专题04递推归纳法递推归纳法是依据物理问题所呈现的物理量之间的关系或潜在的物理条件,通过物理相关规律,再辅以数学方法来递推归纳,得出物理量变化的通式,从而探知物理量的变化规律。

在应用递推归纳法解决物理问题时,要善于引导学生挖掘物理量之间的变化关系及其隐含的物理条件,因为它是我们进一步对物理问题进行递推归纳的抓手。

譬如,在应用递推归纳法解解决动力学问题时,首先要分析物体的受力,进一步分析物体的运动情况,善于分析出物体运动中的相似阶段,把握物体在相似运动阶段的节点。

把整个运动过程分为若干个相似的阶段,每个相似阶段具有宏观运动性质的相似性。

比如：有的相似性阶段是先在电场中作匀变速运动后在磁场中做匀速圆周运动,有的相似性阶段是先匀加速运动后做匀减速运动。

在相似性阶段还可能具有相同的某一物理量,或是运动周期相同,或是末速大小相等,或是位移大小相等,如此不一而足。

因此,递推归纳出的物理量往往具有比较简单的变化规律,或是等差数列变化,或是等比数列变化,较难一点的是复合数列变化。

典例1（19年江苏卷）如图所示,匀强磁场的磁感应强度大小为B ．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M 、N ,MN =L ,粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短）,反弹前后水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m 、电荷量为-q 的粒子速度一定,可以从左边界的不同位置水平射入磁场,在磁场中做圆周运动的半径为d ,且d <L ,粒子重力不计,电荷量保持不变。

（1）求粒子运动速度的大小v ；（2）欲使粒子从磁场右边界射出,求入射点到M 的最大距离d m ； （3）从P 点射入的粒子最终从Q 点射出磁场,PM =d ,QN =2d,求粒子从P 到Q 的运动时间t ．【答案】（1）qBd v m =,（2）m d =（3）π2L m t d qB =+（）,π2L m t d qB =-（） 【解析】（1）粒子的运动半径 mv d qB =解得qBdv m= （2）如图4所示,粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切由几何关系得d m =d （1+sin60°）解得m d =（3）粒子的运动周期2πmT qB=a.设粒子最后一次碰撞到水平板后射出磁场的时间为t 1,粒子斜向上射出磁场1t 41t +=T可能1t 43t +=T可能1t 45t +=T…………………….()）（.........3,2,1n t 41n 2t 1=++=T 当()d 23-1d 1n 2L ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=时, T 121t 1=解得 π2L m t d qB =+（） b.设粒子最后一次碰撞到水平板后射出磁场的时间为t 2,粒子斜向下射出磁场2t 42t +=T可能2t 44t +=T可能2t 46t +=T…….…………2t 4n2t +=T (n=1,2,3,………)（b ）当d 231nd 2L ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=,时, T 125t 2=解得 π2L m t d qB =-（） 【总结与点评】本题第三小题求带电粒子在磁场中运动时间,带电粒子撞到水平板的次数分为奇偶次两种情况递推,求出两种情况下粒子在磁场中运动时间。

针对训练1a ．如图所示,以两虚线为边界,中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场,宽度为d ,两侧为相同的匀强磁场,方向垂直纸面向里。

一质量为m 、带电量q +、重力不计的带电粒子,以初速度1v 垂直边界射入磁场做匀速圆周运动,后进入电场做匀加速运动,然后第二次进入磁场中运动,此后粒子在电场和磁场中交替运动。

已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍,第三次是第一次的三倍,以此类推。

求 （1）粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功1W 。

（2）粒子第n 次经过电场时电场强度的大小n E 。

（3）粒子第n 次经过电场所用的时间n t 。

（4）假设粒子在磁场中运动时,电场区域场强为零。

请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中,电场强度随时间变化的关系图线（不要求写出推导过程,不要求标明坐标刻度值）。

【答案】（1）2121221232121mv mv mv W =-=,（2）qd mv n E n 2)12(21+=,（3）1)12(2v n d v d t n n +== 【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,由rv m qvB 2=得qB mvr = 则v 1：v 2：…：v n =r 1：r 2：…：r n =1：2：…：n（1）第一次过电场,由动能定理得2121221232121mv mv mv W =-=（2）第n 次经过电场时,由动能定理得2212121n n n mv mv d qE -=+解得qdmv n E n 2)12(21+=（3）第n 次经过电场时的平均速度112122v n v v v n n n +=+=+, 则时间为1)12(2v n dv d t n n +== （4）如图2【总结与点评】依据带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式,可知带电粒子依次进入磁场的速度大小之比等于其在磁场中的轨道半径之比,可以求出每次进入磁场的速度,每次进入磁场的速度也是前次出电场的速度,以这个速度关系作为抓手,再结合动能定理即可递推归纳出第n 次经过电场的场强,至于第n 次在电场中匀加速的时间也就迎刃而解了。

本题难度适中,运动模型虽然复杂一些,但模型相对单一,仅是电场与磁场周期性运动,应用的物理规律可以是动能定理,也可以是动力学运动规律,学生的得分率较高。

针对训练1b ．雨滴在穿过云层的过程中,不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体,其质量逐渐增大。

现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。

已知雨滴的初始质量为m 0,初速度为v 0,下降距离l 后与静止的小水珠碰撞且合并,质量变为m 1。

此后每经过同样的距离l 后,雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并,质量依次变为m 2、m 3……m n ……（设各质量为已知量）。

不计空气阻力。

（1）若不计重力,求第n 次碰撞后雨滴的速度v n ′；（2）若考虑重力的影响,a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v 1和v 1′；b.求第n 次碰撞后雨滴的动能12n m v n ’2。

【答案】（1）00'v m m v n n =,（2）gl m m m v m m m v m E n n n i n n n n n Kn ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑-=210220202'2121 【解析】（1）若不计重力,则 ： '00nn v m v m = 00'v m m v nn =（2）若考虑重力的影响,a.第1次碰撞前gl m v m v m 02002102121=- gl v v 22021+= gl v v 2201+=第1次碰撞后 '1110v m v m = gl v m m v m m v 22010110'1+==①b.第2次碰撞前gl m v m v m 12012112121=- gl v v 22'122+=利用①得： gl m m m v m m v 22121202021022⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ②第2次碰撞后 ,利用②得 gl m m m v m m v m m v222212020220222212'2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 同理,第3次碰撞后 gl m m m m v m m v223222120202302'3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 第n 次碰撞后 gl m m v m m v n n n i n n2210220202'⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑-=gl m m m v m m m v m E n n n i n n n n n Kn ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑-=210220202'2121 【总结与点评】本题是动能定理与动量守恒综合题,中等偏上难度。

在递推时要先用动能定理求出碰撞前的雨滴速度（被碰雨滴静止）,再应用动量守恒定律求出碰撞后共同速度,这样,完成了一个运动的周期。

雨滴继续自由下落加速,再碰撞求出共同速度,如此递推归纳,可求出n 次碰撞后的速度与动能。

针对训练1c ．制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d 的两平行极板,如图所示,加在极板A 、B 间的电压AB U 作周期性变化,其正向电压为0U ,反向电压为-k (1)0U k >,电压变化的周期为2τ,如图所示。

在t=0时,极板B 附近的一个电子,质量为m 、电荷量为e,受电场作用由静止开始运动。

若整个运动过程中,电子未碰到极板A,且不考虑重力作用。

（1）若54k =,电子在0—2r 时间内不能到达极板A,求d 应满足的条件；（2）若电子在0—2r 时间未碰到极板B,求此运动过程中电子速度v 随时间t 变化的关系； （3）若电子在第N 个周期内的位移为零,求k 的值。

【答案】（1）meU d 10920τ>,（2）()[]md ekU n k t v 01τ+-=,()()[]dm eU kt k n v 011-++=τ, （3）3N 41N 4--=k【解析】（1）电子在 0～τ时间内做匀加速运动 加速度的大小 mdeU a 01= ① 位移21121τa x =② 在τ～2τ时间内先做匀减速运动,后反向做匀加速运动 加速度的大小 mdeU a 4502=③初速度的大小τ11a v = ④匀减速运动阶段的位移22122a v x = ⑤ 依据题,21x x d +> 解得meU d 10920τ>⑥ （2）在τn 2～()τ12+n ,（n =0,1,2,……99）时间内速度增量τ11a v =∆ ⑦ 在()τ12+n ～τ)1(2+n ,（n =0,1,2,……99）时间内加速度的大小mdekU a 02=‘速度增量τ'22a v -=∆⑧(a)当0≤τn t 2-<τ时电子的运动速度 ()τn t a v n v n v 2121-+∆+∆= ⑨ 解得()[]mdekU n k t v 01τ+-= (n =0,1,2, ……,99) ⑩ (b)当()ττ<+-≤120n t 时电子的运动速度 ()()[]τ121'221+--∆+∆+=n t a v n v n v⑾解得()()[]dmeU kt k n v 011-++=τ,(n =0,1,2, ……,99) ⑿（3）电子在τ)1-N (2 ~τ)1-2N (时间内的位移212N 21-2N 21ττa v x +=- 电子在τ)1-2N ( ~τ2N 时间内的位移221N 22N 21ττ‘a v x +=- 由⑩式可知()()dm eU k v 02-2N 11N τ--= 由⑿式可知 ()dmeU k k v 01-2N N N τ+-= 依题意得 0N 21N 2=+-x x 解得：3N 41N 4--=k【总结与点评】本题第1小题使学生感知到电子运动时间的周期性；在第1小题的基础上递推出经过时间t 的速度,在这个递推的过程中,要善于归纳出每个周期的速度变化量,并且要分析清楚电子运动最后小于半周期的时间,是落在前半周期还是落在后半周期,以便求出电子两种情况下的末速度；利用第2小题的求出的速度,递推出第N 个周期内位移为零,自然是水到渠成。