.
11．如图所示，一轨道由半径为2m的四分之一竖直圆弧轨道AB和长度L=3.5m的水平直轨道BC在B点平滑连接而成。现有一质量为0.2kg的滑块从A点无初速度释放，经过圆弧上B点时，传感器测得轨道所受压力大小为4.5N，然后经过水平直轨道BC，从C点水平飞离轨道，落到水平地面上的P点，P、C两点间的高度差为3.2m。滑块运动过程中可视为质点，且不计空气阻力。（g取10m/s2）
(1)问绳能承受的最大拉力多大？
(2)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
【答案】（1） ；（2） ， 。
【解析】
【分析】
【详解】
(1)设绳断后球飞行的时间为t，由平抛运动规律有
竖直方向
水平方向
D=v1t
解得
v1=
设绳能承受的最大拉力大小为Fmax，这也是球受到绳的最大拉力的大小，球做圆周运动的半径为
【答案】(1)mgsin 2θ(2) mgsin 4θ
【解析】
【分析】
【详解】
木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有
mgsinθ＝μmgcosθ
即μ＝tanθ.
(1)木块在力F作用下沿斜面向上匀速运动，有
Fcosα＝mgsinθ＋Ff
Fsinα＋FN＝mgcosθ
Ff＝μFN
解得
F＝ ＝ ＝
则当α＝θ时，F有最小值，为
F≥8N
2．如图所示，在xoy平面内y轴右侧有一范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向外；分成I和II两个区域，I区域的宽度为d，右侧磁场II区域还存在平行于xoy平面的匀强电场，场强大小为E＝ ，电场方向沿y轴正方向。坐标原点O有一粒子源，在xoy平面向各个方向发射质量为m，电量为q的正电荷，粒子的速率均为v＝ 。进入II区域时，只有速度方向平行于x轴的粒子才能进入，其余被界面吸收。不计粒子重力和粒子间的相互作用，求：
（1）小球到B点时速度为v，A到B由动能定理
解得
F=30N
（2）高AC高度为hAC，C点速度为v1
U=EhAC
解得
U=125V
（3）加恒力后，小球做匀速直线运动或者匀加速直线运动，设F与竖直方向夹角为α，当小球匀速直线运动时α=0，当小球匀加速直线运动时，F的最小值为F1，F没有最大值
F与竖直方向的最大夹角为
(2)若透明体材料的折射率为 ，求以45°的入射角射到A点的光，通过透明体后与O1O2的交点到球心O的距离。
【答案】(1) ；(2) 。
【解析】
【详解】
(1)光在透明体内的最长路径为2R，不考虑光在球内的反射，则有
透明体材料的折射率
；
(2)该光线的传播路径如图，入射角i=45°，折射率为n= ，根据折射定律 ，则折射角r=30°
【点睛】
木块放在斜面上时正好匀速下滑隐含摩擦系数的数值恰好等于斜面倾角的正切值，当有外力作用在物体上时，列平行于斜面方向的平衡方程，结合数学知识即可解题．
5．如图，O1O2为经过球形透明体的直线，平行光束沿O1O2方向照射到透明体上。已知透明体的半径为R，真空中的光速为c。
(1)不考虑光在球内的反射，若光通过透明体的最长时间为t，求透明体材料的折射率；
高中物理数学物理法专项训练100(附答案)
一、数学物理法
1．如图所示，空间有场强E=1.0×102V/m竖直向下的电场，长L=0.8m不可伸长的轻绳固定于O点．另一端系一质量m=0.5kg带电q=+5×10-2C的小球．拉起小球至绳水平后在A点无初速度释放，当小球运动至O点的正下方B点时绳恰好断裂，小球继续运动并垂直打在同一竖直平面且与水平面成θ=53°、无限大的挡板MN上的C点．试求：
．
13．如图为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，其矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴 匀速转动，线圈的匝数 匝、线圈所围面积 ，线圈电阻不计，线圈的两端经滑环和电刷与阻值 的电阻相连，匀强磁场的磁感应强度 ，测得电路中交流电流表的示数为5A。则：
(1)交流发电机的线圈转动的角速度是多少？
(2)从图示位置开始计时，写出电源电动势的瞬时表达式。
由圆周运动向心力公式，有
Fmax-mg=
得
Fmax= mg
(2)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，有
Fmax-mg=m
解得
v3=
绳断后球做平抛运动，竖直位移为
y=d－l
水平位移为x，时间为t1,由平抛运动规律有
得
x=4
当l＝ 时，x有最大值
xmax= d
4．质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，质量为m的木块刚好可以在木楔上表面上匀速下滑．现在用与木楔上表面成α角的力F拉着木块匀速上滑，如图所示，求：
（1）木块与斜面间的动摩擦因数；
（2）拉力F与斜面的夹角α多大时，拉力F最小,拉力F的最小值是多少；
（3）此时木楔对水平面的摩擦力是多少.
【答案】(1)μ=tanθ(2)Fmin=mgsin2θ(3)fM=Fcos(α+θ)
【解析】
【分析】
【详解】
(1)物体在斜面上匀速向下运动，有：
mgsinθ=μmgcosθ，
可求得
μ=tanθ
(2)当加上外力F时，对木块受力分析
因向上匀速，则有：
Fcosα=mgsinθ+f…①
Fsinα+N=mgcosθ…②
f=μN…③
联立①②③可得
则当α=θ时，F有最小值
Fmin=mgsin2θ．
（3）因为m及M均处于平衡状态，整体受到地面摩擦力等于F的水平分力，即：
fM=Fcos（α+θ）
(1)小球运动到B点时速度大小及绳子的最大张力；
(2)小球运动到C点时速度大小及A、C两点的电势差；
(3)当小球运动至C点时，突然施加一恒力F作用在小球上，同时把挡板迅速水平向右移至某处，若小球仍能垂直打在档板上，所加恒力F的最小值。
【答案】（1）30N；（2）125V；（3）
【解析】
【分析】
【详解】
a′=μg
根据 ，得
从C点做平抛运动，击中挡板所需时间为t′，则有
在竖直方向获得的速度为vy=gt′，击中挡板的速度为
当且仅当 ，v″取最小值，解得
，
12．在如图所示的电路中，已知电源电动势 ，内电阻 ，电阻 ，滑动变阻器R的阻值可连续增大，问：
（1）当R多大时，R消耗的功率最大？最大功率为多少？
（2）当R多大时， 消耗的功率最大？最大功率为多少？
(1)木块刚好可以沿木楔上表面匀速下滑时，mgsinθ＝μmgcosθ，则μ＝tanθ，用力F拉着木块匀速上滑，受力分析如图甲所示，则有：Fcosα＝mgsinθ＋Ff，FN＋Fsinα＝mgcosθ，
Ff＝μFN
联立以上各式解得： ．
当α＝θ时，F有最小值，Fmin＝mgsin 2θ．
(2)对木块和木楔整体受力分析如图乙所示，由平衡条件得，Ff′＝Fcos(θ＋α)，当拉力F最小时，Ff′＝Fmin·cos 2θ＝ mgsin 4θ．
联立解得
由题意可知
解得
7．质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)．
(1)当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小运动至B点时的速度大小；
(2)若滑块与水平直轨道BC间的动摩擦因数μ0=0.3，求P、C两点的水平距离；
(3)在P点沿图中虚线安放一个竖直挡板，若滑块与水平直轨道BC间的动摩擦因数可调，问动摩擦因数取何值时，滑块击中挡板时的速度最小，并求此最小速度。
【答案】(1)5m/s；(2)1.6m；(3) ，4 m/s
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
【详解】
(1)由题可知，电路中的电流为
线圈电动势为
则电动势的最大值为
又
则
(2)由图可知，此时线圈平面与磁场方向平行，所以电源电动势的瞬时表达式为
14．图甲为一种大型游乐项目“空中飞椅”，用不计重力的钢丝绳将座椅挂在水平悬臂边缘。设备工作时，悬臂升到离水平地面 高处，以 的角速度匀速转动时，座椅到竖直转轴中心线的距离为 （简化示意图乙），座椅和乘客（均视为质点）质量共计 ，钢丝绳长为 。忽略空气阻力，取重力加速度 。试计算此时
(1)某粒子从O运动到O'的时间；
(2)在I区域内有粒子经过区域的面积；
(3)粒子在II区域运动，当第一次速度为零时所处的y轴坐标。
【答案】(1) ；(2) ；(3)0
【解析】
【详解】
(1)根据洛伦兹力提供向心力可得
则轨迹半径为
粒子从 运动到 的运动的示意图如图所示：
粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为
(1)钢丝绳的拉力大小；
(2)若游客身上的物品脱落，因惯性水平飞出直接落到地面，求落地点到竖直转轴中心线的距离。
Fmin＝mgsin2θ.
(2)因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即
Ff＝Fcos(α＋θ)
当α＝θ时，F取最小值mgsin 2θ，
Ffm＝Fmincos2θ＝mg·sin 2θcos2θ＝ mgsin4θ.
8．质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当一质量为m的木块放在斜面上时恰好能匀速下滑，如果用与斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示，求：
(1)木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径；
(2)木星的第一宇宙速度。
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【详解】
(1)设木星探测器在圆形轨道运行时，轨道半径为 ，由 可得