第 48 讲 多面体、欧拉公式与球（第课时）多面体、欧拉公式与球 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧多面体的内切球体积面积计算球面距离截面球的性质球的概念球正多面体的概念欧拉公式多面体的概念多面体 2．欧拉公式；3．球的概念和性质。

2．了解多面体的欧拉公式；3．了解球的概念，掌握球2．有关球的考查一般以小题出现。

围成多面体的各个多边形叫做面，两个面的公共边叫棱，棱的端点叫顶点，不在同一个面内的两个顶点间的线段叫对角线。

有n 个面的多面体叫n 面体（4≥n ）。

凸多面体：若把一个多面体的任意一个面沿展成平面，其余各面都在这个平面的同侧时，则称这个多面体为凸多面体。

简单多面体：表面能通过连续变形变为球面的多面体，叫做简单多面体。

2．欧拉公式对于简单多面体，有： 顶点数（V ）+面数(F)-棱数（E ）= 2 。

例．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有3条棱，则n 等于 （ ） A . 4 ； B . 5 ； C . 6 ； D . 7 。

分析： 先计算正n 面体的棱数，然后应用欧拉公式来解。

解：由题意有 8=V ，12283=⨯=E ，则 682122=-+=-+=V EF ，故选C 。

例．已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目。

解 设：三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个。

3．正多面体⑴ 定义：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。

⑵ 名称面的形状 每个顶点的棱顶点数（V ） 面数（F) 棱数(E) 正四面体 正三角形 3 4 4 6 正六面体正方形3 8 6 12 正八面体 正三角形4 6 8 12 正十二面体 正五边形 3 20 12 30 正二十面体 正三角形51220304．球 ⑴ 定义① 球面: 半圆绕它的直径旋转一周所生成的曲面叫做球面。

② 球: 球面围成的几何体叫球。

③球面距离：经过球面两点的大圆在这两点间的劣弧的长叫做这两点的球面距离。

⑵ 性质① 球的任意截面都是圆。

其中过球心的截面叫大圆，不过球心的截面叫小圆。

② 球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且球心到截面的距离 22r R d -= ，其中R 是球半径，r 是截面半径。

⑶ 面积公式球面的面积：等于球的大圆面积的4倍，即 24R S π=球面 ，其中R 是球半径。

⑷ 体积公式球的体积：等于三分之四乘以3R π，即 334R V π=球 ，其中R 是球半径。

⑸ 球的直观图的画法① 如图，画三条坐标轴x 、y 、z ；②在水平面xoy内，以O为圆心，画半径为R的大圆的直观图；再以O为圆心，画半径为R的大圆的正面图。

例．地球半径为R，A、B两地都在北纬45º的球面上，他们的经度相差90º，求A、B两地球面距离。

例．过球面上一点M作互相垂直的三条弦MA，MB，MC；设球的半径为R，求证：MA2+MB2+MC2=4R2。

分析：由于MA、MB、MC互相垂直，作图时可考虑经过其中两条（如MB、MC）的球的截面，BC是截面圆的直径，MA与该截面垂直。

证明：如图，设球半径为R，连结BC，过MB和MC的球的截面为小圆H，由MB⊥MC，有BC为圆H的直径，连结MH，并延长与球面交于点N，连结AN，设AN的中点为O，连OH ，则OH∥AM ，∵AM⊥MB，AM⊥MC，∴AM⊥面MBC ，AM⊥MN，∴OH⊥面MBC，O为球心，AN为球的直径，∴ MA2+MB2+MC2=MA2+MN2=AN2=(2R)2=4R2，点评：本题还可以看成是球的内接长方体的从一个顶点出发的三条棱与对角线长度之间的关系，用长方体的知识来处理比较简单。

5．球与其他几何体形成的组合体问题例．直径20cm的球，在上面钻一个直径为12cm的圆柱形的穿通孔，这个圆柱的轴合于球的直径，求这个有孔球的表面积。

分析：这个有孔球的表面积应该等于球面积减去两个球冠面积再加上圆柱的侧面积，计算结果为512 2cm。

LJ 02 05-09 多面体和球 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10多面体多面体凸多面体简单多面体正多面体欧拉公式√球球面距离√球性质√√能力测试认真完成！参考答案仔细核对！球面积 √ 球体积 √ 球的截面 √ √球组合体√√ √1. 若两球表面积之比为1:2，则其半径之比是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:D ．1:2 答案：C2．下列说法错误的是 （ ） A ．M 到定点的距离等于定长的点的集合是球面 B ．以圆的直径为轴，旋转半周所成的曲面叫球面 C ．过球面上的两个不同点，只能作一个大圆 D ．两点间的球面距离是大圆的一段劣弧长 答案：C 3．半径为5的球被一平面所截，若截面圆的面积为16π，则球心到截面的距离为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2.5 D ．2 答案：B 4（1998年高考文科题）. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为 （ ）A . 34；B . 32；C . 2；D . 3。

答案：B5. 与正方体各面相切的球，它的面积与正方体表面积之比为______。

答案：π ：66. 半径为10cm 的球内，有一个截面距球心6cm ，则该截面的面积等于______。

答案：64πcm 27（2001年春季高考理科题）．已知球内接正方体的表面积为S ，那么球体积等于_______________ 。

答案：242SS 。

8．设一个凸多面体有V 个顶点，求证：它的各面多边形的内角总和为（V -2）·360°。

证明 ∵V+F-E =2，∴E-F=V-2。

设凸多面体的各面分别是n 1，n 2，…n F 边形，则各面多边形内角总和是： （n 1-2）·180°+（n 2-2）·180°+…+（n F -2）·180°=（n 1+n 2+…+n F -2F ）·180° =（2E -2F ）·180° =（E-F ）·360° =（V -2）·360°。

∴ 凸多边形各面多边形内角总和为（V -2）·360°。

9．如图，过半径为R 的球面上一点P 作三条两两垂直的弦PA 、PB 、PC ，(1)求证：PA 2+PB 2+PC 2为定值；(2)求三棱锥P —ABC 的体积的最大值。

分析：先选其中两条弦PA 、PB ，设其确定的平面截球得圆1O，AB 是1O 的直径，连PO 1并延长交1O 于D ，PADB 是矩形，PD 2＝AB 2＝PA 2+PB 2，然后只要证得PC 和PD 确定是大圆就可以了。

解 (1)设过PA 、PB 的平面截球得圆面1O ，∵ PA⊥ PB ，∴ AB 是1O 的直径，连PO 1并延长交1O 于D ，则PADB 是矩形，PD 2＝PA 2+PB 2， 设O 为球心，则OO 1⊥ 平面1O ，∵ PC⊥ 平面1O ，∴ OO 1∥ PC ，因此过PC 、PD 的平面经过球心O ，截球得大圆，又PC⊥ PD ，∴ CD 是球的直径，故 PA 2+PB 2+PC 2＝PD 2+PC 2＝CD 2＝4R 2定值； ∵∴(2)设PA 、PB 、PC 的长分别为x 、y 、z ，则三棱锥P —ABC 的体积 xyz V 61=， 654632222222322764361)3(361361R R z y x z y x V =⨯=++≤= ，∴ 32734R V ≤ ，故三棱锥P —ABC 的体积的最大值为 32734R 。

点评：①定值问题可利用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB 是大圆，探求得定值4R 2可为(1)的证明指明方向。

②球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质。

10．设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA⊥AB，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径。

解: ∵ AB⊥ AD ，AB⊥ MA ，∴ AB⊥ 平面MAD ， ∴ 面MAD⊥ 面AC , 记E 是AD 的中点，则 ME⊥ AD ，∴ ME⊥ 平面AC ，ME⊥ EF ， 设球O 是与平面MAD 、AC 、平面MBC 都相切的球， 不妨设O∈ 平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心，设球O 的半径为r ，则 MF EM EF S r MEF++=∆2 ， 设AD ＝EF ＝a , ∵ 1=∆AMD S ，∴ a ME = ，22)2(aa MF += ，122222)2(2222-=+≤+++=aa a a r ，当且仅当 aa 2=，即 2=a 时，等号成立， ∴ 当 2==ME AD 时，满足条件的球最大半径为 12- 。

（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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