《材料力学》第章-压杆稳定-习题解
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第九章压杆稳定习题解
[习题9-１]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆,按图a所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式 。试分析当分别取图b,ｃ,ｄ 所示坐标系及挠曲线形状时,压杆在 作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得 公式又是否相同。
解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况,它的长度因素 ,其临界力为： 。但是,(a)为一端弹簧支座，一端自由的情况,它的长度因素 ，因此,不能用 来计算临界力。
为了考察（ａ)情况下的临界力,我们不妨设下支座（B)的转动刚度 ，且无侧向位移,则：
解: 挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。
因为(ｂ）图与（a）图具有相同的坐标系,所以它们的挠曲线微分方程相同，都是
。（c）、（d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程： ，显然，这微分方程与（a)的微分方程不同。
临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关,与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即: 。
（a)每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳:
（ｂ)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳
失稳时整体在面内弯曲，则1,2两杆组成一组合截面。
(c）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳
故面由三根直径均为 的圆截面钢杆组成,在B点铰支，而在Ａ点和C点固定,Ｄ为铰接点， 。若结构由于杆件在平面ABＣＤ内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点Ｄ处的荷载F的临界值。
(1）比例极限 ，弹性模量 的钢;
(2) , ，含镍3.5%的镍钢；
(3) , 的松木。
试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。
解：(1）
（２）
（3）
［习题9-1１］两端铰支、强度等级为TC13的木柱，截面为１50mm×１5０mm的正方形,长度 ,强度许用应力 。试求木柱的许可荷载。
解:
由公式(9－12a）:
解：要使设计合理，必使AB杆与BＣ杆同时失稳,
即:
[习题9-９]下端固定、上端铰支、长 的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示,并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢， 强度许用应力 ,试求压杆的许可荷载。
解：查型钢表得:
[习题9-10]如果杆分别由下列材料制成：
解:杆DB为两端铰支 ,杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取 。此结构为超静定结构，当杆ＤB失稳时结构仍能继续承载，直到杆ＡD及DＣ也失稳时整个结构才丧失承载能力，故
[习题9-8]图示铰接杆系ＡBC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面ＡBＣ内失稳而引起毁坏，试确定荷载F为最大时的 角（假设 ）。
［习题9－4]试推导两端固定、弯曲刚度为 ，长度为 的等截面中心受压直杆的临界应力 的欧拉公式。
[解］：设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为 ,水平反力为０，约束反力偶矩两端相等，用 表示,下标 表示端部enｄ的意思。若取下截离体为研究对象，则 的转向为逆转。
，令 ,则
上述微分方程的通解为：
解：
[习题9-６]两根直径为 的立柱,上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接,如图所示。试根据杆端的约束条件,分析在总压力F作用下,立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑）,确定最小临界力 的算式。
解:在总压力F作用下,立柱微弯时可能有下列三种情况：
令 ，得:
微分方程的通解为：
由边界条件: , , ； ,
解得: , ,
整理后得到稳定方程：
用试算法得:
故得到压杆的临界力: 。
因此,长度因素 可以大于2。这与弹性支座的转动刚度Ｃ有关,C越小，则 值越大。当 时, 。
螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时,不能看作固定端；当轴向压力很大,或地面很粗糙时,底座与地面之间无相对滑动,此时,可以看作是固定端。因此,校核丝杆稳定性时,把它看作上端自由,下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况， ,算出来的临界力比“把它看作下端固定(固定于底座上）、上端自由、长度为 的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度 ,则: ， 。因此，校核丝杆稳定性时,把它看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为 的压杆不是偏于安全,而是偏于危险。
（ｆ） （下段）； （上段)
故图e所示杆 最小,图f所示杆 最大。
［习题9－3]图a，b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a)的基础放在弹性地基上,第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为
？为什么？并由此判断压杆长因数 是否可能大于2。
螺旋千斤顶（图ｃ）的底座对丝杆（起顶杆)的稳定性有无影响?校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上)、上端自由、长度为 的压杆是否偏于安全？
[习题9-２]图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？
解:压杆能承受的临界压力为: 。由这公式可知,对于材料和截面相同的压杆,它们能承受的压力与原压相的相当长度 的平方成反比,其中, 为与约束情况有关的长度系数。
（a）
（b)
(ｃ)
（ｄ)
(e）
…………………………….(a）
边界条件: ； : ； 。
: ； 。
把A、B的值代入（a)得：
边界条件: ； : ，
：
以上两式均要求： ,
其最小解是： ,或 。故有： ,因此:
。
[习题９-5］长 的1０号工字钢,在温度为 时安装在两个固定支座之间,这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数 ， 。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定性?