微分方程的分类及其数值解法
微分方程的分类：
含有未知函数的导数，如dy/dx=2x 、ds/dt=0.4都是微分方程。

一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。

未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

微分方程有时也简称方程。

一、常微分方程的数值解法：
1、Euler 法：
00d (,), (1.1)d (), (1.2)
y f x y x y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 001
(),(,),0,1,,1n n n n y y x y y hf x y n N +=⎧⎨=+=-⎩ (1.4) 其中0,n b a x x nh h N
-=+=. 用(1.4)求解(1.1)的方法称为Euler 方法。

后退Euler 公式⎩⎨⎧+==+++),,(),(111
00n n n n y x hf y y x y y 梯形方法公式
)].,(),([2
111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y 改进的Euler 方法11(,),(,),1().2p
n n n c n n p n p
c y y hf x y y y hf x y y y y ++⎧=+⎪⎪=+⎪⎨⎪=+⎪⎪⎩
2、Runge-Kutta 方法：
p 阶方法 ： 1()O h -=⨯总体截断误差局部截断误差
二阶Runge-Kutta 方法 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++==++=+),,(),,(,2212
1211hk y h x f k y x f k k h k h y y n n n n n n
三阶及四阶Runge-Kutta 方法 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+=++==+++=+).2,(),2,2(),,(),4(6213
1213211hk hk y h x f k k h y h x f k y x f k k k k h y y n n n n n n n n
标准的(或经典的)四阶R-K 方法⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+).
,(),2,21(),2,2(),
,(),22(61342312143211hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k y y n n n n n n n n n n 3、线性多步法：
∑∑-=--=--++=101
11,k i k i i n i i n i n f h y y βα其中(,),(0,1,,1)i j j i f f x y i k α≡=- ，
(1,0,,1)j j k β=-- 为与n 无关的常数。

由于按公式(3.1)计算1+n y 时，需要知道11,,,n n n k y y y --+ 这k 个值，所以称为k 步法，又)1,,1,0(-=-k i y i n 及
)1,,1,0,1(--=-k i f i n 都是线性的，所以称(3.1)为线性多步
四阶隐式Adams （外推）公式：
)].,(),(5),(19),(9[24
1d )1()1(),(6
1d )2()1(),(2
1d )2)(1)(1(),(2
1d )2)(1(),(6
1221111102210111010111----++----++++-++=+--+--++--+++=⎰⎰⎰⎰n n n n n n n n n n n n n n n n n n n y x f y x f y x f y x f h y u u u u y x hf u u u u y x hf u u u u y x hf u u u u y x hf y y 四阶显式Adams （内插）公式：
11122331[55(,)59(,)37(,)9(,)]24
n n n n n n n n n n y y h f x y f x y f x y f x y +------=+
-+-
二、偏微分方程数值解法：
差分法：
差分法是求偏微分方程数值解的重要方法之一，它的主要做法是把偏微分方程中所有偏导数分别用差商代替，从而得到一代数方程组——差分方程，然后对差分方程求解，并以所得的解作为偏微分方程数值解。

为此，必须对区域进行剖分，用网格点来 u=0
代替连续区域，因此差分法亦称“网格法”。

1
我们用一个简单例子来说明差分法的
基本思想和具体要求。

U=0
取一边长为1的正方形均匀薄板， y u πsin = 上下侧面绝热，四周保持恒温（如图10 .1），
求板内各点的稳定温定分布。

这个总是如在数学物理方程中所知，它可
以化为拉普拉斯方程第一边值问题： 0 u=0 1
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====<<<<Ω=∂∂+∂∂=∆====y
u u u u y x y u x u u x y y x πsin 0)10,10:(011002222 （1）、椭圆型方程的差分解法
椭圆型方程最简单的典型问题就是拉普拉斯方程
02222=∂∂+∂∂=∆y
u x u u 和泊松方程
),(2222y x f y
u x u u =∂∂+∂∂=∆ （2）、抛物型方程的差分解法
抛物方程的最简单的是一维热传导方程：
T t a t x f x u a t u u ≤<>=∂∂-∂∂≡∆00),(22 （10.35） 它的定解条件主要有以下两类：
（ⅰ）初值问题：（或称柯西Caucy 问题）
+∞<<∞-==x x u t )(0ϕ (10.36) （ⅱ）边值问题（或称混合问题）
⎪⎩⎪⎨⎧====βαϕ),(,),()(00t a u t a u x u n t （10.37）
求（10.35）满足（ⅰ）或（ⅱ）的解.
（3）、双曲型方程的差分解法
一阶双曲型方程的初值问题为
⎩⎨⎧=>+∞<<-∞=+)2()()0,()1()0,(0x x u t x au u x t ϕ a 为常数，亦称（1）为对流方程。

称ξ=-at x 为（1）的特征线，ξ 为常数，沿特征线 u (x , t )的方向导数
0d ),(d d =+=+=t x u au t
t at du t u ξ 即u (x , t )沿特征线为常数，再由 （2.），得初值问题（1），（2）的解
)(),(at x t x u -=ϕ
二阶波动方程
02=-xx tt u a u
若令v = u ，w = au x 则得一阶双曲型方程组
⎩⎨⎧=-=-0
0x t x t av w aw v 再令v w v v w u
-=+=~,~，则得
⎩⎨⎧=+=-0~~0~~x t x t v a v u a u。