圆柱
圆锥
圆台
19
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x) 、
直线x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f (x)
x [a,b]
在[a,b]上任取小区 o
x x dx
y f (x)
bx
2
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间[a, b]分成n个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i
n
个小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A Ai .
i 1
（2）计算Ai 的近似值
Ai f (i )xi i xi
n
（3） 求和，得A的近似值 A f (i )xi . i 1
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例 3 计算由曲线y2 2x 和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x y x4
(2,2), (8,4).
y x4
y2 2x
选 y 为积分变量 y [2, 4]
dA y 4 y2 dy
2
4
求椭圆 x 2 a2
y2 b2
b
a
f
( x)dx ，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做元素法(或微元法)．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
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二、定积分的几何应用
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一、平面图形的面积
1、平面直角坐标系情形
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x xb x 曲边梯形的面积
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A
a
40
ydx
0
4 b 2
sin
td
(a
cos
t
)
4ab 2 0
sin
2
tdt
ab.
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如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2 (t)(t)dt. t1
b
A a f ( x)dx
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
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例 1 计算由两条抛物线y2 x 和y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA 1[ ( )]2 d o x
2
曲边扇形的面积 A 1[ ( )]2 d . 2
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例 5 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第
一象限部分面积
y x
A 4A1
A 4 4 0
1 a2 cos 2d
2
a2.
A1
2 a2 cos 2
（其中t1和t2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1,t2 ]（或[t2 ,t1 ]）上x (t )具有连续导数， y (t)连续.
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2、极坐标系情形
设由曲线r ( )及射线 、 围成一曲边扇 形，求其面积．这里， ( )
d
r ( )
d
在[ , ]上连续，且 ( ) 0 ．
间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示
为[a, b]上的一个连续函数在 x处的值 f ( x)与 dx的乘积，就把 f ( x)dx称为量U 的元素（或 微元）且记作dU ，即dU f ( x)dx；
6
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
面积元素 dA ( x x2 )dx
1
A 0 (
x
x2 )dx
2 3
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
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例 2 计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
y x2
y x3 6x
(0,0), (2,4), (3,9).
选 x 为积分变量 x [2, 3]
3
（4） 求极限，得A的精确值
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
b
f ( x)dx
a
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx，
面 积 元 素
dA
y f (x)
于是 A f ( x)dx
b
o a x x dxb x
（3）部分量Ui 的近似值可表示为 f (i )xi ；
就可以考虑用定积分来表达这个量U
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一、定积分的元素法（微元法）
元素(微元)法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a, b] ；
2）设想把区间[a, b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区
(1) x [2, 0], dA1 ( x3 6x x2 )dx (2) x [0,3], dA2 ( x2 x3 6x)dx
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于是所求面积 A A1 A2
A
0
( 2
x3
6x
x2 )dx
3(x2 0
x3
6 x )dx
253. 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
问题：积分变量只能选 x吗？
定积分的应用
一、定积分的元素法 二、定积分的几何应用 平面图形的面积，立体体积， 平面曲线弧长 三、定积分的物理应用 变力做功，水压力，引力
1
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线 y
y f ( x)( f ( x) 0) 、
x 轴与两条直线x a 、
x b所围成。
oa
A
b
a
f
(
x)dx
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例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的
面积(a 0).
解 利用对称性知
A 2 1 a2(1 cos )2 d 3 a2 .
20
2
a2 0
(1
2cos
cos2
)d
a2
23
2sin
1 sin 4
2
0
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二、体积
1、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
4
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a, b 有关
的量；
（ 2 ）U 对 于 区 间 a, b具 有 可 加 性 ， 就 是 说，如果把区间a, b分成许多部分区间，则
U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部
分量之和；