二次函数的图像
●三维目标 1．知识与技能 (1)能够作出函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图像， 并能理解它与y＝ax2的图像的关系． (2)掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k图像的开口方向、对称 轴和顶点坐标及a，h，k对二次函数图像的影响．
2．过程与方法 经历二次函数y＝a(x－h)2＋k图像的形成过程，提高作 图能力，学会观察比较，体验数形结合的数学思想． 3．情感、态度与价值观 (1)经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情 推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐 述自己的观点． (2)让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程 和结果．
(3)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，
a＋b＋c＝1， 由题设知c＝2，
9a＋3b＋c＝5，
a＝1， ⇒b＝－2，
c＝2.
∴函数解析式为y＝x2－2x＋2.
求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点， 选择解析式的形式，利用待定系数法求解．
1．若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数 为一般式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的形式．
二次函数图像的变换
在同一坐标系中作出下列函数的图像，并分析 如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像．
(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x. 【思路探究】 解答本题可就每个函数列表、描点、 连线，作出相应图像，然后利用图像以及二次函数的平移 变换规律分析y＝x2与y＝2x2－4x的图像之间的关系．
此时，a决定了图像的 开口方向 和在同一直角坐标系 中的 开口大小 ．
函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的变换
【问题导思】 1．函数y＝x2的图像与函数y＝(x－1)2的图像有怎样的 关系？如何由y＝x2的图像得到y＝(x－1)2的图像？ 【提示】 它们的形状相同，位置不同．把y＝x2的图 像向右平移1个单位就可得到y＝(x－1)2的图像． 2．如何由y＝x2的图像得到y＝x2－1的图像？ 【提示】 把y＝x2的图像向下平移1个单位．
二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二 次函数的解析式．
【解】 法一 设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c. 由已知函数图像经过点(2,3)和点(3,1)，函数图像的对称 轴是－2ba＝2.
9a＋3b＋c＝1， 得方程组4a＋2b＋c＝3，
－2ba＝2. 解这个方程组，得a＝－2，b＝8，c＝－5.
换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再
确定变换的步骤．常用的变换步骤如下：
y＝x2
―――横―不―变―→
纵变为原来的a倍
y＝ax2
―k>―0，―上―移→
k<0，下移
y＝ax2＋
k
―h>―0，―左―移→
h<0，右移
y＝a(x＋h)2＋k，其中a决定开口方向及开口大小
(或纵坐标的拉伸)；h决定左、右平移，k决定上、下平移．
●重点难点 重点：二次函数图像的变换． 难点：二次函数图像的上下左右移动． 结合几何画板动态的演示函数图像的各种变换，让学 生直观的感受到a，h，k对二次函数图像的影响．
●教学建议 二次函数是中学数学一个非常重要的函数，是初中和 高中数学的一个知识的交汇点，是研究一般函数图像、性 质的一个很典型的函数模板．从具体的二次函数的图像和 性质方面去研究一些函数图像之间的变换特点和规律，进 而引导学生对一般函数图像间的变换特点和规律的了解和 掌握．从特殊到一般，再由普遍的一般规律去指导具体的 函数问题．
1 4
个单位长度，再向上平移
3 4
个
单位长度，就可得到函数y＝4x2＋2x＋1的图像．
求二次函数的解析式
根据下列条件，求二次函数y＝f(x)的解析式． (1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)； (2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)； (3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．
1．y＝ax2(a≠0)的图像与y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的 图像之间进行变换时应先将y＝ax2＋bx＋c进行配方， 平移时应注意平移的方向及单位长度．
2．求二次函数的解析式一般采用待定系数法， 当抛物线过三点时，可选用一般式；当已知条件与顶 点坐标和对称轴有关时，可选用顶点式；当已知条件 与x轴的交点坐标有关时，可选用两根式．
2．由y＝x2的图像如何得到y＝2x2和y＝－x2的图像？ 【提示】 把y＝x2图像上各点的纵坐标变为原来的2倍 即可得到y＝2x2的图像；把y＝x2图像上各点的纵坐标变为原 来的相反数，即可得到y＝－x2的图像．
二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的 纵坐标 变为原来的 a倍 得到．
●教学流程
课标解读
1.理解y＝x2与y＝ax2(a≠0)，y＝ax2与y＝ a(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的图像之间 的关系．(重点) 2．掌握a，h，k对二次函数图像的影响 ．(难点、易混点)
函数y＝x2与函数y＝ax2(a≠0)的图像间的关系
【问题导思】 1．在初中已学习过二次函数，那么二次函数是如何定 义的？它的定义域是什么？ 【提示】 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它 的定义域为R.
【自主解答】 (1)列表：
x y＝x2 y＝x2－2
－3 －2 －1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 49 7 2 －1 －2 －1 2 7
y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6 描点、连线即得相应函数的图像，如图所示．
(2)y＝2x2－4x ＝2(x2－2x) ＝2(x2－2x＋1－1) ＝2(x－1)2－2. 由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下： 法一 先把y＝x2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来 的2倍得到y＝2x2的图像，然后把y＝2x2的图像向下平移2个 单位长度得到y＝2x2－2的图像，最后把y＝2x2－2的图像向 右平移1个单位长度得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图 像．
2．二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像可由y＝ax2向右平移 |h| 个单位长度(h<0)，再向 下 平移|k| 个单位长度(k<0)得到．
在二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图
像的开口大小及方向．
3．将二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方化为y＝a(x ＋h)2＋k (a≠0)的形式，然后通过函数y＝ax2(a≠0)的图像左
即y＝－2x2＋8x－5.
数形结合思想在二次函数问题中的应用 (12分)若方程x2－2x－3＝a有两个不相等的实
数解，求实数a的取值范围． 【思路点拨】 令f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝a，将方程有
两个不相等的实数解转化为两个函数的图像有两个不同的 交点．
【规范解答】 令f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝a.
2分
作出f(x)的图像如图所示．
∵f(x)与g(x)图像的交①当a<－4时，f(x)与g(x)无交点，即方程x2－
2x－3＝a无实根；
6分
②当a＝－4时，f(x)与g(x)有一个公共点，即方程x2－2x
－3＝a有一个实根；
8分
③当a>－4时，f(x)与g(x)有两个公共点，即方程x2－2x
2．若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最 大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中 顶点为(h，k)，a为常数，a≠0)．
3．若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为 (x1,0)，(x2,0)，则设所求二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－ x2)(a为常数，且a≠0)．
∴二次函数解析式为y＝－2x2＋8x－5. 法二 二次函数的顶点式是y＝a(x－h)2＋k，而顶点坐 标是(2,3)， 故有y＝a(x－2)2＋3，这样只需确定a的值． 因为图像经过点(3,1)，所以x＝3，y＝1满足关系式y＝ a(x－2)2＋3， 从而有1＝a(3－2)2＋3，解得a＝－2. ∴函数解析式为y＝－2(x－2)2＋3，
3．在利用数形结合的思想解决与二次函数 的图像有关的问题时，只需要画出二次函数的 大致图像(画出开口方向、对称轴、与坐标轴的 交点、特殊点)即可．
－3＝a有两个实根.
10分
综上所述，当方程x2－2x－3＝a有两个实数解时，实数
a的取值范围是(－4，＋∞).
12分
1．所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通 过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．
2．巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学 问题，可以起到事半功倍的效果，数形结合的重点是“以 形助数”．
(1)由y＝－2x2的图像，如何得到y＝－2(x＋1)2－3的图 像？
(2)把y＝2x2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平 移4个单位长度，能得到哪个函数的图像？
(3)将函数y＝4x2＋2x＋1写成y＝a(x＋h)2＋k的形式，并 说明它的图像是由y＝4x2的图像经过怎样的变换得到的？
【解】 (1)把y＝－2x2的图像向左平移1个单位长度， 再向下平移3个单位长度就得到y＝－2(x＋1)2－3的图像．
(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)， 在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝ 2x2－4x－6的草图，如图所示．
画二次函数的图像重点体现图像的特征“三点一线一 开口”：
1．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是关于对称 轴对称的两个点，常取与x轴的交点；
3．如何由y＝x2的图像得到y＝x2－2x－1的图像？
【提示】 y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，故只需把y＝x2 的图像先向右平移1个单位，再向下平移2个单位．
1．二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像可由y＝ax2向左 平移 h 个单位长度(h>0)，再向上 平移 k 个单位长度(k>0)得到．