海南大学2008-2009学年度第2学期试卷科目：《高等数学A （下）试题（B 卷）姓名： ______________________ 学 号： _______________________ 学院： ______________________ 专业班级： ____________________考试说明：本课程为 闭卷考试，可携带 计算器一、填空题：（每题3分，共15分）在以下各小题中画有 1、 _______________________________________ 设向量 - 1,2, -1，- - 1,1,2，则向量积 f∙ - = _________________________________________________________ ； 2、 J $（3x - y ∙ 1）dx ∙ （8y ∙ 3x -1）dy = _ ，其中 L 为圆盘 χ2 y^ < R 2 的正向边界曲线；L1 1 ------------- 23、 改变积分的次序 I L dy 广二T f （x, y ）dx = ___________ ；LOPT2 2 2'4、 设曲面 二是下半球面^--I r - X - y 的下侧，则积分2 2 2U （X +y +z dxdy= ________________ ；ΣOO5、 若级数Σ n k '发散，则有k _____________ ；n吐二、选择题（每题3分，共15分选择正确答案的编号,( )1、设 a = 2,1,2 ,b = 4, T,10 ,c = b -%a,且a 垂直于C )则■=成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写）阅卷教师:200 9 年 月 日_______ 填上答案填在各题前的括号内）(A) 3 ；(B) -3 ；(C) 2 ; (D) -2n z0(A) (C)()2、函数 f (x, y)「X2 2y 在(0,0)处为(A) f (x, y)不连续.GfGf 十卄(B), 存在.X y(C) f (x, y)可微.(D) f (x, y)沿着任一方向的方向导数存在()3、交换积分次序1公2JIdX XIf(x,y)dy =⅛1 -X 2J r Z X T(A) x1dy v f (x ,y)dx(Br J dy x1f(x, y)dx1 y J1y J(C)O dyf(X,y)dxF J(D)O dyf (x, y)dxn X n的收敛半径是() 4、 幕级数 )二 1(B) (D)(A) 5、两直线 L i :y-1L2:r之间的夹角为；；(B )(C)(D)arccos\ 2二、计算题(每小题6分，共48分)t''"1、设 f (x, y) edt ,求 f χ 1,2 , f y 1,2 及f χy1,2 和 df (x, y)。

2、设函数Z= z(x, y)由方程F(x ∙^Z,y 必)=0确定，求-Z ,—Z . y XCX Oyy3、计算三重积分IIiZdV,其中门为曲面z=χ2∙ y2与平面z =4围成的空间闭区域Ω4、求过点（2，0，-3）且与直线;X —2 y 4 z -7 =0,' 3x 5 y -2 z 1 =0,平行的直线方程。

2 2 25,设 a是由曲面Z=我a -x- y ,z=0围成的立体的外侧曲面，利用高斯公式计算曲面积分-1. 2 2 3 2I 八XZ dydz 亠I X y -z dzdx 亠ι2xy y Z dxdy。

ΣQOn6、讨论级数a 3 Ina , (a>0)的敛散性。

n吕7、计算对弧长的曲线积分X= a cost y(χ2y2z2)ds,其中丨是螺旋线y =asintz = kt上相应于t从0到2二的一段弧18、将函数f χ2展成X 1的幕级数，并求收敛区间。

X四、证明题（6分，）nJ- TIT Sin证明：级2 数-一n是绝对收敛的。

n毘二1、建造容积为4立方米的开顶长方体水池，长、宽、高各为多少时，才能使表面积最小?2、求底圆半经相等的两个直交圆拄面 x y 2 =r 2及x 2 z 2 = r 2所围立体的表面积。

五、应用题：（每小题8分，共16分）(4分)82兀2 4 IiiZdV= d^ rdr 2ZdZ"0T 221464 =2s r 216一r dr2009年《高等数学A 》（下）试题（B 卷答案）一、填空题（每小题3分，共15分）21⅛1-X 241,（5,-3,-1） ; 2,4 二 R ; 3 ,二dx 。

f （x, y ）dy; 4, →r ；5, K_1二, 选择题（每小题3分，共15分）1, （A ）； 2, （D ）; 3, （C ）; 4, （B ）; 5, （A ）.三、 计算题（每小题6分，共48分）'x 2 _|y 2 'χ2 _^y 2y "χ24∙y 21,解：f x x,y =2xe , f y x, y = 2ye -e , f xy x,y =4xye（2分）由此,3, 解: 'C t'C t9 " C t因此，f x 1,2 =2e,f y 1,2 =4e -e , f x y 1,2 =8edf X, y = 2xe x y dx 2ye x y -e y dy解:令（x, y, z ） =F （X -, y -）,^ ^ - ,^ y -y X y X 记 F 1'^F ,F 2'-FCU QVCP X =F 1' + F 2'二=FJ z Iyx 2'1 1 F 2', " FJ —F 2'— y X.1-Z Xr 坊汴2' -XZF 1'1F 2Jj yy Xφ11 ZF 1'- F 2'- yX（4分）（6分）（6分）利用拄面坐标，得（2分）（4分）4•解：因为，S =Q 51 -23 5=-16,14,11，所以，所求直线方程为(4分)101<1，即- <a<e 时，原级数收敛e当ln a 王1，即卩a Ze 或o<a ≤1时，原级数发散e7, 解:=O (a 2 k 2t 2), a 2 k 2dt3] 2∏J吟 E(3a 2dX -2 y Z 3 -161411(6分)5,解: 由高斯公式，得I= J"(x 2 +y 2 +z 2 PXdydZ 其中。

为上半球体: (3 分)6, 解: Ω 2 2 . a 2 2=O d 二 Sin ^O rr dr2~ a√: (6分)因为该级数是公比q = In a 的等比级数，所以 8,解： X I -J X 1 n=0(2 分)Un(1、 / Qo 、 -- =∣∑ (1+x )I X 丿 l n ⊂0OOJ -nJ=Xn x 1 n d 1 2X收敛区间为（-2，0）证明题（6分）n 4兀-1 Si n —n4分)(6分)当In a 3分)2 2 2..(X y Z )ds[(acost)2 (asint)2 (kt)2] . (_asint)2 (acost)2 k 2dt(3分)(6分)即E IU n收敛，所以E Un绝对收敛 ............. （6分）n z1 n £五、应用题（每小题8分，共16分。

41,设长宽分别为X l y,则高为一，因此表面积S为:Xy4 4 8 8 S（X） y） = xy 2x 2y XyXy Xy X y （4分）亠4令:S X8 0，X 2 0X y （6分）X = y = 2,即（2，2）是唯一的驻点，由题知为极小点，此时高为1，因此，当长宽高分别为2，2，1米时，表面积最小。

（8分）2,由对称性知，所求面积S为第一卦限表面积S1* S2=2s1的8倍，即rs=16s1=16 dA=16 dxdy ---------------- （5分）D DJr2-X2（8分）11。