第一章绪论
1.1引言
随着齿轮传动重载、高速、低噪、高可靠性方向的发展，现代齿轮设计对齿轮传动系统的静/动态特性提出了更高的要求。齿轮设计的主要内容之一是强度设计，而强度设计的重点研究对象是轮齿。因此，建立比较精确的分析模型，准确地掌握轮齿弯曲应力的分布特点和变化规律具有重要的意义。
本课题的目的在于巩固和扩大我们在校期间所学的基本知识和专业知识，训练我们综合运用所学知识，提高分析和解决工程实际问题的能力。灵活运用各种知识，把使用有限元分析软件ANSYS同巩固和提高自己已有知识统一起来，把掌握新技能同解决实际问题统一起来，全面提升我们的能力。
通过运用有限元分析软件对渐开线直齿圆柱齿轮的齿根弯曲应力分析，使我掌握了有限元分析软件ANSYS的基本知识及其基本操作，会用程序设计语言精确建立模型，确定边界条件，划分单元网格，施加载荷，以及对模型进行应力应变分析。
1.2齿轮齿根弯曲应力分析的进展
1.2.1齿轮齿根弯曲强度分析
轮齿弯曲强度的传统计算方法是按材料力学中的弯曲理论，认为齿轮体刚度较大，齿根为危险剖面，把轮齿看做是在齿根处固定的矩形剖面悬臂梁，后经不断修正，考虑动载系数，齿根应力集中系数和几何系数等因素，用修正的LEWIS公式计算轮齿的弯曲强度[1]。但是，这种传统计算方法的根据是近似的，因为材料力学中所谓的悬臂梁是指剖面尺寸相对于梁的长度小得多的情况，而齿高相对于轮齿剖面来说却很短，齿轮体也未必绝对刚性，因而把轮齿这样一个“短”梁看作悬臂梁，用材料力学的弯曲理论来计算就不精确[2]；LEWIS公式基于材料力学等强度悬臂梁假设，不能有效地处理齿根截面突变；由于不计纵向纤维正应力(其适用条件:h/ l≤1/5)，应用梁的初等弯曲理论计算轮齿应力，结果出入较大，忽略了轮齿径向载荷的影响[3]；此外，齿根过渡圆曲线的形状都是值得探讨的问题。
弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。完全弹性使得物体变形成为一种理想模型，以便作进一步的数学和力学处理。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。
本课题采用有限元法，基于上节所提出的问题对圆柱齿轮进行二维和三维弯曲应力分析，所要研究的具体问题和采用的研究手段如下：
1.3.2课题需要研究和解决的问题
1、运用ANSYS软件精确建立渐开线直齿圆柱齿轮模型。
2、分析齿根弯曲应力并与按国标（GB3480-83）渐开线圆柱齿轮承载能力计算方法计算的结果进行比较。
国内外许多研究人员都用有限元法研究齿轮齿根应力和轮齿变形，取得了很多重要成果。但很多文献[2、6-11]只对二维模型进行了详细的论述和研究，而没有对三维齿轮齿根应力进行分析，只是指出三维问题可以简化为二维问题，并没有具体分析二维和三维的区别，即使讨论了三维问题，也只是一笔带过；并且关于如何精确建立实体模型叙述的也不太清楚；有些结论还值得推敲，比如在文献[3]中研究的结果应该是二维应力比三维大，而文献[4]的结果却恰恰相反；纵观所有文献，还没有发现有研究在齿宽方向上齿根弯曲应力的变化规律。
2、精确分析齿根弯曲应力，可以在精确建立齿轮模型的基础上先对整个模型进行整体分析，把分析的结果保存为数据文件，然后在总体分析的基础上取一个子模型进行详细分析，并且对局部应力集中的地方采用细化单元网格方法，这样做不仅可以提高分析精度，而且还可以减少计算量。
3、过渡曲线的形状是由加工齿轮刀具的齿顶圆角的大小决定的，通过改变圆角半径来得到各种过渡曲线，然后运用ANSYS软件对各种过渡曲线算出来的弯曲应力值进行比较分析，进而选出最优的结果。
1.3本课题研究内容
1.3.1齿轮应力分析采用的研究方法
齿根应力可用解析法、光测法、电测法及有限元法等进行研究，但相比之下，有限元法有其独特的优点。解析法把齿轮作为悬臂梁计算齿根应力，而引入一些系数考虑载荷分布的不均匀、应力集中、短悬臂梁等的影响，这种方法虽然简单、但精度不高，而且只能算出一些特殊位置的应力。光测法和电测法虽能精确的反应齿根应力，但需制作实物模型。而有限元法在不需实物模型的情况下就能精确的反应齿根应力的分布状态。
3、掌握二维和三维条件下齿根弯曲应力应变分析方法，弯曲应力的影响。
5、单元网格的划分对计算结果的影响。
6、齿根弯曲应力随齿宽方向上的变化规律。
1.3.3拟采用的研究手段
1、在ANSYS中直接建模，不仅操作不方便，而且花费的时间长，用CAD软件导入图形由于数据兼容性的问题，很多时候都不是很理想的，给有限元优化设计带来困难。ANSYS的参数化设计语言（ANSYS Paramelric Design Language，简称APDL）用智能分析的手段为用户提供了复杂模型的建立、加载、求解和数据后处理的功能，同时借助用户界面二次开发语言APDL又可开发出具有专业水准的菜单系统和界面。在该软件基础上编制出齿轮建模的参数化有限元程序，避免相同问题的重复建模，可有效地提高设计效率。
1.2.2齿轮有限元分析
将现代设计方法应用于齿轮设计中不仅可以缩短设计周期、降低成本，而且可以提高齿轮强度，优化齿轮结构，精选齿轮材料。在国外，有限元随着计算机科学和技术的快速发展，已成为计算机辅助工程的重要组成部分。特别是大型通用有限元分析软件的出现，为有限元计算向机械分析领域扩展提供了极大的帮助。目前，采用有限元分析已广泛应用于机械零件的设计、检测中，并取得了极大的经济效益。
4、由于齿廓曲线是由渐开线、过渡曲线和齿根圆连接而成的，连接点处网格划分不合理可能产生计算不准确，因此在其齿根弯曲应力仍然还存在一定的误差。解决的办法，可以计算出齿廓上关键点的位置，然后用一条样条曲线啮合各点。
第二章应力分析方法简介
2.1弹性力学简介
2.1.1弹性力学基本概念
弹性力学，又称弹性理论。作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。