2.1 大气折射率在光学频率范围内，对流层（高度<17km）中的地球大气的空气折射率表示如下：n=1+77.6（1+7.52×10-3λ-2）（p/T）×10-6 （2.1）式中，p是以mbar为单位的大气气压，T是热力学温度，λ是以μm为单位的光波波长，由于地面上温度对n1（r）的贡献＜1%，故（2.1）式中忽略了与水汽压相关的项，当然这一项对水上传播光路是不可忽略的。

2. 2 大气湍流描述自然界中的流体运动存在着二种不同的形式：一种是层流，看上去平顺、清晰，没有掺混现象；另一种是湍流，看上去毫无规则，显得杂乱无章。

例如，如果流体以一定的速度流过一个管子，我们可以用带颜色的染料对它进行观察，在流体速度低的时候，流线光滑面清晰，流体处于层流状态；不断增加流体速度，当流速达到一定值时，流线就不再是光滑的了，整个流体开始作不规则的随机运动，流体处于湍流状态。

自从1883 年Reynolds 做了著名的湍流实验以来，以Monin-Obukhov 提出的相似理论、Deardorff 提出的大涡模拟、美国Kansas 州观测实验等为代表，大气湍流的研究已经取得了很大的进展和丰硕的成果，并在天气、气候研究和工程实际中获得成功地应用。

湍流对大气中声、光和其它电磁波的传播具有极为重要的影响，例如湍流风速、温度和湿度的脉动都会引起声音散射和减弱，大气小尺度光折射率的起伏(称为光学湍流)，会严重影响光的传播和光学成像的质量等等。

长期以来，以Tatarskii 的工作为代表，声光电传播的湍流效应大都是按照Kolmogorov 的均匀、平稳和各向同性假设处理的，而实际的湍流经常不满足这些假设，要建立更加完善的波动传播模型就必须考虑湍流的各向异性、以及间歇性的影响。

2. 3 折射率湍流模型在湍流大气中，折射率在不同地点、不同时刻都是变化的。

一方面，我们还不可能对这些变化作出预测；另一方面，即使已知这些变化，要对所有时刻、所有地点的值作出描述实际上也是不可能的。

因此，有必要用统计方法来描述这种介质。

考虑到湍流大气的折射率是随空间、时间和波长而变化的，因此可用空间、时间和波长的随机函数来描述湍流大气折射率n(r,t,λ ) = n0(r,t,λ ) + n1(r,t,λ ) (2. 3.1)在(2.3.1)式中，n0是n的确定性部分，对湍流大气而言，可近似地取n≈1 ,n1（r,t,λ）表示n(r,t,λ )围绕平均值E[n] = n≈1的随机涨落。

大气湍流可以用Kolmogorov 理论描述。

大气中大的漩涡的能量被重新分配，随着能量损失，大的湍流的尺寸减小, 直到消散。

n1的结构函数定义为D nn (r1,r2)=E[｜n1(r1)-n2(r2) |2] (2. 3.2)按照 Kolmogorov 理论，n1的结构函数就是著名的三分之二定律Dnn(r)=C n2r23⁄ (2.3.3)这里C n2依赖湍流能量耗散率，称为折射率结构常数。

应该指出，折射率结构常数C n2的值与局部的大气条件和离地面的高度有关。

根据大量闪烁实验数据，Hufnagel 提出，在夜晚可视与红外波段平均海拔３km 以上的折射率结构常数满足下列关系:C n2(h)=2.72×10-16[3E[v2](h10)10exp(-h)+exp(-h/1.5)](m-2/3)(2.3.4)这里E[v2]是单位为(m/s)2的速度平方平均值，离开地面高度h的单位为km，h 的范围5-20km 。

近期实验证实了这个模型的近似合理性，并指出在几百米以下的近地面范围内，在白天C n2(h) ≈C n2 (1)h-4/3 ，在夜晚C n2(h) ≈C n2 (1)h-2/3n ，另外Hall 发现在草地覆盖面上空，C n2(h) ≈C n2 (1)h-4/3 ,Davidson 发现海面上空C n2(h) ≈C n2 (1)h-2/3，1m ≤ h ≤10m。

一般而言，在近地面处C n2的典型值从10-12m-2/3（对于强湍流）到10-18m-2/3（对于弱湍流）的范围内。

2. 4 折射率起伏功率谱密度折射率的随机起伏n1（r）主要是由温度空间分布中的随机微观结构引起的，这种微观结构的起源在于地球表面不同区域被太阳不同加热而引起的极大尺度的温度非均匀性。

这种大尺度的温度非均匀性进而又引起大尺度的折射率非均匀性，他们最后被流风和对流冲碎，使得非均匀性的尺度变的越来越小。

通常把大气折射率的非均匀性称为湍流“漩涡”，可以把他们想象成一些空气包，每一个空气包都有一个特征的折射率，均匀湍流的功率谱密度Φn（k）可以看成是尺度为Lx =2π/kx，Ly=2π/ky和Lz=2π/kz的漩涡的相对丰度的一种量度，在各向同性湍流的情况下，Φn（k）仅是波数k的函数，k通过L=2π/k与漩涡大小L联系。

在Kolmogorov关于湍流理论的经典工作的基础上，普遍认为功率谱密度Φn（k）包括三个不同的区，对于很小的k＜2π/L（很大规模的尺寸）的区域叫输入区，在这个区域内谱的形状取决于特定的湍流是如何发生的，而且它通常是各向异性的，在这个区域内理论不能预言Φn（k）的数学形式。

当k大于某一临界波数k0时，Φn（k）的形状由制约着大气湍流漩涡破碎为小漩涡的物理定律来决定。

当k 大于k 0时，k 0≈2π/L 0，就进入了谱的惯性子区间，这里的Φn 的形式可以由已确立的制约湍流的无聊定律描述，Kolmogorov 湍流理论，Φn 为：Φn （k ）=0.033C n 2k -11/3 (2.4.1)当k 达到了另一个临界值k m ，Φn 的形式再次改变，这个区域叫做耗散区，在这个区域里能量的耗散超过了动能，因此能量很小，所以，当k ＞k m 时，Φn （k ）很快下降，这里k m ≈2π/l 0，Tatarskii 用如下模型来概括k ＞k m 时Φn 的快速下降：Φn （k ）=0.033C n 2k -11/3exp （-k 2/k m 2） （2.4.2） 倘若选取k m =5.92/l 0，并且k ＞k 0，上式是一个合理的近似。

由（2.4.1）和（2.4.2）所表示的谱在原点均偶不可积的极点，为了克服这种模型的缺点，常采用一种称为Von K árm án 谱的形式。

这时谱近似地表示为：Φn （k ）≈0.033C n2（k 2+k 02）116⁄exp （-k 2/k m 2） （2.4.3）虽然式（2.4.2）和（2.4.3）是在理论上普遍被采纳的折射率功率谱，但是这两个谱都没有包含显著影响光传输的高波数区突变因素，Hill 提出了一个精确的数值模型，但是带有不易用于分析研究的本质缺点，Andrews 提出了一个Hill 模的近似值：Φn (k)=0.033C n 2exp(−k 2/k l 2)(k 2+k 02)116⁄×[1+a 1(k k 1)−a 2(k k l )76⁄] （2.4.4）其中,a 1=1.802,a 2=0254和k l =3.3/l 0，注意，在a 1=a 2=0和作k l =k m 代换后，Andrews 简化为Von K árm án 谱；当k 0=l 0=0时，上式退化为式（2.4.1）的Kolmogorov 谱。

2.5 湍流大气中光传输的理论模型在描述了大气中折射率不均匀性的统计性质的特征之后 ，下面考虑这些不均匀性对电磁波传播的影响，现在考虑与时间的依赖关系为exp （-j ωt ）的单色电磁波在地球大气中的传播，前面我们已经把大气折射率表示为：n （r ）= n 0（r ）+ n 1（r ） （2.5.1）式中没有表明对时间的依赖关系，我们假设确定性的依赖关系n 0（r ）在传实验的整个区域基本上是常数，因此，折射率可以表示为：n （r ）= n 0 + n 1（r ） （2.5.2）假设大气的磁导率假设大气的磁导率μ为常数，介电常量ε是空间变化的，这时麦克斯韦方程取以下：{ ∇·H =0∇·E =jω0μH ∇·H =−jω0εE ∇·（εE ）=0（2.5.3） 式中，E 是电场，H 是磁场，ω0是圆频率，而▽矢量的分量为（∂∂x ，∂∂y ，∂∂z ⁄⁄⁄）。

将上式化简变形之后得到：∇2·E + ω02μεE + ∇（E ·∇ln ε）=0 （2.5.4） 由于波传播的局域速度即某点上的速度是（με−12⁄），它也等于c/n ，（c 是自由空间中的光速，）而n （r ） 是同一点上的局部折射率，因此：με=n 2c 2⁄ （2.5.5） 由于μ和c 是常数，因此：∇ln ε = 2∇ln n （2.5.6） 将这两个方程代入式（2.5.4）中有：∇2E + ω02n 2C 2 E + 2∇[ E ·∇ln n = 0 （2.5.7）上式中的最后一项引入E 的三个分量之间的耦合，因此对应于一个消偏振项，在光谱的可见区内这一项可以近似为零，从物理上看，消偏振效应可以忽略是因为湍流的内尺度l 0大大超过了波长λ，因此波动方程为：∇2E + ω02n 2C 2 E = 0 （2.5.8）这个方程和常规的波动方程不同之处仅在于第二项系数中的n 2（r ）的位置是r 的函数，也正是由于这一点，要精确求解这个大气光传输的基本方程是很困难的，为此根据已有的大气湍流条件诸如：几何光学近似、Rytov 方法、Markov 近似、Feynman 图方法、局域小干扰动方法、启发式模型、广义惠更斯-菲涅耳原理等等多种理论模型的建立。

2.5.1 Rytov 方法最早试图研究电磁波在随机戒指中的传播规律的方法是几何光学近似，然而已经证明 所获规律应用范围很有限，其主要原因是由于几何光学近似所获得的结果仅在k 0l 02量级的传输路径才成立，这里k 0是信号波数，在50年代后期，Tatarskii 基于Rytov 近似发展了一种目前人们称之为Rytov 方法的新技术，该方法比几何光学近似法有更大的适合范围。

因为电场的所有三个分量都服从同样的波动方程，所以可以用标量方程代替矢量方程：∇2μ̃ + k02n2（r）μ̃ = 0 （2.5.9）式中，μ̃表示任何一个场分量Ex 、Ey或Ez，k=ω0/C是常数。

在（2.5.9）式中做Rytov变换得：φ=lnμ̃（2.5.10）则（2.5.9）变换为Riccati方程：∇2φ(r) + [∇φ(r)]2 +k02n2(r) = 0 （2.5.11）对于地球大气n(r)≈1+n1(r),故（2.5.11）式为：∇2φ(r) + [∇φ(r)]2 +k02[1+n1(r)]2 = 0 （2.5.12）再令φ=φ0+φ1+φ2+⋯，φ0满足方程：∇2φ0 + [∇φ0]2 +k02 = 0 （2.5.13）在湍流大气中，|n1(r)|≪1，假设|∇φ1|≪|∇φ0|，由于|∇φ0|量级为k0=2π/λ，上面|∇φ1|≪|∇φ0|条件下可以写为如下形式：λ|∇φ1|≪2π（2.5.14）它表示在量级为一个波长的距离上φ1的变化是一个小量，回到变换式φ=lnμ̃，我们可以写成：μ̃=exp（φ0+φ1）μ0̌=exp（φ0）（2.5.15）事实上，这里将μ̃表示为自由空间解的相乘微扰形式，而不是相加微扰形式，此类展开符合湍流噪声是非加性噪声的特点，Rytov方法的优越性在实验上被下述事实证实，在大气闪烁弱起伏区中，发现真服起伏服从于对数正态分布，我们将会看到φ的解意味着振幅起伏服从于对数正态分布，而μ̃的解由中心极限定理服从高斯分布。