函数的极限的求解方法摘 要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限．关键词：零因子：初等法：两个重要极限 ：等价无穷小： 等价无穷小替换 ：函数的连续性 ：Hospital L '法 。

引 言极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想.函数的极限主要表现在两个方面： 一、自变量x 任意接近于有限值0x ，或讲趋向（于）0x （记0x x →）时，相应的函数值)(x f 的变化情况.二、当自变量x 的绝对值x 无限增大，或讲趋向无穷大（记∞→x ）时，相应的函数值)(x f 的变化情况.相关知识点（一）“0x x →”形：定义1：如果对0>∀ε（不论它多么小），总0>∃δ，使得对于适合不等式δ<-<00x x 的一切x 所对应的函数值)(x f 满足：ε<-A x f )(，就称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为A x f n =∞→)(lim ，或A x f →)( （当0x x →时）注1：“x 与0x 充分接近”在定义中表现为：0>∃δ，有δ<-<00x x ，即),(0δ∧∈x U x .显然δ越小，x 与0x 接近就越好，此δ与数列极限中的N 所起的作用是一样的，它也依赖于ε.一般地，ε越小，δ相应地也小一些.2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，)(x f 有无限与)(0x f 在0x 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）.3：几何解释：对0>∀ε，作两条平行直线εε-=+=A y A y ,.由定义，对此0,>∃δε.当δδ+<<-00x x x ，且0x x ≠时，有εε+<<-A x f A )(.即函数)(x f y =的图形夹在直线εε-=+=A y A y ,之间（)(0x f 可能除外）.换言之：当),(0δ∧∈x U x 时，),()(εA U x f ∈.可见δ不唯一！例1证明32121lim 221=---→x x x x .证明：对0>∀ε， 因为,1≠a 所以)12(313212132121.0122+-=-++=----⇒≠-x x x x x x x x [此处1→x ，即考虑10=x 附近的情况，故不妨限制x 为110<-<x ，即20<<x ，1≠x ]. 因为31)12(31,112-<+-⇒>+x x x x ，要使ε<----3212122x x x ,只须ε<-31x ，即ε31<-x .取}3,1min{εδ=（利用图形可解释）， 当δ<-<10x 时，有ε<----3212122x x x .定理1：（保号性）设A x f x x =→)(lim 0，（i ） 若)0(0<>A A ，则0>∃δ，当),(0δ∧∈x U x 时，0)(>x f )0)((<x f .（ii ） 若)0)((0)(≤≥x f x f ，必有)0(0≤≥A A .注：在(i)中的“>”，“<”不能改为“≥”，“≤”.在(ii)中，若0)(>x f ，未必有0>A .定义2：对0>∀ε，0>∃δ，当00x x x <<-δ时，[当δ+<<00x x x 时]，有ε<-A x f )(.这时就称A 为)(x f 当0x x →时的左[右]极限，记为Ax f x x =-→)(lim 00或A x f =-)0(.[A x f x x =+→)(lim 00或A x f =+)0(0]. 定理2：（充要条件）A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+→-→→)(lim )(lim )(lim 00000.（二）“∞→x ”形： 定义3：设)(x f 当)0(>>a a x 时是有定义的，若对)(,0a X >∃>∀ε，当X x >时，有ε<-A x f )(，就称A 为)(x f 当∞→x 时的极限，记为Ax f x =∞→)(lim 或A x f →)(（当∞→x 时）.注1：设)(x f 在]),((),,[b a -∞+∞上有定义，若对0,0>∃>∀X ε，当)(X x X x -<>时，有ε<-A x f )(，就称A 为)(x f 当)(-∞→+∞→x x 时的极限，记为A x f x =+∞→)(lim ，或A x f →)(（当+∞→x ）（A x f x =-∞→)(lim ，或A x f →)(（当-∞→x ））.2：（充要条件）A x f x f A x f x x x ==⇔=-∞→+∞→∞→)(lim )(lim )(lim . 3：若A x f x =∞→)(lim ，就称A y =为)(x f y =的图形的水平渐近线（若A x f x =+∞→)(lim 或A x f x =-∞→)(lim ，有类似的渐近线）. 例2 证明0sin lim =∞→x x x .证明：对0>∀ε，因为x x x x x 1sin 0sin ≤=-，所以要使得ε<-0sin x x ，只须εε11>⇒<x x ，故取ε1=X ，所以当X x >时，有ε<-0sin x x ，所以0sin lim=∞→x x x .（三） 无穷小与无穷大一、无穷小定义1：对,0>∀ε若)0(0>>∃X δ，使得当)(00X x x x <<-<δ时，有ε<)(x f 成立，就称)(x f 为当)(0+∞→→x x x 时的无穷小，记为)0)(lim (0)(lim 0==+∞→→x f x f x x x .注 1：除上两种之外，还有0,0,,00+→-→+∞→-∞→x x x x x x 的情形.2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数.定理1：当自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中时：（i ） 具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即：A 为)(x f 的极限A x f -⇔)(为无穷小.（ii ） 若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限.二、无穷大定义2：若对)0(0,0>>∃>∀X M δ，使得当)(00X x x x ><-<δ时， 有M x f >)(，就称)(x f 当)(0∞→→x x x 时的无穷大，记作:))(lim ()(lim 0∞=∞=∞→→x f x f x x x .注1：同理还有+∞→-∞→)(,)(x f x f 时的定义.2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆. 3：若∞=→)(lim 0x f x x 或∞=∞→)(lim x f x ，按通常意义将，)(x f 的极限不存在.定理2：当自变量在同一变化过程中时， （i ）若)(x f 为无穷大，则)(1x f 为无穷小.（ii ）若)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1x f 为无穷大.（四）函数极限运算法则由极限定义直接来求极限是不可取的，因此需寻求一些方法来求极限.定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设0)lim(0lim ,0lim =+⇒==βαβα注1：u 与α都表示函数)(x u 与)(x α，而不是常数.2： “lim ”下放没标自变量的变化过程，这说明对0x x →及∞→x 均成立，但须同一过程.定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设u 有界，0lim 0lim =⇒=ααu .推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若k 为常数，0lim 0lim =⇒=ααk .推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设0)lim (0lim lim lim 2121=⇒====n n αααααα .定理3：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±.注：本定理可推广到有限个函数的情形.定理4：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==.推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）.推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）.定理5：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)(lim )(lim )()(lim x g x f B A x g x f ==. 定理6：如果)()(x x ψϕ≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，则b a ≥.推论1：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 为一多项式，当 )()(lim 001101000x f a x a x a x a x f n n n n x x =++++=--→ .推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，由定理5，)()()()(lim000x Q x P x Q x P x x =→. 例3 221lim(510)15113x x x →-+=-⨯+=-.（利用定理3）例4 33009070397lim 53530-=+--⨯+=+--+→x x x x x （因为03005≠+-）.注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段.例5 求322lim 221-+-+→x x x x x .（消去零因子法）解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为1≠x ，约去公因子)1(-x ，所以53322lim 322lim 1221=++=-+-+→→x x x x x x x x . 例6 求)1311(lim 31+-+-→x x x . 解：当13,11,13++-→x x x 全没有极限，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时，12)1)(1()2)(1(1311223+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以11)1()1(2112lim )1311(lim 22131-=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x .例8 证明[][]x xx x ,1lim =∞→为x 的整数部分. 证明：先考虑[][]x x x x x -=-1，因为[]x x -是有界函数，且当∞→x 时，01→x ，所以由定理2[][][]1lim 0)1(lim 0lim =⇒=-⇒=-⇒∞→∞→∞→x x x x x x x x x x .（五） 极限存在准则、两个重要极限收敛准则： 如果函数)(),(),(x h x g x f 满足下列条件：（i ）当))(,(0M x r x U x >∈∧时，有)()()(x h x f x g ≤≤.（ii ）当)(0∞→→x x x 时，有A x h A x g →→)(,)(.那么当)(0∞→→x x x 时，)(x f 的极限存在，且等于A .两个重要极限：()()()()()()()()()00100sin sin lim lim 1(0)1lim 1lim 1lim 1(0)x x x x x x x x x x x xx x x e x x ϕϕϕϕϕϕϕϕ→→→∞→→==≠⎛⎫+=+=+=≠⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭例9 1sin lim )sin(lim sin lim 0-=-=--=-→-=→→t t x x x x t x t x x ππππππ.（做替换）例10 21)22sin (lim 21)2(sin 2lim cos 1lim 2022020=⋅==-→→→x x x x x x x x x .（先三角变换） 22222])211(lim [])211[(lim )21(lim e x x xxx x x x x =+=+=+∞→∞→∞→ （六） 无穷小的比较定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小，(i) 若0lim=αβ，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =；(ii) 若∞=αβlim ，，就说β是比α低阶的无穷小；(iii) 若0lim ≠=C αβ，，就说β是比α同阶的无穷小；(iv) 若1lim =αβ，就说β与α是等价无穷小，记为βα~. 注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠，因为)(⋅o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号；2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~⇒；4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x x 1sin 与2x 既非同阶，又无高低阶可比较，因为201sin lim x x x x →不存在；5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理1：（等价替换法则）若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及lim k βα'='，那么lim lim k ββαα'=='. 例12 求x xx 20sin cos 1lim -→.解：因为当0→x 时，x x ~sin所以21cos 1lim sin cos 1lim 2020=-=-→→x x x x x x . 例13 求x x x x 22arcsin lim 20+→解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ，所以 原式12222lim 22lim020==+=+=→→x x x x x x .注7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有： sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ， ()21ln 1,1,1cos 2x x x e x x x +--；8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！（七）连续性与罗必达法则定理1：设)(x u ϕ=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0ϕ，又设)(u f y =在a u =处连续，那么，当0x x →时，复合函数))((x f y ϕ=的极限存在，且等于)(a f ，即)())((lim 0a f x f x x =→ϕ.注：可类似讨论∞→x 时的情形.定理2：设函数)(x u ϕ=在点0x x =连续，且00)(u x =ϕ，函数)(u f y =在0u 点连续，那么，复合函数))((x f y ϕ=在点0x x =处连续.例14求x xx sin 2lim 0-→（利用函数的连续性来求极限） 解：因为1sin lim 0=→x x x ，及u -2在1=u 点连续，故由上述定理，01x →===.Hospital L '法则： 在求)()(limx F x f ax →或)()(lim x F x f x ∞→时，若发现)(),(x F x f 同趋于0，或同趋于∞，则此时上述极限可能存在，也可能不存在.要根据具体的函数来进一步确定，如n m x x x 0lim →，n m x x x ∞→lim ，我们通常把这种极限称为00或∞∞型的未定式（不定式），这种未定式是不能用“商的极限等于极限的商”这一法则来计算的.定理3：（Hospital L '法则）若)(),(x F x f 满足：(i)0)(lim )(lim ==→→x F x f a x a x ；(ii) )(),(x F x f 在a 的某去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； (iii)A x F x f ax =''→)()(lim （A 可为有限数，也可为∞+或∞-）； 则： A x F x f a x =→)()(lim .注 1：“a x →”可改为“+∞→x ”或“-∞→x ”，只不过对(ii)作相应的修改，结论仍成立.2：若)()(limx F x f a x ''→仍为00型未定式，则可再次使用法则，这时， =''''=''=→→→)()(lim )()(lim )()(lim x F x f x F x f x F x f a x a x a x 直到极限不是未定式为止.3：Hospital L '法则的三个条件缺一不可，表现在(a)若不是未定式，则不能使用，否则会导致错误；(b)若(iii)不成立，也不能用，否则也会导致错误；4： ∞∞型未定式的Hospital L '法则：可将上定理的(ii)(iii)不变， (i)改为：(i)′：+∞==→→)(lim )(lim x F x f a x a x 即可，结论仍成立.5：其它还有00,0,1,,0∞∞-∞∞⋅∞等型的不定式，但它们经过简单的变形都可化为00型或∞∞型的未定型，然后HospitalL '法则.例15 求x xx 2tan cos 1lim +→π. 解：21)2cos (lim cos 1tan 2sin lim tan cos 1lim 322=-=-=+→→→x x x x x x x x x πππ.注：在应用Hospital L '法则时，要注意法则的条件是否满足，不可乱用.例16 x x xx x sin sin lim-++∞→能否用Hospital L '法则解：若用Hospital L '法则，则有 x x x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim -+=-++∞→+∞→不存在，（分子，分母的极限不存在） 10101sin 1sin 1lim sin sin lim =-+=-+=-++∞→+∞→x x x xx x x x x x . 【求函数极限的方法总结与例题】在“知识点”部分结合相关知识点，给出一些例题，但有必要将函数极限的求法进行归纳并给出例题.例题的解法突出一题多解或诸方法结合使用.现归纳如下七点：⑴：消去零因子法，既把式子中的0因子消去。