2011女子数学奥林匹克2011年8月1日 上午8:00 ~ 12:00广东 深圳市第三高级中学1．求出所有的正整数n ，使得关于,x y 的方程111x y n+=恰有2011组满足x y ≤的正整数解(,)x y ．解：由题设，20()()xy nx ny x n y n n --=⇒--=．所以，除了x=y=2n 外，x n -取2n 的小于n 的正约数，就可得一组满足条件的正整数解(x , y )．故2n 的小于n 的正约数恰好为2010．设11kk n p p αα= ，其中1,,k p p 是互不相同的素数，1,,k αα 是非负整数．故2n 的小于n 的正约数个数为1(21)(21)12k αα++- ，故1(21)(21)4021k αα++= ．由于4021是素数，所以1k =，1214021α+=，12010α=． 所以，2010n p =，其中p 是素数．2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q．若M F C D N F AB⋅=⋅且DQ BP AQ CP⋅=⋅，求证：PQ BC⊥．证明：连接AF、BF、CF、DF．由题目条件可知△AFB和△CFD都是等腰三角形，FM 和FN分别为这两个等腰三角形底边上的高．由M F C D N F AB⋅=⋅，知△AFB∽△DFC，从而∠AFB=∠CFD，∠FAB=∠FDC．由∠AFB=∠CFD可得∠BFD=∠CFA，又因FB=FA，FD=FC，所以△BFD≌△AFC．由此可得∠FAC=∠FBD，∠FCA=∠FDB．从而A、B、F、E四点共圆，C、D、E、F四点共圆．由上可得∠FEB=∠FAB=∠FDC=∠FEC，即直线EP是∠BEC的角平分线，从而EB/EC=BP/CP．同理，ED/EA=QD/AQ．由于DQ BP AQ CP⋅=⋅，所以EB ED EC EA⋅=⋅．由此可得ABCD为圆内接四边形，且点F为其外接圆的圆心．这时，因为∠EBC=12∠DFC=12∠AFB=∠ECB，所以E P B C⊥．QPMNFEDCBAABCDEFNMPQ3．设正实数,,,a b c d 满足1abcd =，求证：11119254a b c d a b c d++++≥+++．证法一：首先我们证明，当,,,a b c d 中有两个相等时，不等式成立．不妨设a b =，令s a b c d=+++，则有2111192929(2)c d a s a a b c da b c d acdsas+++++=++=+-++++ 32292()a a s as =-++．若2a ≥则232s a b c d a aa=+++≥+≥，因此将s 视为变量，上式最小值在22s a a=+时取到，此时3232292292992()2(2)2a a s a a a a s asaasass-++=-+++=++=+799779254161616424s s s=++≥⨯+=+=．（这里用到了224s a a=+≥）若02a <<3233292222()265(2)5a a s a a a a a a asaaa-++≥-+=++->+254≥=>．因此当,,,a b c d 中有两个相等时，不等式成立．下面假设,,,a b c d 两两不等，不妨设a b c d >>>．由于1ad b c c abcd c⋅⋅⋅==，故由上面的分析得11119254ad ad b c c b c cc c++++≥+++．下面我们只需证明1111911119ad ad a b c d a b c db c c b c cc c++++≥++++++++++． ①而 ①119192c ad ada b c dadcb cc⇔++≥+++++++29()()(2)ac cd c adad a d c ad acdca b c d b c c+--⇔≥⋅+--+++++()()9()()()(2)a c c d a c c d ad acdca b c d b c c----⇔≥⋅+++++19()(2)ad ada b c d b c c⇔≥+++++()(2)9ad a b c d b c adc⇔+++++≥2ad b c c ⇐++≥2ad a b c d b cc+++>++）3ad c c⇐+≥而最后一式可以用均值不等式推出，这样就证明了结论．证法二：采用调整法.不妨设a b c d ≤≤≤，并记11119(,,,)f a b c d a b c d a b c d=+++++++.先往证：(,,,))f a b c d f b d ≥. (*) 事实上，上式等价于119a c a b c d++≥++++ac⇔≥（因为20-≥）()9a b c d b d ac⇐++++≥（因为b d +≥=）(9a c ac ⇐++≥ ①而11abcd a a c c ac =≥⋅⋅⋅⇒≤⇒≥且a c +≥，故①左边169ac a≥+≥=>=①右边.所以(*)成立.(*)说明，(,,,)f a b c d（其中a b c d≤≤≤）的最小值（或极小值）总是在a c=，即a b c==时取得.欲得到该四元函数的下界，我们就可不妨设(,,,)a b c d=()3111,,,t t tt，这里1t≥；这也说明了只需证明对1t∀≥，总有()311125,,,4t t tf t≥， (**)就证明了原不等式成立.代入，可知()311125,,,4t t tf t≥33874326543265432319253412257675120(1)(121427362412)01214273624120ttt tt t t tt t t t t t tt t t t t t⇔++≥+⇔-+-+≥⇔----+++≥⇐---+++≥5432(1)(1211330630)420t t t t t t⇔-+--+++≥②而1t≥，5331263t t t+≥=>，422113030.t t+≥=>故5432(1)(1211330630)420t t t t t t-+--+++>，②成立.至此，(**)成立，原不等式得证.4．有n （3n ≥）名乒乓球选手参加循环赛，每两名选手之间恰比赛一次（比赛无平局）． 赛后发现，可以将这些选手排成一圈，使得对于任意三名选手,,A B C ，若,A B 在圈上相邻，则,A B 中至少有一人战胜了C ．求n 的所有可能值．解：n 的所有可能值为所有大于等于3的奇数．理由如下．当n 是大于等于3的奇数时，设21n k =+，n 名选手编号为1221,,...,k A A A +，构造比赛结果如下：选手i A （121i k ≤≤+）战胜了242,,...,i i i k A A A +++（令21k j j A A ++=，1,2,...,21j k =+），输给了其它选手．现在将这些选手按照1221,,...,k A A A +的顺序顺时针排成一圈，对于任意三名选手,,A B C ，若,A B 在圈上相邻，不妨设t A A =，1t B A +=，t r C A +=（121t k ≤≤+，22r k ≤≤），则r 与1r -中至少有一个为不大于2k 的偶数，故,A B 中至少有一人战胜了C ．因此，当n 是大于等于3的奇数时，可能发生题目所述的情况．另一方面，当n 是大于等于4的偶数时，假设题目所述的情况出现，将这n 名选手按照在圈上的位置顺时针记为12,,...,n A A A ，不妨设1A 战胜了2A ，由题目条件知23,A A 中至少有一人战胜了1A ，故3A 战胜了1A ，再由12,A A 中至少有一人战胜3A 可知2A 战胜了3A . 依此类推可知对任意1i n ≤≤，i A 战胜了1i A +（其中11n A A +=）. 对于每个i A （1i n ≤≤），他输给了1i A -（其中0n A A =），将剩下2n -人两两相邻配对，由条件知i A 至少输掉了22n -场，再加上输给1i A -的一场至少输掉2n 场. 因此n 名选手共输掉至少22n场，但这与22(1)22n n n nC -=<矛盾！因此当n 是大于等于4的偶数时，不可能发生题目所述的情况．综上所述，n 的所有可能值为所有大于或等于3的奇数．5．给定实数α，求最小实数()λλα=，使得对任意复数12,z z 和实数[0,1]x ∈，若112||||z z z α≤-，则1212||||z xz z z λ-≤-．解：如图，在复平面内，点,,A B C 对应的复数分别为122,,z z xz ．显然，点C 在线段OB上．向量BA对应的复数为12z z -．向量C A对应的复数为12z xz -．由112||||z z z α≤-，得O A BAα≤ ．于是，{}{}{}121121212maxmaxmax ,max ,max ,z xz ACOA BA z z z z z z z α-===-=--故()max{,1}λαα=．6．是否存在正整数m ，n 使得2011n m +为完全平方数？请证明你的结论．证明：假设存在正整数m ，n 使得20211n m k +=，其中k ∈ ．则220101011()()nk mk m k m =-=-+．故存在整数,0αβ≥使得101011,11.k m k m αβ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩①②比较①，②，得αβ<．②－①，得10211(111)m αβα-=-．设111m m γ=，其中1,m γ∈ ，11 1m ，则1010111211(111)m γαβα-⋅=-． 因为11 1012m ，11 111βα--，故10γα=，从而1012111m βα-=-． 由费马小定理，1011(m od 11)m ≡，故10122(m od 11)m ≡，但11110(mod 11)βα--≡，矛盾． 故不存在正整数m ，n 使得2011n m +为完全平方数．7．从左到右编号为12,,,n B B B 的n 个盒子共装有n 个小球，每次可以选择一个盒子k B ，进行如下操作：(1) 若1=k 且1B 中至少有1个小球，则可从1B 中移1个小球至2B 中；(2) 若n k =且n B 中至少有1个小球，则可从n B 中移1个小球至1n B -中；(3) 若12-≤≤n k 且k B 中至少有2个小球，则可从k B 中分别移1个小球至1+k B 和1-k B 中．求证：无论初始时这些小球如何放置，总能经过有限次操作使得每个盒子中恰有1个小球．解：对于任意两个向量),,,(21n x x x =x 和),,,(21n y y y =y ，若存在n k ≤≤1使得k k k k y x y x y x >==--,,,1111 ，则记yx ．用一非负整数向量),,,(21n x x x =x 表示各盒子中的小球数目．经过一次对k B 的操作后，各盒子中的小球数目从x 变为k α+x ，其中1(1,1,0,,0)α=- ，2(0,,0,1,2,1,0,,0)k k α-=-个（12-≤≤n k ），(0,,0,1,1)n α=-．当2k ≥时，总有x x k α+．因此，对于任意初始状态，总可以通过一系列对n B B ,,2 的操作（只要2≥k 且k B 中至少有两个小球，就对k B 施行操作），使得操作后的小球数目),,,(21n y y y =y 满足21≥∀≤k y k ，．若12===n y y ，则已经满足题目要求；否则有21≥y ．设i 是满足0=i y 的最小整数，通过一系列对11,,-i B B 的操作，可以使得小球数目变为),,,1,,1,1(11n i y y y +-．具体操作如下：1211221,,,,,,1111111111(,1,,1,0,,,)(,1,,1,0,1,,,)(,1,,1,0,1,1,,,)(,0,1,,1,,,)(1,1,,1,,,)i i B B B B B Bi n i n B i n i n i n y y y y y y y y y y y y y y y --+++++−−−−−→−−−−−→→→−−→- ．重复以上操作，最终可使小球数目满足题目要求．8．如图，⊙O 为△ABC 中BC 边上的旁切圆，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，使得DE ∥BC ．⊙1O 为△ADE 的内切圆，1O B 交DO 于点F ，1O C 交EO 于点G . ⊙O 切BC 于点M ，⊙1O 切DE 于点N ．求证：MN 平分线段FG ．证法一：若A B A C =，则图形关于B A C ∠的平分线成轴对称，结论显然成立．下面不妨设A B A C >，如图二．设线段B C 的中点为L ，连接1O L 交线段F G 于点R ．连接1O N 并延长交直线B C 于点K ，作AT BC ⊥于T ，交直线D E 于点S ．连接A O ．显然1O 在线段A O 上．首先由梅涅劳斯定理，得111O F BD AOFBD A O O ⋅⋅=，111O G C E AOG C EA O O ⋅⋅=．①由于//D E B C ，故BD CE DAEA=，因此11O F O G F BG C=，即//F G B C ，故1FRBL GRCL==，因此R是F G 的中点．下面只需证明,,M R N 三点共线． 由梅涅劳斯定理的逆定理，我们只需证明111O R LM K NRL M K N O ⋅⋅=． ②由于//F R B L ，故111O R O F O O A D R LF BA OD B==⋅（第二个等号用到了①），故我们只需证明111O O AD LM K N AOD B M K N O ⋅⋅⋅=．③由于1,,,//O K DE OM BC AT BC DE BC ⊥⊥⊥，故1,,O K O M AT 三条直线彼此平行，由平行线分线段成比例定理得1O O M K A OM T=，将此式代入③，我们只需证明11AD LM K ND B M T N O ⋅⋅=．④NMGO1 OF EDCB A由于//,,D E B C K N D E S TB C ⊥⊥，故四边形K N S T 为矩形，因此K N S T =．再由//D S B T得A D A S D BST=，代入④中，我们只需证明1N O L M M TA S=． ⑤记,,BC a AC b AB c ===，则2a b cB M +-=（旁切圆性质），2a B L =，222222cos 22a c ba c bBT c ABC c aca+-+-=∠=⋅=，故222()2c bLM BL BM a c b a c b M TBT BMa b ca--===-+--++．另一方面，122AD EAD E S N O D E aAD D E AE S AS AD D E AE a b c D E++===++++ ，故⑤式成立，证毕．图二证法二：设⊙O 、⊙O 1半径分别为1r r 、．显然1,,O O A 共线，11111111122112212//(sin )(sin )BO O D BO O O C EO O A A ABACD E BC BD C ES AB O O O F FD S r BD S AC O O O G G E S r C E ∆∆∆∆⎫⎪⇒=⎪⎪⋅⎪==⎬⋅⎪⎪⋅⎪==⎪⋅⎭O F O G F D G E ⇒=⇒////F G D E B C ． ST K R L AB CDE F OO1 G MN连接ON 并延长交BC 于K ．当A B C A C B ∠=∠时，由对称性，命题成立．下面不妨设A B C A C B∠<∠．如图三，连接11,,,,O M O M O B M D D O .由1//O N O M 知111sin22O N M M O O C B S S r O O D D -==鬃①1111111sin sin 2221sincos222BOO BDO CCBO O O r O O S O G O F B B G ED FS BD D O r BD 鬃鬃====鬃鬃②（1122cossin,B Br BO r DO =⋅=⋅）()1111sin cot cot 2222D M N M EN B C S S N K D NN E BD B r r D D 骣÷ç-=?=鬃-÷ç÷ç桫 ③由②、③知()11111sin 12sin cot cot222cos2sin sincot cot 2222sin2D M N M EN C r O O O G BC S S r BD B B G Er B D B C B C r O O C B r O O ．D D 鬃骣÷ç-=鬃? ÷ç÷ç桫鬃骣÷ç=鬃鬃-÷ç÷ç桫-=鬃结合①知()2D M N M E N M O N O G S S S G ED D -=．因为:2:O G O G D F EG G E O E O D O E 骣÷ç=+÷ç÷ç桫 所以 M N DM ENM O N O F O G D F EG S S S O DO EO D O E D D D 骣÷ç??+ ÷ç÷ç桫M N D M O N M E N M O NO F S D F S O G S E G S O D O ED D D D ?鬃+ =④而 ME NMO NNMGS O GE G S S O ED D D ? =，所以 M N D M O NN M G O F S D F S S O DD D D ? =.同理 MN DMO NNM FO F S D F S S O DD D D ? =．由④知N M G N M F S S D D =，所以MN 平分线段FG ．N MGO1 OF EDCBAK图三。