《集合》常考题型
题型一、集合元素的意义+互异性
例1.1.设集合 ｛0｝ 例1.2.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________
解：∵A∩B ＝{2，5}，∴5∈A.
∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2.
①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B ＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去． ②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去．
③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}．
题型二、空集的特殊性
例2.1.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且B A ，
则实数m 的取值范围为_____________
例2.2.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{}0≥=x x B ，且φ=B A ， 求实数a 的取值范围。

解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=Φ；
②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=Φ，A ∴=Φ或关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数.
（1）当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根，
140a ∆=-<，所以14a >
. （2）当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时，
12121401010a x x a x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩
140a a ⎧≤⎪⇒⇒⎨⎪>⎩104a <≤. 综上所述，实数a 的取值范围为{0}a a ≥.
{}{}2|22,|,12,A x x B y y x x A B =-≤==--≤≤=则
题型三、集和的运算
例3.1.设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，
则a 的取值范围是________________－3<a <－1
例3.2.集合M={x |x =k 2+13，k ∈Z}，N={x |x =k +13，k ∈Z}，则（C ）
A.M=N
B.M ⊆N
C.N ⊆M
D.M∩N=∅
解：∵M 中：x =k 2+13={n +13，k =2n ，n ∈Z n +56，k =2n +1，n ∈Z ； N 中：x =k +13=n +13，k =n ∈Z ，∴N ⊆M ．故选：C ．
例3.3.全集(){}R y x y x U ∈=,|,，集合()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
=-+=122|,x y y x M ，(){}4|,-≠=x y y x N ， 则()()N C M C U U 等于__{})22(，
______________
题型四、创新题
例4.1.定义集合A 与B 的运算A*B={x |x ∈A 或x ∈B ，且x ∉A ∩B}，则(A*B)*A 等于（D ）
A.A ∩B
B.A ∪B
C.A
D.B
解：如图，A*B 表示的是阴影部分，
设A*B=C ，根据A*B 的定义可知：C*A=B ，所以(A*B)*A=B ，故答案为D
例4.2.定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为，用表示有限集的元素个数，给出下列命题：
①对于任意集合，都有()A P A ∈；
②存在集合A ，使得()[]3=A P n ；
③用∅表示空集，若，则()()∅=B P A P ；
④若B A ⊆，则()()B P A P ⊆；
⑤若，则.其中正确的命题为_①④⑤_________（填序号）
A ()A P ()A n A A ∅=
B A ()()1=-B n A n ()[]()[]B P A P n ⨯=2
对于命题①，，因此，命题①正确； 对于命题②，若集合的元素个数为m ，则集合的子集共m
2个，若，则 ，解得N m ∉=3log 2，命题②错误；
对于命题③，若∅=B A ，由于A ⊆∅，B ⊆∅，因此，()B P ∈∅，所以 ，则，命题③错误；
对于命题④，若，对集合的任意子集A E ⊆，即对任意()A P E ∈，则B E ⊆， 则()B P E ∈，因此，命题④正确；
对于命题⑤，设()n B n =，则()1+=n A n ，则集合的子集个数为，即 ，集合的子集个数为，即()[]n B P n 2=，因此 ，命题⑤正确，
故正确的命题为①④⑤_
变式训练：
1.已知集合，集合，若，则实数 1
2.设集合M ＝{x |x ＜3}，N ＝{x |x ＞－2}，Q ＝{x |x －a ≥0}，令P ＝M ∩N ，若P ∪Q ＝Q ， 则实数a 的取值范围为__________________
解：P ＝M ∩N ＝{x |－2＜x ＜3}，Q ＝{x |x ≥a }，
∵P ∪Q ＝Q ，∴P ⊆Q .∴a ≤－2，即实数a 的取值范围是{a |a ≤－2}
3.若集合{2，3}≠⊂M ≠
⊂{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则集合M 共有__________个。

126 解：27-2=126；
4.定义集合P={x |x =3k +1，x ∈Z}，Q={x |x =3k -1，x ∈Z}，M={x |x =3k ，x ∈Z}.
若a ∈P ，b ∈Q ，c ∈M ，则a 2+b -c ∈（b ）
A.P
B.M
C.Q
D.P ∪Q
5.已知全集U =N ，{2,A x x n n ==∈N }，{4,B x x n n ==∈ N }，则（ C ）
Ａ.U =A
B Ｂ.U=（U
C A ）B Ｃ.U=()U A C B Ｄ.U=()()U U C A C B
A A ⊆()A P A ∈A A ()[]3=A P n 32=m ()A P ∈∅()()[]
B P A P ∈∅()()∅=B P A P B A ⊆A ()()B P A P ⊆A 12
+n ()[]n n A P n 2221⨯==+B n 2()[]()[]B P A P n ⨯=2
6.已知集合M ={x|x =m +16，m ∈Z} ，N ={x|x =n 2−13，n ∈Z} ，
P ={x|x =p 2+16，p ∈Z}，则M ，N ，P 的关系( B )
A.M=N ⊊P
B.M ⊊N=P
C.M ⊊N ⊊P
D.N ⊊P ⊊M
解：N ={x|x =n 2−13，n ∈Z}， x =n 2−13=
3n−26，n ∈Z ． P ={x|x =p 2+16，p ∈Z}，x =p 2+16=
3p+16，p ∈Z N =3n−26=
3p+16
=P ，M ={x|x =m +16，m ∈Z} x =m +16=6m+16， M ，N ，P 三者分母相同， 所以只需要比较他们的分子．M ：6的倍数+1，N=P ：3的倍数+1，所以M ⊊N=P .
7.已知集合{}0132|2=++=x x x A ，(){}
012|22=+++=x m x m x B ，若A B A = ，则实数m 的取值范围为_____________⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
=≥-<0232/m m m m 或或 8.已知集合{}|2A x x a =-≤≤，{}|23,B y y x x A ==+∈，{}
2|,C z z x x A ==∈， 且C B ⊆，求实数a 的取值范围。

]3,2
1[2, ）（-∞- 9.已知集合A={x |x 2-4ax +2a +6=0，x ∈R}，集合B={x |x ＜0}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为____________________________
解：因为A ∩B ≠∅，所以方程x 2-4ax +2a +6=0有负根；…(1分)
设方程的根为x 1，x 2 (1)恰有一个负根：
或
解得：或，即a ≤-3
(2)恰有2个负根
解得：
，即-3＜a ≤-1，所以a 的取值范围是{a |a ≤-1}
10.设集合M={1，2，3，4，5，6}，S 1、S 2、…、S k 都是M 的含两个元素的子集，且满足：对
任意的S i ={a i ，b i }，S j ={a j ，b j }(i ≠j ，i 、j ∈{1，2，3，…，k })，都有min ⎭⎬⎫⎩⎨⎧i i i i a b b a ,≠min ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧j j j a b b a ,j (min {x ，y }表示两个数x 、y 中的较小者)．则k 的最大值是_______________11
解：根据题意，对于M ，含2个元素的子集有15个， 但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个； {1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个.
故满足条件的两个元素的集合有11个；。