性的描述， 其准确性和精细性远远不能满足人类的需要。
下面将介绍分形维数的计算方法，从定量的 角度分析和研究分形所具有的内在本质和规律。
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4.2.2 分形的定义
二、仿照生物学中生命的定义
如果集合F具有下列典型的性质，则集合F是分形。
① F具有自相似性，
这种自相似性可以是近似的或是统计意义下的。
② F具有精细的结构，
即在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节。
③ F是不规则的，
它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。
④ 一般地，F的某种方式定义下的分形维数大于它的
而且能够更好的揭示物质运动的本质特征。
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分形几何学创始人—曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)
1975年，美籍法国数学家 曼德布罗特在总结了前人研究 的基础上，冲破了传统几何学 的束缚，创建了分形几何学 （ Fractal,分形理论）。
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“英国的海岸线有多长”——1967，《science》