其中
1，当ei 对e j 有关系时； aij 0，当ei 对e j 无关系时；
15
• 邻接矩阵的特点
矩阵元素按布尔运算法则进行运算。 与关系图一一对应。
例：一个4单元系统的关系图和邻接矩阵。
1
1 3
2 0 1 0 0
3 1 1 0 1
4 1 0 1 0
4
17
ei 可达且“长
性质：
一般对于任意正整数r(≤n)，若ei到ej是可达的且 “长度”为r，则Ar中第 i 行第 j 列上的元素等于1。
对有回路系统来说，当 k 增大时，Ak 形成一定的 周期性重复。 对无回路系统来说，到某个 k 值，Ak=0。
1 3
4
2
1 0 2 A 1 0
R(e4 ) R(e6 )
R(e3 ) R(e6 )
R(e3 ) R(e4 )
元素2、4和6是次底层的元素。其中4和6属于同一区域， 其下层元素为3；2属于另一区域，其下层元素为7 划去2、4和6 ，得到区域划分表3
26
区域划分表3
元素i
1 5
可达集R(ei)
1 5
27
3 3 1 4 0 5 0 M 6 0 1 2 7
4 1 1 0 1 0
5 1 1 1 1
6 1 1 0 1
1
2 0
7 0 0 1
子系统I
1 1 1
0 1 1
子系统II
子系统I
子系统II
π2(S)={P1,P2}={{e3,e4,e5,e6},{e1,e2,e7}}
0 1 0 0
1 1 0 1
1 1 0 0 1 1 0 0
0 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0 1 1 0 1
0 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
18
• 可达性矩阵的计算方法
布尔矩阵算法：将相邻矩阵A加上单位矩阵 I（矩阵中除主对角线 上元素为1外，其余元素皆为零的矩阵），然后用布尔代数规则 (0+0=0,0+1=1,1+1=1;0×0=0,0×1=0,1×1=1)进行乘方运算，直到 两个相邻幂次方的矩阵相等为止。相等的矩阵中幂次最低的矩阵 即为可达性矩阵。 Warshall算法（略）
关系图
可达性矩阵
24
区域划分表1
元素i 可达集R(ei) 先行集A(ei) R(ei)∩A(ei)
1 2 3 4 5 6 7
1 1,2 3,4,5,6 4,5,6 5 4,5,6 1,2,7
1,2,7 2,7 3 3,4,6 3,4,5,6 3,4,6 7
1 2 3 4,6 5 4,6 7
R(e3 ) A(e3 ) A(e3 ) R(e7 ) A(e7 ) A(e7 ) R(e3 ) R(e7 )
关系图
邻接矩阵
23
求可达性矩阵
7
1
6
2 0 1 0 0 0 0 1
3 0 0 1 0 0 0 0
4 0 0 1 1 0 1 0
5 0 0 1 1 1 1 0
6 0 0 1 1 0 1 0
7 0 0 0 0 0 0 1
5 4
2
1
3
1 1 2 1 3 0 M ( A I )2 4 0 5 0 6 0 7 1
关系划分可以表示为：
1 (S S ) {R, R}
20
2、区域划分 2 (S )
区域划分将系统分成若干个相互独立的、没有直接 或间接影响的子系统。 可达集（看矩阵的行） 先行集（看矩阵的列）
R(ei ) {e j | e j S , mij 1}
底层单元集（共同集，其中元素具有此性质：不能存 在一个单元只指向它而不被它所指向。）
8
二、解析结构模型（ISM）
研究一个由大量单元组成的、各单元之间又存在着相互 关系的系统，必须了解系统的结构，一个有效的方法就是建 立系统的结构模型，而结构模型技术已发展到100余种。
Interpretive Structure Model
解析结构模型属于静态的定性模型。 它的基本理论是图论的重构理论，通过一些基本假设和图、 矩阵的有关运算，可以得到可达性矩阵；然后再通过人-机 结合，分解可达性矩阵，使复杂的系统分解成多级递阶结 构形式。
先行集A(ei)
1 5
R(ei)∩A(ei)
1 5
R(e1 ) A(e1 ) A(e1 )
R(e5 ) A(e5 ) A(e5 ) R(e1 ) R(e5 )
元素1和5是最顶层的元素。 其中1的下层元素为2； 5的下层元素为4和6。 至此，区域划分结束。 将可达性矩阵重新排列，可以清晰区分两个不同的区域。
22
例：对一个7单元系统的区域划分
7
1
6
2 0 0 0 0 0 0 1
3 0 0 0 0 0 0 0
4 0 0 1 0 0 1 0
5 0 0 0 1 0 0 0
6 0 0 0 1 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0
5 4
2
1
3
1 0 2 1 3 0 A 4 0 5 0 6 0 7 0
3
模型的分类
模型
概念
符号
形象
类比
仿真
思维 描述 字句
图示 数学
物理 图像
4
结构模型
凡系统必有结构，系统结构决定系统功能； 破坏结构，就会完全破坏系统的总体功能。这说 明了系统结构的普遍性与重要性。
结构模型描述系统结构形态，即系统各部分 间及其与环境间的关系（因果、顺序、联系、隶 属、优劣对比等）。结构模型是从概念模型过渡 到定量分析的中介，即使对那些难以量化的系统 来说也可以建立结构模型，故在系统分析中应用 很广泛。
12
例：一个孩子的学习问题
1.成绩不好 4.平时作业不认真 7.父母常打牌 10.给很多钱 2.老师常批评 5.学习环境差 8.父母不管 11.缺乏自信 3.上课不认真 6.太贪玩 9.朋友不好
1
2 11
3
4
5
6
7
8Байду номын сангаас
9
10
13
例：温带草原食物链
• • • • • • • • • • • • 1.草 2.兔 3.鼠 4.吃草的鸟 5.吃草的昆虫 6.捕食性昆虫 7.蜘蛛 8.蟾蜍 9.吃虫的鸟 10.蛇 11.狐狸 12.鹰和猫头鹰
分析 报告
10
ISM实用化方法步骤及应用
核心：对系统要素间的关系（尤其是因果关系） 进行层次化处理，最终形成具有多级递阶关系和解 释功能的结构模型（图）。
第1步： 找出影响系统问题的主要因素，并寻求要素间的
直接二元关系，给出系统的邻接矩阵；
第2步： 考虑二元关系的传递性，建立反映诸要素间关系
的可达矩阵；
在总体设计、区域规划、技术评估和系统诊断方面应用广 泛。
9
ISM实用化方法原理
设定 问题 、形 成意 识模 型
找出 影响 要素
要素 关系 分析 （关 系图 ）
建立可 达矩阵 (M)和 缩减 矩阵 （ M /）
矩阵 层次 化处 理 (ML/)
绘制 多级 递阶 有向 图
建立 解释 结构 模型 比较/ F 学习
元素3和7是两个最底层的元素，分别属于不同的区域 划去3和7，得到区域划分表2
25
区域划分表2
元素i 可达集R(ei) 先行集A(ei) R(ei)∩A(ei)
1 2 4 5 6
1 1,2 4,5,6 5 4,5,6
1,2 2 4,6 4,5,6 4,6
1 2 4,6 5 4,6
R(e2 ) A(e2 ) A(e2 ) R(e4 ) A(e4 ) A(e4 ) R(e6 ) A(e6 ) A(e6 )
• 可达性与传递性
图论中的可达性对应于二元关系中的传递性。 M= tr (A) ISM中总假定所涉及的关系具有传递性。
19
(二) 可达性矩阵的划分
1、关系划分 1 (S S )
关系划分将系统各单元按照相互间的关系分成两大类 R 与 R ，R类包括所有可达关系，R 类包括所有不可达关系。有 序对( ei , ej )，如果 ei到e j 是可达的，则( ei , ej )属于R 类，否 则( ei , ej )属于 R 类。 从可达性矩阵各元素是 1 还是 0 很容易进行关系划分。
第3步： 依据可达矩阵，找到特色要素，进行区域划分； 第4步： 在区域划分基础上继续层次划分； 第5步：作出多级递阶有向图。作图过程为：
（1）分区域逐级排列系统要素； （2）用从下到上的有向弧来显示逐级要素间的关系。
11
(一) 几个相关的数学概念 1、关系图
假设系统所涉及到的关系都是二元关系。则 系统的单元可用节点表示，单元之间的关系可以 用带有箭头的边（箭线）来表示，从而构成一个 有向连接图。这种图统称关系图。 关系图中，称具有对称性关系的单元 ei 和ej 具有强连接性。
12
11 9
10 8
7 2 3 6
4
5 1
14
2、邻接矩阵
用来表示关系图中各单元之间的直接连接状态的 矩阵A。设系统S共有n个单元S={e1,e2,…,en} 则 e1 e2 en
e1 a11 e2 a21 A en an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
集合是系统的数学表现； 图是系统的形象、直观描写 矩阵可存入计算机，作计算机辅助处理。