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f ( ) 0.
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2、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点 即 使
f ( )
f (b) f (a ) . ba
f (b) f (a)=f (（ ) b a).
x
e 1 lim x 0 2 x
x
3. 0 ,1 , 型(指数型未定式)
0 0

求法:
0 取对数 1 0 0
0
x x 0
x . 例10 求 lim
( 00 )
则 ln y x ln x
1 x lim x 0 1 2 x
解 设y x
当x 时, 该法则仍然成立 .
f ( x) f ( x ) lim lim . x F ( x ) x F ( x )
当x a , x 时的未定式 , 也有相应的洛必达法则 .
例1 解
tan x 求 lim . x 0 x
0 ( ) 0
(tan x ) sec2 x 1. 原式 lim lim x 0 x 0 ( x ) 1
2 2
6 cos 6 x 3. lim x 2 cos 2 x
2
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法
0 0

关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ) .
0

1. 0 型
1 1 步骤: 0 , 或 0 0 . 0 2 x 求 lim x e . ( 0 ) 例7
0 ( ) 0
x3 3 x 2 例2 求 lim 3 . 2 x 1 x x x 1
2
3x 3 6 x 3 解 原式 lim 2 lim . x 1 3 x 2 x 1 x 1 6 x 2 2

例3 求 lim 2
x
arctan x 1 x .
解
13 x 13 x y cos x (3e ) e ( sin x)
dy e
13 x
(3cos x sin x)dx.
例6. 设 求
由方程
确定,
解: 方程两边求导,
得
3 x 2 3 y 2 y 3cos3x 6 y 0
当 x 0 时 y 0,由上式得 例7. 已知
求
dy
x 0
1 dx 2
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y
二、中值定理 1、罗尔（ Rolle ）定理 满足:
y f ( x)
o
a
b x
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 在( a , b ) 内至少存在一点 使
tan x 0 , ( ) 例如, lim x 0 0 x
tan x lim , () x tan 3x 2
定理 (洛必达法则）设 (1) 当 x a时, 函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F ( x) 都存在 且 F ( x) 0; f ( x) (3) lim 存在(或为无穷大); x a F ( x ) f ( x) f ( x) 那末 lim lim . x a F ( x) x a F ( x )
x
ln x lim ln y lim x ln x lim x 0 x 0 x 0 1 x
0
原式 e 1.
0
例11
1 求 lim x 0 x
tan x
tan x
( )
0
1 设 y 解 x 取对数得 ln y tan x ln x ln x lim tan x ln x lim x 0 cot x x 0
tan x 1 2 sec x tan x 1 lim . lim x 0 3 3 x 0 x 6x
2
2. 型
求法:
例8 解
1 1 求 lim( ). x 0 sin x x
0 或 0
变形
()
1 1 例9 求 lim( x ). x 0 x e 1
(3, 4) 上.
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三、洛必达法则
0 一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0
定义
如果当 x a (或 x ) 时，两个函数
f ( x) 与 F ( x) 都趋于零或都趋于无穷大，那末 f ( x) 极限 lim 可能存在、也可能不存在．通 xa F ( x) ( x ) 0 常把这种极限称为 或 型未定式. 0
3x 2 x
0.24.
通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分, 记作 dx, 即dx x.
dy f ( x0 )dx.
函数 y f ( x)在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x), 即 dy f ( x)dx.
dy f ( x ). dx
x
e e lim . 解 原式 lim x 2 x 2 x
x
x
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解
tan x x 求 lim 2 . x 0 x tan x
2 sec x 1 tan x x lim 原式 lim 3 x 0 x 0 3 x2 x
在区间 I 上满足
推论: 若函数
则
在 I 上必为常数.
例8. 证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
故所证等式在定义域
1 arctan x arctan ( x 0) x 2
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上成立.
证:
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x 例9. 证明不等式 1 x ln(1 x) x ( x 0).
0 ( ) 0
1 2 2 x 解 原式 lim 1 x lim 1. 2 x 1 x 1 x 2 x ln sin ax ( ) . 例4 求 lim x 0 ln sin bx
a cos ax sin bx a sin bx 解 原式 lim lim x 0 b cos bx sin ax b x 0 sin ax
1 2 sin x x lim lim 0 2 x 0 csc x x 0 x
原式 lim y lim e
x 0
x 0
ln y
e
x0
lim ln y
e 1
0
注意：洛必达法则的使用条件．
x cos x 例12 求 lim . x x
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于 该函数的导数. 导数也叫"微商".
例2.求
x
d(arctan e )
例3. 解:
求
y
1 1 ex
2
2
(1 e )
x2

1 1 ex

e
x2
x2
( x )
2

1 1 e
x
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e 2x
dy ydx
2 xe
x2 x
2
1 e
即
d y A x
即
在点 x0 可微的充要条件是
dy f ( x0 )x
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例1
求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x
dy
x2 x 0.02
3x x.
2
x2 x 0.02
证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
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思考与练习
1. 填空题
1) 函数 条件, 则中值 2) 设 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
3 15 _____ 4 .
方程
有
3
(2, 3) , (1, 2) , 个根 , 它们分别在区间
解 原式 lim e 1 x x 0 x(e x 1)
x
x sin x 1 cos x sin x 原式 lim lim lim 0. x 0 x sin x x 0 2x x 0 2
e lim x 0 2
x
e 1 x lim 2 x 0 x 1 2
dx
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例4
设 y tan (1 2 x ), 求dy.
2 2
解
y 8x tan(1 2x )sec (1 2x ),
2 2 2
dy 8x tan(1 2x2 )sec2 (1 2x2 )dx
1 3 x 设 y e cos x, 求dy. 例5
第二章 第六讲 函数的微分、洛必达法则
一、微分的定义及求法
二、中值定理
三、洛必达法则
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一、微分的概念
在点 x0 的增量可表示为 A x o(x) ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y f ( x) 在点 可微, 而 A x 称为 定义: 若函数