第二章 反褶积将地震记录看成是反射系数序列与地震子波的褶积，反褶积就是要消除这种褶积过程，从地震记录得到反射系数序列。

一般说来，反褶积的目的是消除某种已知的或未知的褶积过程的运算。

反褶积也可能用来消除震源信号或者记录仪器的响应。

反褶积也可能是用另一种褶积过程代替原来的褶积过程。

反褶积是一种滤波。

与一般滤波的区别有两点：一是着眼点在改变子波，而不是衰减噪声。

二是方法上是根据需要达到的目标由地震资料自动推导滤波器，而不是通过试验选择滤波器。

反褶积是子波级的处理，是常规处理中最精细的环节。

一 子波与反褶积原始记录上的子波不管如何千变万化，必然是单边子波。

可控震源原始记录上的子波也是单边的，即扫描信号，经过相关以后才变成双边子波。

单边子波是物理可实现的，双边子波是非物理可实现的。

单边子波可以是最小相位子波、最大相位子波或混合相位子波。

判别方法可以有很多，对于下面的讨论来说，用Z 变换大概是最方便的。

将子波的各个样点值作为系数、样点序号作为Z 的幂次，写成Z 多项式，如果Z 多项式的根的模全部大于1，即根全部在单位圆外，就是最小相位子波；如果Z 多项式的根全部在单位圆内，就是最大相位子波；如果Z 多项式的根有一些在单位圆外，有一些在单位圆内，就是混合相位子波。

Z 多项式可以因式分解，每个因式有01=+bZ 形式，它代表有一个根Z 1-=。

（b 可以是实数，也可以是复数。

如是复数，必然共轭成对出现。

）可见当1<b 时，这个因式是最小相位的；当1>b 时，这个因式是最大相位的。

如果所有因式是最小相位的，子波就是最小相位的；如果所有因式是最大相位的，子波就是最大相位的；如果有一部分因式是最小相位的，有一部分因式是最大相位的，子波就是混合相位的。

因此，最小相位子波的尾点的绝对值必然小于其首点的绝对值，最大相位子波的尾点的绝对值必然大于其首点的绝对值，混合相位子波则可以是任何情形。

根据这个简单规则，至少在看到尾点的绝对值大于首点的绝对值的子波时，立刻就能判断它绝对不可能是最小相位子波。

为什么要考究子波是是不是最小相位的？这与反褶积算子有关。

为了要使反褶积结果是在子波起跳位置上的一个尖脉冲，不同相位子波的反褶积算子有不同的性质。

其原因在于所含的因式性质不同，一个因式01=+bZ 有两种情况：1<b 和1>b ，反褶积算子的Z 多项式是()()11-+=bZ Z A （1） 最小相位因式1<b ，其反褶积算子可展开成()() +-+-=+=-3322111Z b Z b bZ bZ Z A （2）有无限多项。

因为1<b ，所以反褶积算子Z 多项式的系数是收敛的。

另外Z 的幂次都不小于0，表明反褶积算子是单边的和无限长的。

在实际应用中，反褶积算子取有限项（尾部截断）不会引起很大误差。

截断后的反褶积算子仍然是最小相位的。

见图1。

图1. 最小相位因式B(Z)及其反褶积算子A(Z)反褶积结果是()()()()[]()11332211 111++-+=-++-+-+=+N N N N N Zb Z b Z b Z b bZ bZ Z A bZ （3） 结果是无延迟的尖脉冲，另外由于算子截断而在延迟N +1个样点处还产生一个附加脉冲，因为1<b ，附加脉冲的幅度比1小得多。

因此最小相位因式有单边的最小相位反褶积算子。

再看最大相位因式，此时有1>b ，如果其反褶积算子也展开成()() +-+-=+=-3322111Z b Z b bZ bZ Z A （4） 则由于1>b ，随着Z的幂次增高，系数越来越大，因此单边反褶积算子是发散的，是非物理可实现的。

这种算子不允许截断。

因此最大相位因式不存在单边反褶积算子。

见图2。

这个问题也容易解决，因为最大相位因式的样点次序（时间）前后倒转，就是最小相位因式，而最小相位因式的反褶积算子在上面已经是可以得到的。

于是可以得到时间反序的算子。

将上式改写成()()[]()++-=+-+-=+=-----------------33221133221111111 11Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b bZ Z A （5） 这虽然也是非物理可实现的，但在计算上是可以实现的，因为在计算中，样点的时间先后不过是位置不同，“时间”是可以“倒流”的。

因为1>b ，故有11<-b ，这样，反褶积算子Z 多项式的系数随着Z 的负幂次的增大是收敛的，允许取有限项。

()()113322111 -----------+++-==N N N Z b Z b Z b Z b Z A （6）反褶积算子Z 多项式中Z 的幂次都小于0，表明输出在输入之前，是时间反方向的单边算子。

见图2。

图2. 最大相位因式B(Z)及其反褶积算子A(Z)如果将时间倒过来看，用Z 作为反方向的延迟因子即超前因子，来代替上式的1-Z ，括号内的部分就成为 ()()()[]N N N N N NZ b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z A -----+------++-+-=-+-+-=11 13322111133221 （7）括号内就与最小相位算子形式一样，只是Z 的意义不同。

在逆时间方向具有最小相位形式的算子，如果不考虑时间原点，也就是对算子进行时移，形式上就是最大相位的。

上面讨论说明：最小相位因式的反褶积算子是单边的最小相位的；最大相位因式的反褶积算子是负时间方向“单边”的，具有时移的最大相位形式。

讨论了子波因式的反褶积算子，就可以讨论子波与反褶积算子的关系。

子波的反褶积算子是各个因式的反褶积算子的褶积，即它们的Z多项式的乘积。

最小相位子波的所有因式都是最小相位的。

所有因式的反褶积算子也都是单边的、最小相位的。

这些反褶积算子的Z多项式乘积也是单边的、最小相位的。

因此最小相位子波的反褶积算子是单边的、最小相位的。

最大相位子波的所有因式都是最大相位的。

所有因式的反褶积算子都是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。

这些反褶积算子的褶积也是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。

因此最大相位子波的反褶积算子是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。

混合相位子波的因式一部分是最小相位的，一部分是最大相位的。

这些因式的反褶积算子一部分是单边的、最小相位的；一部分是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。

这些反褶积算子褶积的结果是双边的，形式是混合相位的，因此混合相位子波的反褶积算子是双边的，形式是混合相位的。

见图3。

图3. 混合相位子波B(Z)及其反褶积算子A(Z)这就是不同性质的子波有不同性质的反褶积算子。

因式分解和多项式除法只是为了说明反褶积算子的性质，不是实际处理中应用是方法。

实际处理大都用最小二乘法。

在已知子波的情况下，用最小二乘法推导反褶积算子，期望输出（desired output不很确切的通用译名）为子波起跳点处的尖脉冲。

一般情况下可取双边反褶积算子。

令已知子波为()L b b b b ，，，210要推导的反褶积算子为()N N N a a a a a a a ，，，，，，21011-+--子波与反褶积算子褶积将得到结果()N L N N c c c c c c c +-+-- ，，，，，，21011此处∑-=-=NNi i i k k a b c（8） 期望输出为⎩⎨⎧≠==0 001k k d k 当当（9） 输出与期望输出的差值的平方和为()∑∑∑+-=-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=L N N k k N N i i i k L N N k k k d a b d c Q 22（10） 为求在Q 极小条件下的反褶积算子，使0=∂∂ja Q（11） 得到联立方程组0=⎪⎭⎫⎝⎛-∑∑+-=--=-L N N k j k k NN i i i k b d a b NN j ，，0-= （12） 或()()j R a j i R db NNi i bb =-∑-= NN j ，，0-= （13） 此处()∑+-=--=-LN Nk j k i k bb b b j i R（14）为子波自相关，而()j L N N k j k k db b b d j R -+-=-==∑ （15）为期望输出与子波的互相关。

由联立方程组可解出反褶积算子。

这种由已知子波计算反褶积算子的情况称为确定性反褶积。

确定性反褶积用于去记录系统的响应、海上震源子波反褶积等方面。

二 地震记录与反褶积地震记录上的子波往往是未知的。

不能使用上面的确定性反褶积方法。

从地震记录上消除子波的影响，是反褶积的主要应用。

按褶积的观点，记录是子波与反射系数序列的褶积的结果。

在解决反褶积问题中，记录是已知的，子波和反射系数序列都是未知的，要消除子波而获得反射系数序列是不可能的。

反褶积作为一种处理方法得以在工业中应用，得益于三点假设。

一是子波时不变假设，二是反射系数序列白色假设，三是子波最小相位假设。

在三点假设非同小可，使本来不可能解决的问题迎刃而解，从而地震数据处理得以进入一个新的阶段。

这三点假设非常大胆，对理论研究和实际资料分析的已有成果采取了粗暴的漠视态度。

但建立在此基础上的反褶积方法在工业中大规模应用的已达半个世纪，至今还仍然是一种常规处理方法。

这是地震勘探中的一个十分奇特的现象：一个旨在提高分辨率的方法以如此粗糙的假设为基础，并且得到如此大规模的长期的应用。

现在对三点假设做点讨论。

第一个子波时不变假设，显然是站不住脚的。

首先在理论上站不住脚。

地震波在传播过程中的衰减程度与频率有关，即子波在传播过程中是变化的，这在提出反褶积之前就已经是经典理论，至少Ricker 在1940年的文章[1]中已经有充分的阐述，而Robinson 的博士论文是1954年完成的[2]。

第二在逻辑上站不住脚。

如果子波是时不变的，那么深部反射波的子波就是震源激发的子波，就没有反褶积的必要。

既然反褶积要消除子波的影响，就承认子波是传播的结果，就不能不承认子波是时变的。

但这个问题也许并不特别严重，现在已经有了补偿办法。

例如在反褶积之前做反Q 滤波，可使地震记录基本符合子波时不变的假设。

然而，反Q 滤波是迟至90年代才出现的方法[3]，上距反褶积方法的提出时间差不多已经有40年了！第二个反射系数序列白色假设也站不住脚。

采用这个假设的目的是为了在这个假设下可以将记录振幅谱作为子波振幅谱应用。

实际资料表明，反射系数序列的振幅谱远不是光滑的，如果采用白色假设，则必然将反射系数序列振幅谱的不光滑性转移到子波振幅谱上，对反褶积产生不良后果。

本来是要消除子波的影响，在这个假设下将反射系数序列的一部分性质也成为消除的对象。

这方面的问题也是可以解决的。