高超声速空气动力学对于高超声速尾迹稳定性的研究非常少，早期的研究主要是以实验为主，1964年，Lyons等[83]对高超声速圆锥和圆球绕流的阻力、稳定性和尾迹特征进行了实验研究，其得出了圆锥尾迹从层流到湍流的转捩雷诺数，利用阴影技术得到层流和湍流情况下的圆锥尾迹。

1972年，Finson[84]利用阴影法对高超声速高雷诺数尾迹进行了实验研究，得到了圆锥层流和湍流边界层的尾迹阴影图。

2002年，Maslov[85]等利用电子束方法对高超声速钝锥和尖锥绕流的流动稳定性进行了实验研究，对在自然扰动和人工有限振幅扰动情形下的圆锥稳定性进行了实验研究。

2004年，Nishio[86]等利用放电方法对高超声速太空舱的尾迹稳定时间进行了实验研究，得出了其尾迹结构及其稳定时间。

2006年，Danehy和Wilkes[87]等在马赫数10风洞中利用平面激光诱发荧光法（PLIF）对X-33机身尾迹流场、开洞平板绕流、70度钝锥带圆柱尾部模型的尾迹、Apollo太空舱尾迹4个模型进行了实验研究，显示了各种模型尾迹结构图像。

步入21世纪后，研究人员开始逐步采用数值计算的方法来研究底部流动及尾迹结构。

由于底部流动及尾迹结构十分复杂，国外的研究人员大都采用DNS方法、RANS/LES方法以及DES方法，以此获得底部流动及尾迹的湍流结构，但对其演化机理研究甚少。

2005年，Sandberg[88]等利用DNS方法对超声速圆柱底部流动的转捩现象进行了研究，其获得了底部流动演化过程中的多种结构。

2006年，Sivasubramanian[89]等利用RANS/LES方法及DES方法对超声速轴对称导弹外形的底部流动进行了研究，获得了底部流场的湍流结构，并采用船形后体实现了底部流动湍流结构的被动控制。

2007年，Sinha[90]采用DES方法对高超声速再入式飞行器的底部流场进行了研究，获得了底部流动的非定常现象，分析了底部流动的雷诺数效应。

2009年，MacLean[91]等利用实验和DES方法对高超声速球形返回舱的底部流动进行了研究，在有支撑情形下获得了返回舱底部流动的层流及湍流流场。

2011年，Brock[92]等利用RANS及RANS/LES方法对高超声速返回舱的底部流动进行了数值模拟，获得了其底部流动的层流到湍流的数值结果并与实验进行了对比。

通过对圆球尾迹、圆柱尾迹、圆锥大攻角背风区尾迹及高超声速范围尾迹稳定性的调研，发现在低速不可压缩领域尾迹的非定常现象及演化研究较广泛，对其非定常现象取得了一定的认识。

但是在超声速特别是高超声速领域，有限的研究只是发现了钝体尾迹存在的非定常现象，均未对其非定常形态的发展过程及演化机理进行研究，尚缺乏对具体现象及规律的认识。

一、结构稳定性理论为了研究尾迹结构的演化形态及机理，人们提出了结构稳定性理论，通过分析流场的拓扑结构，来对流场的稳定性进行分析，期望对尾迹流场的稳定性特征取得认识。

结构稳定性的直观定义：考虑由微分流型M上的向量场v所给出的微分方程(x),x M=∈我们也说v给出x v了一个动力系统（简称系统）。

例1 带摩擦的摆：系统可写成： ,x y y x ω==-(x,y)K ∈ 其中K 为椭圆区域，原点是系统的中心，且在K 中充满围绕原点的闭轨。

现在考虑扰动系统：当0(0)α><时，原点是稳（不稳定）焦点，且在K 中不存在任何闭轨。

由于0α≠的扰动系统与未扰动系统的拓扑结构不是等价的，因此系统是结构不稳定的。

由此得出结构稳定性定义：结构稳定性是指当动力系统受到扰动变为“邻近”的动力系统时，系统的拓扑结构保持不变的性质。

为了使定义有意义，需要定义何谓场的扰动以及什么样的系统可看作等价的。

拓扑等价性：微分同胚：两个系统（M 1,v 1）和(M 2, v 2)称为微分同胚的，如果存在微分同胚h ：12M M →，把向量场变为。

从光滑流型的几何学的观点来看，微分同胚的系统是没有区别的。

下面的例子可以看出分类到只相差微分同胚要求太高。

例2 考虑一维相空间中的方程：在两种情况下，x=0都是不稳定结点，但是这两个系统并不是微分同胚的。

这点可从微分同胚保线性算子的特征值得到证实。

为了不区分两个场，引入比较粗的等价关系即所谓的拓扑等价性。

考虑所给向量场定义的相流，向量场v 的相流就是这样一族gt: M →M 变换，它们把x=V(x)方程在t=0时刻的初始值x 0变化为在t 时刻的值gt x 0；显然有：gt +s =gt •gs , g 0=1拓扑等价：两个动力系统称为拓扑等价的，如果存在第一个系统的相空间到第二个相空间的同胚h 变第一个相流为第二个相流。

换言之，即要求以下图式可微：在此之下系统是拓扑等价的。

轨道等价性：和令人遗憾的是拓扑等价性仍不能摆脱对线性算子的本征值的依赖关系。

例3 考虑具有封闭相曲线（如极限环）的向量场，这时所有拓扑等价的系统都是极限环，而且周期相同。

当场有微小扰动时，周期也可能稍微有改变。

所以沿极限环运动的周期对于拓扑等价性也是连续变动的不变量（即模）。

为避开这类模，需要再引入一个比按照同胚分类更粗的分类。

拓扑轨道等价：两个动力系统成为拓扑轨道等价，如果存在由第一个系统的相空间到第二个相空间的同胚变第一个系统的有向相曲线为第二个有向相曲线。

这时不需要两个运动在相应相曲线上的协调。

结构稳定性假设就是：若将动力系统按轨道稳定性分类就不会有（离散的）模的影响。

由此得到结构稳定性的最终定义：令M为类紧光滑流型，v为M上的r c向量场（若M有边缘，还要求v不切于边），如果向量场v在1c空间中有一个邻域，其中一切向量场都给出与原来系统为拓扑轨道等价的系统，而且实现这一等价性的同胚又接近于恒等映射，系统（M，v）就是结构稳定的。

平面向量场的结构稳定性问题：平面单位圆盘222B{(x,y)|x y1}=+≤考虑系统：2==∈(x,y),y(x,y),(x,y)Bx p Q设12P Q C∈且向量场（P，Q）与2B的边界2B,(B,r)∂是无切的。

安德罗诺夫-庞特里雅根定理：设12∈则系统为结构稳定性的充要条件是：,(B,r)P Q C(1) 只有有限个奇点，它们是初等的，且特征根实部不等于零（称为双曲的）；(2) 没有从鞍点到鞍点的轨线；(3) 只有有限个闭轨线，且闭轨线是稳定的或不稳定的单重极限环。

对于平面向量场，如有紧致集D2R⊂，使得向量场与∂D是无切的，即在∂D上轨线都是向内（或向外）的，上面的定理可用D于上的向量场。

Peixoto（比索杜）定理：设是紧致的可定向的二维流型，X是的向量场，则X是结构稳定的，当且仅当：(1) X仅有有限个奇点且它们是双曲的；(2) X的任何轨线α,ω的极限集仅由奇点或闭轨线组成；(3) X不存在连接鞍点和鞍点的轨线；(4) X仅有有限个闭轨线且它们是简单的。

一些有益于本文的结构稳定性方面的结论：规范区域：连接源与渊的轨线附近的轨线也是连接相同源与渊的轨线，其中每一连通分支为一个规范区域。

每一个规范区域有且仅有一个源与一个渊。

规范区域的边界情况：(a) 仅由源与渊组成1) 两个极限环；2) 一个极限环与一个奇点；3) 一个是2B∂，另一个是极限环或奇点。

(b) 边界上有两个鞍点(c) 边界上有一个鞍点如果系统的平衡点的稳定流形和不稳定流形非横截相交，则此系统是结构不稳定的。

如果奇点是初等的，奇点特征根实部不为零，奇点只可能是结点、焦点、鞍点。

不稳定的结点、焦点等为源，稳定的结点、焦点为渊。

两种连线：（结构稳定）1) 源与渊轨线2) 鞍点与源或渊轨线在双曲平衡点附近，非线性流的拓扑结构可以用线性化流描述。

若系统是结构稳定的，则此系统的一切平衡点和闭轨都是双曲的且它们的稳定流形和不稳定流形在相交时都是横截的。

非定常流动分离是近年来倍受流体力学界广泛关注的研究课题。

由于问题复杂，人们仅在二维问题上取得了一定的进展，三维问题的研究至今仍存在很大困难。

非定常分离研究的主要困难之一在于，从定性上看，现象本身是非自治系统，目前还没有现成的分析方法。

所幸的是，人们关于二维非定常分离的研究，开辟了间接利用定常问题的方法研究非定常问题的道路。

关于三维分离流动，人们研究了其表面流态，对表面流态的拓扑给出了系统的结果。

例如对于单连物面，Lighthill给出，其表面极限流线方程的结点总数比鞍点总数多2。

张涵信给出了三维定常流动分离的条件，并依据条件证明，对于实际的分离流动，分离线是一条极限流线，周围的极限流线向它收拢等，这些拓扑规律对分析表面分离流态有重要指导意义。

但是，当我们有兴趣于分离流动的空间流动特征时，仅仅了解表面流态是不够的，因此最近大量实验和数值计算，都在同时研究分离流动的截面流态，特别对于物体绕流的三维分离流场，研究垂直于体轴各横截面上的流态。

在这种情况下，如能给出横截面上流态的拓扑规律，那将是很有意义的。

同时张涵信和冉政曾指出通常意义上的首次横向分离，在横截面流态中并没有一致的对应，这些欠缺表明还有必要研究垂直物面的截面流线拓扑规律。

目前对于不可压缩情况下三维非定常分离的研究得出了很多重要的结论，但是不能推广到可压缩流动中。

圆球绕流，圆锥绕流，圆柱绕流的流动现象中存在很多十分复杂的流动结构，对于它们的流动特性分析有着广泛的应用背景。

其中圆锥绕流研究得较深入，有了一定的成果，圆柱绕流对于不可压情况下得到很多重要结论，但是如何推广到可压缩情况还有待研究。

相比之下圆球绕流研究的较少，可压缩情况下圆球绕流流动情况还不是很清楚，现有文献大都集中在数值分析阶段，对于其机理理解较少。

国外学者Lighthill，Tobak[100]，Hunt等在截面奇点总数的拓扑规律及奇点稳定性方向做出了杰出的贡献。

在拓扑结构方面，国内的学者张涵信[93][94]、邓学蓥[95][96][97][98][99]等对细长旋成体的研究，提出了新的理论。

但是拓扑理论的研究仍然存在其局限性，怎样将现有结论推广到准三维以及三维情况是目前需要解决的问题。

张涵信分析了不同攻角下截面流态的演变规律，如图5所示：图5 不同攻角下截面流态的演变规律李国辉和邓学蓥[95]从拓扑结构稳定性观点出发，指出在大攻角下细长体截面绕流中存在鞍点-鞍点连接的结构，故流场是拓扑结构不稳定的。

其研究指出，按照三维分离理论，分离线应起自于物面上的极限流线，而不是边界层。

对同一个流场，所取的区域不同，区域流动的稳定性就不一样。

因此在进行流场稳定性分析时，应取全流场而不是局部流场，他们取极限流线为流场的内边界，无穷远处为流场的外边界，无穷远处采用Poincare变换，经过Poincare变换则无穷远处来流变成一个不稳定结点N1，而气流流向的无穷远处变成一个稳定结点N2，经过如此处理他们得出了物面上极限流线的鞍-鞍连接的异宿轨线的结构稳定性与空间的鞍-鞍连接的异宿轨线的结构稳定性是不同的。