双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a bx ，或令双曲线标准方程22a x -22b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -22b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -22b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长 ]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ]4)[()11(11212212122y y y y k y y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想. （2）．中点弦问题：处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)为椭圆12222=+b y a x （a>b>0）上不同的两点，M(x 0，y 0)是AB 的中点，则K AB K OM =22a b -；对于双曲线12222=-by a x （a>0，b>0），类似可得：K AB K OM =22ab ；对于y 2=2px （p ≠0）抛物线有K AB ＝212y y p+；另外，也可以用韦达定理来处理.【题型一】直线与双曲线的交点问题：过平面内任一点P 作直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>只有一个交点，这样的直线有几条？（几何角度）6、若y=kx-1与双曲线224x y -=只有一个公共点,求k 的范围.【变1】有两个公共点？【变2】无公共点？【变3】与右支有两个公共点？【变4】与右支只有一个公共点？7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率来解决。
8、已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为________．9、已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．二、直接求出a 、c ，求解e ：已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式来解决。
10、点P （－3，1）在椭圆（）的左准线上，过点P 且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【 】.A. B. C. D.三、构造a ，c 齐次式，解出：根据题设条件关系式，借助之间的关系，沟通的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解方程得出离心率e 。
11、已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是【 】.A. B. C. D.12、过双曲线＝1的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__________。
四、寻找a 与c 的关系式：由于离心率是c 与a 的比值，故不必分别求出a 、c 的值，可寻找a 与c 的关系式，即a 用c 来表示即可解决。
13、设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【 】.A. B. C. D.五、统一定义法：由圆锥曲线的统一定义，知离心率e 是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即。
14、设椭圆的右焦点为F 1，右准线为，若过F 1且垂直于x 轴的弦长等于点F 1到的距离，则椭圆的离心率是____________。
【总结3】三种常见的解题方法 （1）转换法——为解题化归立意15、直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是【 】A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D .e >5 （2）几何法——使数形结合带上灵性16、设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为【 】A ．B ．12C. D ．24（3）设而不求——与借舟弃舟同理17、双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为【 】A. 12-=x yB. 22-=x yC. 32-=x yD. 32+=x y18、在双曲线1222=-y x 上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由。
◆高考题选1.（浙江卷）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是【 】 A 2 B 3 C ． 5 D 10 2.（浙江卷）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是【 】 A ．32 B ．22 C ．13 D ． 123.（全国卷）双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=【 】. （A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）64.（江西卷）设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为【 】. A ．32 B ．2 C ．52D ．3 5.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为【 】.A x y 2±=B x y 2±=C x y 22±= D x y 21±=6. (湖北卷)已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是【 】.A. 11,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B. 11,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C. 22K ⎡∈⎢⎣⎦ D. 22,,K ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭7.（四川卷文）已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝【 】.A. －12B. －2C. 0D. 4【问题1】过平面内任一点P 作直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>只有一个交点，这样的直线有几条？（几何角度）【答案】P 在双曲线内，有2条（分别与渐近线平行）；P 在双曲线上，有3条（与渐近线平行的有两条，切线一条）；P 在双曲线外，若P 在渐近线上且P 为原点时，0条；若P 在渐近线上且P 不为原点时，2条（与另一渐近线平行的一条，切线一条）；若P 不在渐近线上，0条；有4条（与渐近线平行的有两条，切线两条）； 8答案2解析 取双曲线的渐近线y ＝ba x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－a b(x －c )，可解得点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22c ，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得(a 2＋c 2)24a 2c 2－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝ca＝ 2.9答案 x 25－y 24＝1解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.10解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则P （－3，1）在左准线上，左焦点在反射光线上，有 解得 知，故选A 。