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实例 求下面这个函数f(t)的拉氏变换式。
ftt2e2tsint
解法一：利用手算。 解法二：利用MATLAB软件。
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教材表2-1是常用函数的拉氏变换表，要求会查表。
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第二节 拉氏变换的运算定理
有九个定理（或者说九个性质），教材介绍了5个。要 熟悉这5个定理的结论与用途。
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【例2-5】已知某系统的微分方程为：
Tdctctrt
dt
方程式中，r(t)是输入信号；c(t)是输出信号；T是常数。 方程的初始条件为零。
若系统的输入量是单位阶跃函数，则系统输出量的变化 曲线是怎样的？
解法一：利用手算。 解法二：利用MATLAB软件。
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图2-3 典型一阶系统的单位阶跃响应曲线
5
【例2-1】 求单位阶跃函数1(t)的拉氏变换式。
1(t) 1
0
t
解： F(s) L[1(t)]
1
e
st
dt
0
1 s
e st
0
1 s
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6
【例2-2】 求单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换式。
解： F(s)L[(t)] (t)estdt 0
li m01sest
0
lim1es
0 s
求下面这个函数的拉氏变换。函数式中an、an-1、…、a1、a0 都是常数。
d n c t d n 1 c t
d c t
a n d tn a n 1 d tn 1 a 1 d t a 0 c (t)
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第三节 拉氏反变换
拉氏反变换的定义公式为：
ftL 1F(s)2 1j
jFsestds
1、线性定理（包括叠加定理、比例定理） 2、位移定理（也叫延迟定理） 3、相似定理 4、微分定理 5、积分定理 6、周期函数的拉氏变换 7、初值定理 8、终值定理 9、卷积定理
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1.叠加定理
两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的 代数和。即
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2.比例定理 K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。即
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思考 （1）阶跃函数 K·1(t)的拉氏变换式为多少？ （2）脉冲函数 K·δ(t)的拉氏变换式为多少？
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3.微分定理 在零初始条件下， 即
则
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数的 拉氏式等于其象函数乘以sn。
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4.积分定理 在零初始条件下， 即
1
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7
【例2-3】求δ(t)与1(t)间的关系。
解： d 1 t
(t) dt
1t (t)dt
结论：单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数。 单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数。
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8
【例2-4】求正弦函数f(t)=sinωt的拉氏变换式。 解法一：利用手算。 解法二：利用MATLAB软件。
则
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n重积分的 拉氏式等于其象函数除以sn。
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5.延迟定理（也叫位移定理） 当原函数f(t)延迟时间τ，成为f(t-τ)时，它的拉氏 式为
上式表明，当原函数f(t)延迟τ，即成为f(t-τ)时，相应 的象函数F(s)应乘以因子e-sτ。
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3
第二章 拉普拉斯变换及其应用
拉普拉斯 (1749-1827) , 法国著名数学家和天文学家。 他是天体力学的主要奠基人， 是天体演化学的创立者之一， 是分析概率论的创始人，是 应用数学的先躯。
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4
第一节 拉氏变换的概念
拉氏变换的定义公式为：
F (s)L ft 0 ftestdt
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本次课小结：
● 了解并理解拉氏变换和拉氏反变换的定义、性质。 会查拉氏变换表。
● 能够利用MATLAB软件求解已知函数的拉氏变换式、 拉氏反变换式。
● 能够利用拉氏变换和拉氏反变换求解简单的微分方 程。
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第三次作业：
教材习题2-1、2-2。
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下次课展望：
● 系统的微分方程 ● 系统的传递函数
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6.终值定理
上式表明原函数在t→∞时的数值(稳态值)，可以通过将象 函数F(s)乘以s后，再求s→0的极限值来求得。条件是当 t→∞和s→0时，等式两边各有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统 的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等)有着很多的应用。 因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。
j
公式右端的积分是一个复变函数的积分, 计算很麻烦。 求拉氏反变换的方法主要有部分分式法、查表法、留数法 等。
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实例 求下面这个函数F(s)的拉氏反变换式。
F(s) 1 s(Ts 1)
解法一：利用手算。 解法二：利用MATLAB软件。
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第四节 应用拉氏变换求解微分方程
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实例1
记
LxtXs，设
d2x0 dx0
dt2
dt
中m、B、K都是常数。
d2xt dxt
m dt2
B dt
Kx(t)
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实例2
记 LctCs ，设
d n c0 d n 1 c0 d c0
d tn
d tn 1
c (0 ) 0 d t
复习、提问
1、系统的三大性能是什么？ 2、系统动态性能的三大指标是什么? 3、对一个系统的基本要求可归纳为三个字：稳、快、 准。谈谈你对这三个字的理解。 4、系统分析的一般步骤分三步走，哪三步？ 5、对于单输入单输出系统，经典的分析方法有三种， 哪三种？
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1
曹精冲品p称pt 象
2
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29
休息一下
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