在坐标系中构造平行四边形
知识复习：
（一）平行四边形的定义
（二）平行四边形的性质
（三）平行四边形的判定
.在坐标系中构造平行四边形
（一）.三个定点，一个动点
2.已知 A （2 , -1 ）、B （1,1 ）, C （ 3,3 ）,
在坐标平面内确定一个点P,使得以A、B、
C、P为顶点的四边形是平行四边形
（二）.两个定点，两个动点（对动点的位置有要求）
1.已知A、B,在坐标平面内确定一个点P,使得以0、A、B、P为顶点的四边形是平行四
边形
(1 ) A (2,0 ), B ( 0,1 ) (2) A (2,0 ), B (1,1 )
y J
B
x
A *
■
B
x
----- + ------
A
x 3上，1.两个动点均在直线上
(1 )已知：点 B (2,0 )和直线y x 3，点C在y轴上，点P在直线y
若以0、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P的坐标。
(2) 已知：点 A( 2,0 )、B( 0,1 )和直线y 在坐
标轴上，点P在直线y x 3上，若以顶点的四边形是
平行四边形，求出符合条件的点
2. 一个动点在直线上，另一个动点在抛物线上
(1)已知：抛物线y x2 3x 2与x轴交于A、B两
点(A点在B点的左侧)，点C在抛
物线的对称轴上，点 P在抛物线上，若以
符合条件的点P的坐标。
A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求出
点P在抛物线上，若以
(3)已知：抛物线y
2
(2)已知：抛物线y x 4x
在B点的
左侧)，与
y轴交于点
D、B、C、P为顶点的四边形是平行
四边形，求出符合条件的点
2
x 4x 5与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于
点D，点C在y轴上，点P在抛物线上，若以B、D、C、P为顶点的四边形是平行四边形,
占
八、
、
求出符合条件的点 P的坐标。
(4)已知：抛物线y x 4x 5与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交
于点D，点C在x轴上，点P在抛物线上，若以 B、D、C、P为顶点的四边形是平行四边形，
求出符合条件的点 P的坐标。
三•课后练习：
1. 已知抛物线y 1x2 1 (如图所示)•
4
(1 )填空：抛物线的顶点坐标是( ，)，对称轴是；
(2)已知y轴上一点 A (0 , 2),点P在抛物线上，过点 P作PB丄x轴，垂足为B.若A PAB 是等边三角形，求点 P的坐标；
(3)在(2)的条件下，点 M在直线AP上.在平面内是否存在点 N，使四边形 OAMN 为
菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.
2. 如图，在矩形 OABC中，AO=10 , AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点
B落在OA边上的点E处.分别以OC, OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系,
抛物线y=ax 2+bx+c 经过O，D，C三点.
(1 )求AD的长及抛物线的解析式；
(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点 C运动，同时动点Q从点C 出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点 O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ ADE相似？
(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点 M与点N，使以M , N ,
C, E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由.
A k :
B
1
3•如图甲，在平面直角坐标系中, A、B的坐标分别为(4,0 )、( 0,3)，抛物线y3x2bx c
4
经过点B，且对称轴是直线x
(1 )求抛物线对应的函数解析式;
(2)将图甲中厶ABO沿x轴向左平移到△ DCE (如图乙)，当四边形ABCD是菱形时，请说明
点C和点D都在该抛物线上;
(3 )在(2 )中，若点 M是抛物线上的一个动点(点 M不与点C、D重合)，经过点M作
MN //y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t, MN的长度为I，求I与t之间的函数解析
4 .已知，在 Rt △OAB中，/OAB = 90。
，启OA = 30 °,AB = 2 .若以O为坐标原点， OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 B在第一象限内.将 Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点 C处.
(1 )点C的坐标为 _______________
(2 )若抛物线y = ax 2+ bx经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
(3)若抛物线的对称轴与 OB交于点D，点P为直线OB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M •问：是否存在这样的点 P,使得以C、D、M、P为顶点的四边形为平行四边
形？若存在，求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
2
5. (2012陕西中考) 如果一条抛物线y二ax +bx+c a 0与x轴有两个交点，那么以该抛
物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)“抛物线三角形” 一定是___________ 三角形；
(2 )若抛物线y=-x2+bx b>0的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
(3)如图，△ OAB是抛物线y=-x2+bx b'>0的“抛物线三角形”，是否存在以原点0为对称中心的矩形ABCD ?若存在，求出过0、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.
6. (2010陕西中考) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 A (-1,0 ), B (3,0 ) C ( 0, -1 )
三点。
(1 )求该抛物线的表达式；
(2 )点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使 Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求
所有满足条件点P的坐标。
7.(河南2010 )在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A( 4,0) , B(0, 4) , C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m ‘^AMB的面积为S.求S 关于m的函数关系式，并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y x上的动点，判断有几个位置能够使得点
P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.
8.(2011年凉山州)如图，抛物线与x轴交于A (为,0)、B ( X , 0 )两点，且X i X，与y轴交于点C 0, 4，其中％, x2是方程x2 4x 12 0的两个根。
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN // BC，交AC于点N，连接CM，当
△ CMN的面积最大时，求点M的坐标；
(3 )点D 4,k在(1)中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在X轴上是否存在点F，使以
A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，
若不存在，请说明理由。