❖ 1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
an a a a a, a0 1 (a 0) ,
00 无意义
an

1 an
(a 0)
am an amn ; (am )n amn
(an )m amn , (ab)n anbn
❖ 2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
2.1.1 指数与指数幂的运算
2015年10月14日
一、根式
42 ?
乘方运算
?2 16 开方运算
4和- 4叫做16的平方根
23 8
2叫做8的立方根
引入新课
?4 81
?5 32
要求：用语言描述式子的含义
3 称为81的四次方根
2 称为-32的五次方根
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根.
练一练
3 3 27
2 3 8
22 4 32 9
2 5 32
2 4 16
观察思考：你能得到什么结论？
得出结论
3 3 27 2 3 8
3 3 27 2 3 8
2 5 32
x5 11
2 5 32 x 5 11
结论：当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正 数，负数的 n次方根是一个负数，这时，a的n次方根
只有一个，记为 x n a ．
得出结论
22 4 32 9
2 4 16
2 4 3 9
2 4 16
x6 12
x 6 12
结论：当 n为偶数时，正数的 nn次方根有两个， 它们互为相反数．正数aa的正nn次方根用符号 n a 表示；负的n 次方根用符号 n a 表示，它们可以合
ar as ars (a 0, r, s Q)
(ar )S ars (a 0, r, s Q)
(a b)r arbr (a 0,b 0, r Q)
例2、求值
2
83 ;
1
25 2 ;

1
5
;
16


3 4

2
81
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
m
a n n am (a 0, m, n N *)
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a

m n

1
m
(a

0, m, n N * )
an
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数 指数幂无意义
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因 此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂 的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
10
8
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 a8 (a4 )2 a4 a 2
12
10
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
•小结：当根式的被开方数的指数能被根指 数整除时，根式可以写成分数作为指数的 形式，（分数指数幂形式）
(1) 3 (8)3
(3) 4 (3 )4(源自) (10)2 (4) (a - b)2 (a b).
练习：判断下列说法是否正确：
（1）正数的n次方根有两个；
（2）a 的n次方根是 n a ；
（3） n a n a(a 0).
解 （1）不正确； （2）不正确；（3）正确。
二、分数指数幂
5 32 ____2___ 4 81 ___3____
210 ____3_2___ 3 312 ___8_1___
探究
n an a 一定成立吗？
1、当 n 是奇数时，n an a
2、当
n
是偶数时，n
an
|
a
|
a
a
(a 0) (a 0)
例1、求下列各式的值：
A.a16 B. a8 C. a4 D. a2
3、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) D.2
3x y
4、若10x=2，10y=3，则10 2
。
5、a , b ，R 下列各式总能成立的是（ ）
a 定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数， 叫做
被开方数 填空:
(1)25的平方根等于____2_5_____5_______
(2)27的立方根等于__3__2_7_____3_______ (3)-32的五次方根等于5___32____2________ (4)16的四次方根等于__4_1_6____2______ (5)a6的三次方根等于__3_a_6__a_2________ (6)0的七次方根等于___7_0___0____
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
n

3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25- 125) 4 25
a2
(2)
(a 0)
a 3 a2
课堂练习：课本P54练习1、2、3。
小结
1、根式和分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂之间的相互转化 3、有理指数幂的含义及其运算性质
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
2、化简 (3 6 a9 )4 (6 3 a9 )4的结果是（ ）
并写成 n a (a 0) 的形式．负数没有偶次方
根．
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数.
（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数.
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
记作 n 0 = 0.
(4) (n a ) n a
❖ 思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根 式是否也可以写成分数指数幂的形式 ？如：
2
3 a2 a 3 (a 0)
5
4 c5 c 4 (c 0)
1
b b2 (b 0)
m
即：n am a n (a 0, n N *, n 1)
❖ 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：