2017年江苏省无锡市中考数学试卷（副卷）(含答案解析)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内）1．（3分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．2D．﹣22．（3分）下列运算正确的是（）A．x2+x2＝x4B．x6÷x3＝x2C．4x3﹣3x3＝x3D．（x3）2＝x5 3．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列命题是真命题的是（）A．三个角相等的平行四边形是矩形B．对角线相等的四边形是矩形C．平行四边形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形5．（3分）如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上．若∠1＝35°，则∠2等于（）A．115°B．125°C．135°D．145°6．（3分）在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（3分）某班测量了10名学生的身高，他们的身高与对应的人数如下表所示身高（cm）163165170172173学生人数（人）12322则这10名学生身高的众数和中位数分别为（）A．165cm，165cm B．170cm，165cmC．165cm，170cm D．170cm，170cm8．（3分）关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（）A．对称轴为直线x＝1B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小C．与x轴没有交点D．与y轴交于点（0，﹣2）9．（3分）一块直角边分别为3和4的三角形木板，绕长度为3的边旋转一周，则斜边扫过的面积是（）A．15B．15πC．20D．20π10．（3分）已知，如图，△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，半径为1的⊙O与三角形的边AB、AC都相切，点P为⊙O上一动点，点Q为BC边上一动点，则PQ的最大值与最小值的和为（）A．11B．5+4C．5+5D．12二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）11．（2分）16的算术平方根是．12．（2分）化简：＝．13．（2分）我市火车站在今年端午节假期累计发送旅客278000人，这个数据用科学记数法可表示为．14．（2分）函数中，自变量x的取值范围是．15．（2分）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．16．（2分）如图，已知AB为⊙O的直径，C为半圆上异于A、B的一个动点，∠ACB的平分线与⊙O交于点E，若圆的半径为2时，则的长度为．17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2），点Q 在对角线OB上，且QO＝OC，连结CQ并延长交边AB于点P，则四边形OAPQ的面积为．18．（2分）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：（1）|﹣2|﹣+（）﹣2；（2）（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）．20．（8分）（1）解不等式：（x﹣1）＞2+3x；（2）解方程组：．21．（8分）如图，已知点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC，BE＝CF．求证：BD是△ABC的角平分线．22．（6分）某数学课外学习小组为统计某小区共享单车的使用情况，对A、B、C、D四种共享单车品牌的骑行人数进行了调查，并绘制了如下的两张不完整的统计图．（1）扇形统计图中，B、C品牌单车骑行人数所占圆心角的度数分别为和；（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该小区习惯使用共享单车的有120人，请你估算使用B型品牌单车的人数约是多少人？23．（8分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，他们通过摸球的方式决定首场比赛的两个选手：在一个不透明的口袋中放入两个红球和一个白球，它们除颜色外其他都相同，将它们搅匀，三人从中各摸出一个球，摸到红球的两人即为首场比赛选手．求甲、乙两人成为比赛选手的概率．（请用画树状图或列表等方法写出分析过程并给出结果）24．（8分）如图，已知∠MAN，及线段a，b（a＞b）．（1）仅用没有刻度的直尺和圆规分别在射线AM、AN上确定点B、点C，使得AC＝b，AB+BC＝a（保留作图痕迹，不要作法）；（2）若sin∠MAN＝，a＝61，b＝39，则△ABC的面积为．25．（8分）如图，P是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点P作P A⊥x轴于点A，以AP为斜边在右侧作等腰Rt△APQ，已知直角顶点Q的纵坐标为﹣2，连结OQ交AP于B，BQ＝2OB．（1）求点P的坐标；（2）连结OP，求△OPQ的面积与△OAQ的面积之比．26．（10分）某品牌牛奶专营店销售一款牛奶，售价是在进价的基础上加价a%出售，每月的销售额可以达到9.6万元，但每月需支出2.45万元的固定费用及进价的2.5%的其他费用．（1）如果该款牛奶每月所获的利润要达到1万元，那么a的值是多少？（利润＝售价﹣进价﹣固定费用﹣其他费用）（2）现这款牛奶的售价为64元/盒，根据市场调查，这款牛奶如果售价每降低1%，销售量将上升8%，求这款牛奶调价销售后，每月可获的最大利润．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值．28．（10分）在平面直角坐标系中，已知A（1，4）、B（4，1）、C（m，0）、D（0，n）．（1）四边形ABCD的周长的最小值为，此时四边形ABCD的形状为；（2）在（1）的情况下，P为AB的中点，E为AD上一动点，连结PE，作PF⊥PE交四边形的边于点F，在点E从D运动到A的过程中：①求tan∠PEF的值；②若EF的中点为Q，在整个运动过程中，请直接写出点Q所经过的路线长．2017年江苏省无锡市中考数学试卷（副卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内）1．（3分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．2D．﹣2【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．【解答】解：|﹣|＝，故选：B．【点评】本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键．2．（3分）下列运算正确的是（）A．x2+x2＝x4B．x6÷x3＝x2C．4x3﹣3x3＝x3D．（x3）2＝x5【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、x2+x2＝2x2，故此选项错误；B、x6÷x3＝x3，故此选项错误；C、4x3﹣3x3＝x3，故此选项正确；D、（x3）2＝x6，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行解答即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．4．（3分）下列命题是真命题的是（）A．三个角相等的平行四边形是矩形B．对角线相等的四边形是矩形C．平行四边形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法以及平行四边形的性质对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、三个角相等的平行四边形是矩形，是真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；C、平行四边形的对角线互相平分，是假命题；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是假命题；故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题熟练掌握菱形，矩形以及平行四边形的判定和性质是解题的关键．5．（3分）如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上．若∠1＝35°，则∠2等于（）A．115°B．125°C．135°D．145°【分析】先根据a∥b求出∠3的度数，再由余角的性质得出∠4的度数，进而得到∠5的度数，根据b∥c即可得出结论．【解答】解：如图所示，∵a∥b，∴∠3＝∠1＝35°，又∵∠3+∠4＝90°，∴∠4＝55°，∴∠5＝180°﹣∠4＝125°，又∵b∥c，∴∠2＝∠5＝125°，故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．6．（3分）在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】画出符合题意的几何图形，证明△OAB是等边三角形即可得到此弦所对圆心角的度数．【解答】解：如图，∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．解答该题时，利用了等边三角形的判定和性质，熟记和圆有关的各种性质是解题的关键．7．（3分）某班测量了10名学生的身高，他们的身高与对应的人数如下表所示身高（cm）163165170172173学生人数（人）12322则这10名学生身高的众数和中位数分别为（）A．165cm，165cm B．170cm，165cmC．165cm，170cm D．170cm，170cm【分析】根据表格可以直接得到这10名学生身高的众数，然后将表格中数据按从小到大的顺序排列即可得到中位数．【解答】解：由表格可知，170cm出现了3次，出现的次数最多，则这10名学生身高的众数是170cm；这10名学生身高按从小到大排列是：163、165、165、170、170、170、172、172、173、173，则这10名学生身高的中位数是＝170（cm）；则这10名学生身高的众数和中位数分别为170cm，170cm；故选：D．【点评】本题考查众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．8．（3分）关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（）A．对称轴为直线x＝1B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小C．与x轴没有交点D．与y轴交于点（0，﹣2）【分析】直接利用二次函数的性质分别分析得出答案．【解答】解：抛物线y＝（x+1）2﹣2，对称轴为直线x＝﹣1，故此选项A错误；当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B正确；∵抛物线y＝（x+1）2﹣2，开口向上，顶点坐标为：（﹣1，﹣2），∴与x轴有2个交点，故选项C错误；当x＝0时，y＝﹣1，故图象与y轴交于点（0，﹣1），故选项D错误．故选：B．【点评】此题主要考查了抛物线于x轴的交点以及二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．9．（3分）一块直角边分别为3和4的三角形木板，绕长度为3的边旋转一周，则斜边扫过的面积是（）A．15B．15πC．20D．20π【分析】先利用勾股定理得到斜边为5，由于三角形木板绕3的边旋转一周所得的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为4，母线长为5，斜边扫过的面积就是圆锥的侧面积，然后利用扇形面积公式计算出圆锥的侧面即可．【解答】解：直角边分别为3和4的三角形木板的斜边为5，三角形木板绕长度为3的边旋转一周所得的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为4，母线长为5，此圆锥的侧面积＝π×4×5＝20π．所以斜边扫过的面积为20π．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面积＝πrl（r为底面圆的半径，l为母线长）．10．（3分）已知，如图，△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，半径为1的⊙O与三角形的边AB、AC都相切，点P为⊙O上一动点，点Q为BC边上一动点，则PQ的最大值与最小值的和为（）A．11B．5+4C．5+5D．12【分析】如图，设⊙O与AC相切于点D，与AB相切于点E，连接OD，OE，过点O，作OP1⊥BC垂足为Q1交⊙O于P1，此时垂线段OQ1最短，P1Q1最小值为OQ1﹣OP1，求出OQ1，如图当Q2与B重合时，BO的延长线与⊙O交于点P2，P2Q2最大值OQ2+OP2．【解答】解：∵△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，设⊙O与AC相切于点D，与AB相切于点E，连接OD，OE，过点O，作OP1⊥BC垂足为Q1交⊙O于P1，连接AO，延长AO与BC相交于点F，过F作FG⊥AB于点G，如图1，此时垂线段OQ1最短，P1Q1最小值为OQ1﹣OP1，则四边形ODCQ2为矩形，AO平分∠BAC，∴CF＝FG，设CF＝FG＝x，则BF＝6﹣x，AC＝AG＝8，BG＝AB﹣AG＝10﹣8＝2，由勾股定理得，（6﹣x）2﹣x2＝22，解得，x＝，∴GF＝，∵OE∥GF，∴△AOE∽△AFG，∴，即，∴AE＝3，∴AF＝AE＝3，∴OQ1＝CD＝8﹣3＝5，∴P1Q1＝OQ1﹣OP1＝5﹣1＝4，如图2，当Q2与B重合时，连接BO延长BO与⊙O交于点P2，此时P2Q2为最大值P2Q2＝OQ2+OP2，∴PQ的最大值与最小值的和为：P1Q1+P2Q2＝4+5+1＝5+5．故选：C．【点评】本题是圆与三角形的综合题，考查了圆的切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定，切割线定理，关键是确定PQ的最小值与最大值的位置．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）11．（2分）16的算术平方根是4．【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．【解答】解：∵42＝16，∴＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．12．（2分）化简：＝2﹣6x．【分析】对于分子分母是多项式的分式，先因式分解，再约分．【解答】解：，故答案为：2﹣6x【点评】本题考查了约分，熟悉因式分解是解题的关键．13．（2分）我市火车站在今年端午节假期累计发送旅客278000人，这个数据用科学记数法可表示为 2.78×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：278000＝2.78×105，故答案为：2.78×105【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．（2分）函数中，自变量x的取值范围是x≥﹣3．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+3≥0，解得x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．15．（2分）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜．【分析】利用一元二次方程的根判别式即可求解【解答】解：∵一元二次方程x2+x+k＝0有两个不相等的实数根∴由根的判别式得，△＝b2﹣4ac＝1﹣4k＞0，解得k＜，故答案为k＜【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式：在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根，方程有两个共轭虚根．（1）和（2）合起来：当△≥0时，方程有实数根．16．（2分）如图，已知AB为⊙O的直径，C为半圆上异于A、B的一个动点，∠ACB的平分线与⊙O交于点E，若圆的半径为2时，则的长度为π．【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠AOE＝2∠ACE＝90°，由弧长公式即可得出结果．【解答】解：连接OE，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的平分线与⊙O交于点E，∴∠ACE＝∠ACB＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∴的长度为＝π；故答案为：π．【点评】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理；熟记弧长公式，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2），点Q 在对角线OB上，且QO＝OC，连结CQ并延长交边AB于点P，则四边形OAPQ的面积为6﹣3．【分析】先证明BP＝BQ＝2﹣2，得到AP长度，最后利用四边形OAPQ面积＝梯形OAPC面积﹣△COQ面积，即可求解．【解答】解：∵四边形OABC是正方形，OC＝2，∴BO＝2．∵QO＝OC＝2，∴BQ＝2﹣2．又OC∥AB，∴BP＝BQ＝2﹣2．∴AP＝2﹣BP＝4﹣2．在△COQ中，∠COQ＝45°，OQ＝2，∴Q点到OC距离为．四边形OAPQ面积＝梯形OAPC面积﹣△COQ面积＝（4﹣2+2）×2﹣××2＝6﹣3．故答案为6﹣3．【点评】本题主要考查了正方形的性质，解题的关键是求解不规则图形面积时，要找到与其相关的规则图形，利用面积间的和差关系进行解决．18．（2分）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝．【分析】如图，由EH∥CF，利用平行线分线段成比例可求出EH＝，则AE＝，再证明△AOE∽△BOC，然后利用相似比可得到的值．【解答】解：如图，∵EH∥CF，∴＝，即＝，∴EH＝，∴AE＝AH﹣EH＝3﹣＝，∵AE∥BC，∴△AOE∽△BOC，∴＝＝＝．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：（1）|﹣2|﹣+（）﹣2；（2）（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）．【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；（2）根据平方差和完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）|﹣2|﹣+（）﹣2＝2﹣2+9＝9；（2）（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4x+4﹣x2+4＝﹣4x+8．【点评】本题考查了平方差和完全平方公式，实数的运算，熟记乘法公式是解题的关键．20．（8分）（1）解不等式：（x﹣1）＞2+3x；（2）解方程组：．【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、系数化为1可得．（2）利用加减消元法求解即可．【解答】解：（1）：（x﹣1）＞2+3x，去分母，得：x﹣＞2+3x，移项、合并，得：﹣x＞，系数化为1，得：x＜﹣1；（2）②﹣①×2得y＝3，把y＝3代入①得x＝2，所以方程组的解为．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键；也考查了解二元一次方程组．21．（8分）如图，已知点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC，BE＝CF．求证：BD是△ABC的角平分线．【分析】先证明四边形EFCD是平行四边形，得ED＝CF，再证明△BED是等腰三角形，得∠EBD＝∠EDB，再由平行线的性质得结果．【解答】证明：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴ED＝CF，∵BE＝CF，∴BE＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∵ED∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴EBD＝∠DBC，∴BD是△ABC的角平分线．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用直线知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．22．（6分）某数学课外学习小组为统计某小区共享单车的使用情况，对A、B、C、D四种共享单车品牌的骑行人数进行了调查，并绘制了如下的两张不完整的统计图．（1）扇形统计图中，B、C品牌单车骑行人数所占圆心角的度数分别为60°和120°；（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该小区习惯使用共享单车的有120人，请你估算使用B型品牌单车的人数约是多少人？【分析】（1）先由A的人数及其所占百分比求出总人数，再求出C的人数，继而用360°乘以对应人数所占比例即可得；（2）根据以上所求数据即可补全条形图；（3）用总人数乘以样本中B的人数所占比例即可得．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为6÷25%＝24（人），∴C单车人数为24﹣（6+4+6）＝8（人），则B品牌单车骑行人数所占圆心角的度数为360°×＝60°，C品牌单车骑行人数所占圆心角的度数为360°×＝120°，故答案为：60°，120°；（2）补全条形图如下：（3）估算使用B型品牌单车的人数约是120×＝20（人）．【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体的思想等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（8分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，他们通过摸球的方式决定首场比赛的两个选手：在一个不透明的口袋中放入两个红球和一个白球，它们除颜色外其他都相同，将它们搅匀，三人从中各摸出一个球，摸到红球的两人即为首场比赛选手．求甲、乙两人成为比赛选手的概率．（请用画树状图或列表等方法写出分析过程并给出结果）【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲、丙两人成为比赛选手的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：由树状图知，共有6种等可能的结果数，其中甲、丙两人成为比赛选手的结果有2种，所以甲、丙两人成为比赛选手的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．24．（8分）如图，已知∠MAN，及线段a，b（a＞b）．（1）仅用没有刻度的直尺和圆规分别在射线AM、AN上确定点B、点C，使得AC＝b，AB+BC＝a（保留作图痕迹，不要作法）；（2）若sin∠MAN＝，a＝61，b＝39，则△ABC的面积为330．【分析】（1）在AN上截取AC＝b，AM上截取AD＝a，连接CD，作CD的垂直平分线交AD于B，则点B、C为所作；（2）作CH⊥AB于H，如图，先利用三角函数的定义计算出CH＝15，则根据勾股定理可得到AH＝36，所以HD＝25，设BH﹣＝x，则BD＝CD＝25﹣x，利用勾股定理得到152+x2＝（25﹣x）2，解方程求出x得到BH的长，然后根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；（2）作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ACH中，sin∠A＝＝＝，∴CH＝15，∴AH＝＝36，∴HD＝61﹣36＝25，设BH﹣＝x，则BD＝CD＝25﹣x，在Rt△BCH中，152+x2＝（25﹣x）2，解得x＝8，∴AB＝AH+BH＝44，∴△ABC的面积＝×44×15＝330．故答案为330．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25．（8分）如图，P是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点P作P A⊥x轴于点A，以AP为斜边在右侧作等腰Rt△APQ，已知直角顶点Q的纵坐标为﹣2，连结OQ交AP于B，BQ＝2OB．（1）求点P的坐标；（2）连结OP，求△OPQ的面积与△OAQ的面积之比．【分析】（1）过Q作QC⊥x轴于C，根据等腰直角三角形的性质得到∠P AQ＝∠CAQ＝45°，求得AC＝QC＝2，AQ＝2，AP＝4，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；（2）由AB∥CQ，得到△OAB∽△OCQ，根据相似三角形的性质得到AB＝CQ＝，求得PB＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）过Q作QC⊥x轴于C，∵△APQ是等腰直角三角形，∴∠P AQ＝∠CAQ＝45°，∴AC＝QC＝2，AQ＝2，AP＝4，∵AB∥CQ，∴，∴OA＝AC＝1，∴点P的坐标（1，﹣4）；（2）∵AB∥CQ，∴△OAB∽△OCQ，∴，∴AB＝CQ＝，∴PB＝，∴S△OAQ＝OA•CQ＝×1×2＝1，S△OPQ＝PB•OA+PB•AC＝5，∴△OPQ的面积与△OAQ的面积之比＝5．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．26．（10分）某品牌牛奶专营店销售一款牛奶，售价是在进价的基础上加价a%出售，每月的销售额可以达到9.6万元，但每月需支出2.45万元的固定费用及进价的2.5%的其他费用．（1）如果该款牛奶每月所获的利润要达到1万元，那么a的值是多少？（利润＝售价﹣进价﹣固定费用﹣其他费用）（2）现这款牛奶的售价为64元/盒，根据市场调查，这款牛奶如果售价每降低1%，销售量将上升8%，求这款牛奶调价销售后，每月可获的最大利润．【分析】（1）根据利润＝销售收入﹣（进货成本+固定费用+其它费用），即可得出关于a 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）列出二次函数的解析式后求最值即可．【解答】解：依题意，得：96000﹣（+24500+×2.5%）＝10000，解得：a＝60，经检验，a＝60是原方程的解，且符合题意．答：a的值是60．（2）牛奶的进价为：＝40元/盒，所进盒数为＝1500盒，设新售价调整为x元/盒，则新的盒数为：（×8+1）×1500盒，由题意得调整后的总利润w＝（x﹣40）（×8+1）×1500﹣24500﹣×2.5%＝﹣187.5（x﹣56）2+2200，∴当x＝56时，w的最大值为22000，答：当新的售价调整为56元/盒时，可获得最大利润为22000元．【点评】本题考查了分式方程的应用及二次函数的应用的知识，找准等量关系，正确列出分式方程和二次函数的解析式是解题的关键．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值．【分析】分三种情况，先求得OQ，进而根据三角形面积公式求得AP，然后根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：当AQ与⊙O相切时，如图1，设AQ切⊙O于点D，连接OQ，交AP于M，连接OD，∵AD切⊙O于点D，∴OD⊥AQ，OD＝3，∵OA＝5，∴AD＝4，∵A（5，0），OA＝AQ＝5，∴QD＝1，∴OQ＝＝，∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．∴OQ⊥AP，OM＝MQ＝，∵OP＝t，OA＝5，∴AP•OM＝OA•OP，即AP•＝•5•t，∴AP＝t，在Rt△AOP中，AP2＝OP2+OA2，解10t2＝t2+25，解得t＝；当AP与⊙O相切时，如图2，设AP切⊙O于点E，连接OQ，∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．∴OQ⊥AP，∴OQ经过点E，∴OE⊥AP，∵AP•OE＝OA•OP，即3AP＝5t，∴AP＝t，在Rt△AOP中，AP2＝OP2+OA2，解（t）2＝t2+25，解得t＝，当PQ与⊙O相切时，如图3，设PQ切⊙O于点E，连接OE，∴OE⊥PQ，∵AQ⊥PQ，∴OE∥AQ，∴△ODE∽△ADQ，∴＝，即＝，∴OD＝，∴AD＝，∴DQ＝＝，∴PD＝DQ﹣PQ＝﹣t，∵OD•OP＝PD•OE，∴t＝（﹣t）×3，解得t＝综上，△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值为或或．【点评】本题考查了切线的性质，轴对称的性质，三角形的面积以及勾股定理的应用等，熟练掌握切线的性质和轴对称的性质是解本题的关键．28．（10分）在平面直角坐标系中，已知A（1，4）、B（4，1）、C（m，0）、D（0，n）．（1）四边形ABCD的周长的最小值为8，此时四边形ABCD的形状为矩形；（2）在（1）的情况下，P为AB的中点，E为AD上一动点，连结PE，作PF⊥PE交四边形的边于点F，在点E从D运动到A的过程中：①求tan∠PEF的值；②若EF的中点为Q，在整个运动过程中，请直接写出点Q所经过的路线长．【分析】（1）若四边形的周长最短，由于AB的值固定，则只要其余三边最短即可，根据对称性作出A关于x轴的对称点A′、B关于y轴的对称点B′，求出A′B′的解析式，利用解析式即可求出C'、D'坐标即为C、D的坐标；由勾股定理得出AD'＝BC'＝，AB ＝C'D'＝3，得出四边形ABC'D'的周长即可；由AB＝C'D'，AD'＝BC'，得出四边形ABC'D'是平行四边形，再证出∠BC'D'＝90°，得出四边形ABC'D'是矩形即可；（2）①作FG⊥AB于G，则FG＝AD＝，证明△PFG∽△EP A，得出＝＝＝，再由三角函数定义即可得出结果；②点Q所经过的路线是一条线段，当点E在D点位置时，EF的中点为Q，当点E在A。