提示:不一定唯一,如数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以为 an=(-1)n 或 an=
1 1
n为奇数 ，
有的数列没有通项公式.
n为偶数 ，
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知识梳理
1.数列的定义
按照 一定顺序 排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类原则 按项数分类
类型 有穷数列 无穷数列
解:(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n,观察各项的绝 对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为 an=(-1)n(6n-5).
15
(2) 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ,…; 3 15 35 63 99
解:(2)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为 1×3,3×5,5×7,
7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的一个通项公式为 an=
2n
.
2n 12n 1
16
(3) 1 ,2, 9 ,8, 25 ,…; 22 2
解:(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察.
即 1 , 4 , 9 , 16 , 25 ,…,从而可得到数列的一个通项公式为 an= n2 .
(2)若数列{an}的前 n 项和为 Sn,
则
an=
S1 Sn
S n 1
n n
1, 2.
9
双基自测
1.(2019·淮南月考)数列1,-1,2,0,1,-1,2,0,…的第2 017项为( A ) (A)1 (B)-1 (C)2 (D)0 解析:2 017=4×504+1,按照周期性,可知第2 017项为1.故选A.
10
2.(2019·保定期末)若数列{an}的通项公式an=n2-5n,则下列结论正确的是 (D) (A) {an}为递增数列 (B){an}为递减数列 (C){an}从第二项起为递增数列 (D){an}从第三项起为递增数列
解析:根据二次函数性质,函数 y=x2-5x 的对称轴方程为 x= 5 ,可知 a1>a2= 2
222 2 2
2
17
(4)5,55,555,5 555,….
解:(4)将原数列改写为 5 ×9, 5 ×99, 5 ×999,…,易知数列 9,99,999,…的通项为
9
9
9
10n-1,故所求的数列的一个通项公式为 an= 5 (10n-1). 9
反思归纳 由数列的前几项归纳数列通项公式的策略 (1)分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项 的符号特征和绝对值特征;(5)化异为同;(6)对于符号交替出现的情况,可 用(-1)k或(-1)k+1来调整.
8
6.数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项),且从第二项开始的任何一项an与它的 前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即an=f(an-1)或an= f(an-1,an-2),那么这个式子叫做数列{an}的递推公式. 7.an与Sn的关系 (1)Sn= a1+a2+…+an .
2
第1节 数列的概念与简单表示法
3
考纲展示
1.了解数列的概念和几种简单的表示方 法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类 殊函数.
4
知识梳理自测 考点专项突破 易混易错辨析
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知识梳理自测
把散落的知识连起来
【教材导读】
1.数列{an}的通项an=3n+5与函数y=3x+5有何区别与联系? 提示:an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的定义 域为R,an=3n+5的图象是离散的点,且排列在函数y=3x+5的图象上. 2.数列的通项公式唯一吗?是否每个数列都有通项公式?
a3<a4<…,故该数列从第三项起为递增数列.故选 D.
11
3.在数列{an}中,an+1=an+2+an,a1=2,a2=5,则a6的值是( A ) (A)-3 (B)-11 (C)-5 (D)19
解析:由an+1=an+2+an, 得an+2=an+1-an, 所以a3=a2-a1=3, a4=a3-a2=-2, a5=a4-a3=-5, a6=a5-a4=-3.
满足条件 项数 有限 . 项数 无限 .
按项与项间 的大小关系
分类
递增数列 递减数列
常数列
摆动数列
an+>an an+1<an an+1=an
其中 n∈N*
从第2项起,有些项大于它的前一项,有 些项小于它的前一项的数列
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3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的函数特征 从函数观点看,数列可以看成以 正整数集N* (或它的有限子集{1,2,3,…,n}) 为定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一 列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的 解析式 . 5.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个 公式叫做这个数列的通项公式.
第五篇 数列(必修5)
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六年新课标全国卷试题分析
高考考点、示例分布图
命题特点
1.高考在本篇一般命制2道小题或者1道解答 题,分值占10～12分. 2.高考对小题的考查一般以等差、等比数列 的基本量运算、等差、等比数列的性质、数 列的递推式等为主. 3.解答题一般考查求数列的通项公式、等差 及等比数列的计算、错位相减法、裂项相消 法、公式法求和.
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4.下面结论:①数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;②数列的
项数是无限的;③数列的通项公式是唯一的;④数列不一定有通项公式;⑤将
数列看做函数,其定义域是N*(或它的有限子集{1,2,…,n}).其中正确的是
( B)
(A)①②④⑤ (B)①④⑤
(C)①③④
(D)②⑤
解析:②中数列的项数也可以是有限的,③中有些数列的通项公式不唯一.
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5.已知函数 f(x)= x 1 ,设 an=f(n)(n∈N+),则{an}是 x
或“递减”).
解析:因为 f(x)=1- 1 在(0,+∞)上是增函数, x
故 f(n)(n∈N+)是增函数,所以{an}是递增数列.
答案:递增
数列(填“递增”
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考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 由数列的前几项归纳数列的通项公式 【例1】 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…;