备 (当 用L 系 1损 统 ,系 坏 L 2统 时 开始 ),如图工
所示.
XY
L1
L2
L1 X L2 Y
L1 X Y L2
设L1、 L2的寿命分 X、 Y别 ,已为 知它们的概率密度
分别为
30
fX(x) αex,x0, 0, x0,
fY(y) βeβy,y0, 0, y0,
其 α 0 ,中 β 0 且 α β .试分别就以上三种连接 方式写 L的出 寿Z命 的概率. 密度 解 (i)串联的情况
又若X和Y相互独立 设 (， X,Y)关X 于 ,Y的边缘
4
密度分 fX(x别 ),fY(为 y),则(5.1),(5.2)分别化为
fX Y (z ) fX (z y )fY (y )d y , (5.3)
和 fX Y (z ) fX (x )fY (z x )d x . (5.4)
这两个公 fX和 式 fY的 称 卷 为 积 , 记 公 fX 为 式 fY,
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合 仍然服从正态分布.
10
例2 在一简单电路中,两电R1阻 和R2串联连接
设R1,R2 相互独 ,它立 们的概率密度均为
f (x) 1500x, 0x1,0
0,
其他 .
求电 R阻 R1R2的概率 . 密度 解 由(5.4)式, R的概率密度为
fR (z) f(x )f(zx )d x .
7
例1 设X和Y是两个相互独立变的量 .随 他们机都服 从(0,1)分布 ,其概率密度为
fX(x)
1
x2
e 2,
2π
x,
fY(y)
1
y2
e 2,
2π
y,
求ZXY的概率. 密度
解 由(5.4)式 fZ (z) fX (x )fY (z x )d x ,
8
1
x2
(zx)2
e 2 e 2 dx
即
fXfY fX(zy)fY(y)dy
fX(x)fY(zx)dx.
5
证 先来 ZX 求 Y 的分F 布 Z(z),即函 有 数
FZ (z) P{Zz}
y
f(x,y)dxdy,
xyz
xyz
这里积分区G域: xyz是
O
x
直线 xyz及其左下方的
半平面.
将二重积分化成累次积分, 得
zy
FZ
§3.5 两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
1
一、问题的引入
有一大群人, 令X和Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压, 并且已Z知与 X,Y的函数 Zg 关 (X,Y系 )如 , 何通 X,Y过 的分 布确定 Z的分.布
k1,2,.
3
三、连续型随机变量函数的分布
(一) Z X Y 的分布
设(X,Y)是二维连续型随机变，量 它具有概率 密度 f(x,y).则Z XY仍为连续型随机其变量
概率密度为
fX Y (z) f(zy,y)dy,
(5.1)
或
fX Y (z) f(x ,z x )d x .
(5.2)
A (z ) 1 e zd (z ) 0
A(),
即有 A(1).
于是
fZ(z) 1 ()z1ez,
z0, (5.6)
0 ,
其 . 他
即 X Y ~ ( ,).
18
上述结论还 n个 能相 推互 广独 到 分立 布的 变量之和的情况.即X 若 1,X2,,Xn相互,且独
n
X i服从 α i,β (参 i 1 ,2 , 数 ,n )的 分 为 ,则 布 X i
z 0 .
32
ZminX,{Y}的概率密度为
fmin(z) (αβ )e (α β)z,z0 ,
0 ,
z 0 .
(ii)并联的情况
由于当L1且 ,L2都 仅损 当,系坏 统L时 才停止 工作, 所以这L的 时寿命Z为 ma X ,Y x}{.
Fmax(z) F X(z)F Y(z) (1 e α)z 1 ( e β)zz, 0 ,
z 10
0,
其.他
将f (x)的表达式代入上式得
fR(z) 11 1 5((6 2 0 z 0 0 0 z )6 3 0 ,0 z2 0 z3),0 1 z 0 z 1 2 ,,0 0
15000
0,
其. 他
13
例3 设随机X变 ,Y相 量互独 , 且分立 别服从参数
为 α,;,的 分(分 布布分别 X~记 (α成 ,),
fZ (z) fX (x )fY (z x )d x
易知仅当
15
x0, zx0,
亦即
x0, xz,
时上述积分的被积函数不等于零, 于是(参见下图)
知 z 0 时 当 fZ (z ) 0 ,
x
而当 z0时有
fZ(z)
O
z
0 z 1 (α )x α 1 e x 1 ()(z x ) 1 e (z x )d x
2π
1
z2
e4
ex2z2dx,
2π
令t
x
z, 2
得
fZ(z)
1
z2
e4
e -t2
dt
1
z2
e4
1
z2
e 4.
2π
2
2π
即 Z服N 从 (0,2)分.布
9
说明 一般,设 X,Y 相互X 独 ~N (立 μ1,σ1 2)且 Y, ~
N(μ2,σ22).由 (5.4)式经过 Z计 XY 算 仍知 然 从正态分布, 且 Z ~ N 有 ( μ 1 μ 2 ,σ 1 2 σ 2 2 ).
(z)
f(x,y)dxdy.
6
固z定 和 y对积zy分 f(x,y)dx作变量 令变换
xu y,得
z y
z
f(x ,y )d x f(u y ,y )d u
于是
z
FZ
(z)
f(u y,y)d udy
z
f(uy,y)dydu .
由概率密度的定义即(得 5.1)式. 类似可证(5.得 2)式.
的分布函数. 由 M m 于 X ,Y a } 不 xz 等 {大 X 和 价 Y 都 于 于
大于z, 故有 P{Mz}P {X z,Y z}
又由X 于,Y相互独, 得 立M 到 mX a,Y x }的 { 分布函数为
26
Fmax(z) P{Mz}P {X z,Y z} P {X z } P { Y z }.
i1 n
服从参 α数 i,β的 为 分.布 这一性质称 分为布
i1
的可加性.
19
(二) Z Y 的分布、Z XY 的分布 X
设(X,Y)是二维连续型随机变，它量具有概率 密度 f(x,y).则ZY,ZXY仍为连续型随
X 量, 其概率密度分别为
fYX (z) xf(x ,x)d zx , fXY (z) 1 xf(x,x z)dx.
Z X Y
当 z0时ZXY的概率密度为
34
f (z)fX(zy)fY(y)dy zαeα(zy)βeβydy
0
αeβαzze(βα)ydy 0
αβ [eαzeβz]. βα
由于L当 1,L2中有一个损 ,系坏统时 L就停止
工作, 所以这L的 时寿命为
31
ZmX i,n Y }{.
X,Y的分布函数分布为
FX(x) 1ex,x0, 0, x0,
FY(y) 1βeβ,yy0, 0 , y0 ,
Zmin X,{Y}的分布函数为
Fmin (z) 1e(αβ)z,z0,
0 ,
z x2ex15zdx
1250
z (3)
125[(1z)
5]3
2 (1
z z
)
3
.
25
(三) M max{ X ,Y }及 N min{ X ,Y }的分布
设X,Y 是两个相互独立的变随量,机 它们的
分布函数 FX分 (x)和 别 FY(为 y).现求 M m X ,Y a } 及 N x m {X ,Y i}n{
即有 F m (z a ) x F X (z ) F Y (z ). 类似地, 可N 得 miX n,Y{}的分布函数 Fmin(z) P{Nz}1P {Nz} 1 P { X z ,Y z } 1 P { X z } P { Y z }.
即 F m ( z ) i 1 n [ 1 F X ( z ) 1 ] F Y ( z [ )].
28
当X1,X2,,Xn相互独立且具分 有布 相 函数 F(x)时有
F m(a z)x[F (z)n ], F m (z ) i n 1 [ 1 F (z )n .]
29
例5 设系L统 由两个相互独 统立 L1,L的 2连子系
接而成, 连接的方式分别为 (i)串联,(ii)并联 ,(iii)
为了解决类似的问题下面 我们讨论随机变量函数的分布.
2
二、离散型随机变量函数的分布
若二维离散型随的 机联 变合 量分布律为
P { X x i,Y y j} p i,j i,j1,2, 则随机Z 变 g(X 量 ,Y)的 函分 数布律
P{Zzk} P {g (X ,Y ) zk }
pij
zk g( xi y j )
27
推广 设X1,X2,,Xn是n个相互独立的 , 随 它们的分布F 函 Xi(x数 i)(i 分 1,2,别 ,n)为 ,则 M m X 1 , X 2 , , a X n } 及 N x m X { 1 , X 2 , , i X n } 的 n 分布函数分别为