例1 计算
例2 计算
R(t)
f (t) 1
0
t 1
h(t) 1
0
2t
二、卷积的性质
已知 f (t) f1(t) f2 (t) 则 f1(t t1) f2 (t t2 ) f (t t1 t2 )
f1(at) f2(at)
1 a
f (at)
位移特性证明：
f1(t t1) f2 (t t2 ) f1( t1) f2 (t t2 )d
0
3
例1
卷积积分的计算和性质
一、卷积积分的计算
f (t)
f1(t)
f2(t)
f1
(
)
f2
(t
)d
1）将 f1(t)和f2(t)中的自变量由 t 和 ，成为函数的
自变量； 2）把其中一个信号翻转、平移；
f2 ( ) 翻转 f2 ( ) 平移 t f2 (( t)) f2 (t
3）将 f1(t)与 f2(t 相乘；对乘积后的图形积分。
已知 f (t) f1(t) f2 (t)
则 f1(t t1) f2 (t t2 ) f1(t t2 ) f2 (t t1) f (t t1 t2 )
证明：
f1(t t1) f2(t t2) f1(t) (t t1) f2(t) (t t2) f1(t) (t t2) f2(t) (t t1)
代入方程
a (t) b (t) c (t) du(t) 7a (t) b (t) cu(t)
10[a (t) bu(t)] (t) 6 (t) 4 (t)
得a 1 b 7a 6 c 7b 10a 4
a 1 b 1 c 1
代入h(t)
A12A1A2
1 5A2
d
2r dt
(t
2
)
4
dr(t dt
)
4r
(t
)
2
de(t dt
)
3e(t
),
t0
系统的初始状态为 r(0) 2,r(0) 1 ，求系统的零
输入响应 rzi (t) 。 解：系统的特征方程为 4 4
( 2
系统的特征根为
2 （两相等实根）
rzi (t) ( A1 A2t)e2t
5 6 ( 3
系统的特征根为
2, 3
rzi (t) A1e2t A2e3t
r(0) rzi (0) A1 A2 1
解得 A1 6, A2 5
r(0) rzi (0) 2A1 3A2 3
rzi (t) 6e2t 5e3t , t 0
例2 已知某线性时不变连续系统的动态方程式为：
试求系统的单位冲激响应。
解：当 e(t) (t)时，r(t) h(t), 即 dh(t) 3h(t) 2 (t)
dt
动态方程式的根 ,且n m，故h(t)的形式为
h(t) Ae3tu(t)
d [ Ae3tu(t)] 3Ae3tu(t) 2 (t)
dt
Ae3t (t) 3Ae3tu(t) 3Ae3tu(t) 2 (t) Ae 3t (t) 2 (t)
由于t 0 后，方程右端为零，故n m时
h(t
)
(
n
Ak
e
k
t
)u
(t
)
k 1
n m时,为使方程两边平衡，h(t)应含有冲激函数及其 各阶导数
h(t)
(
n
Ak
ekt
)u(t)
mn
Bl
l
(t)
k 1
l 0
将h(t )代入微分方程，使方程两边平衡，确定系数Ak，Bl
例1 已知某线性时不变连续系统的动态方程式为： dr(t) 3r(t) 2e(t), t 0 dt
Ae6t (t) B (t) 6B (t) 2 (t) 3 (t)
A 6B 2 B 3
解得 A 16, B 3
h(t) 3 (t) 16e6tu(t)
例2－9 对例2－5所示电路，求电流i(t)对激励e(t) (t)
的冲激响应。
解：
d2 dt 2
i(t)
7
d dt
i(t)
1
a
f1(x) f2 (at x))dx
1 a
f (at)
二、卷积的性质
6）微分特性
d dt
[
f1(t
)
f2 (t)]
f1(t
)
df2 (t dt
)
f1(t)
f (1) 2
(t
)
7）积分特性
df1(t) dt
f2 (t)
f2(t)
f (1)
1
(t
)
t[ f1(
f2 ( )]d
f1(t) t
e(t) e( ) t )d
rzs (t) e( )h(t d
rzs (t) e( )h(t d e(t) h(t)
例4已知某LTI系统的动态方程式为 r(t) 3r(t) 2e(t), 系统的冲激响应h(t) 2e3tu(t),e(t) 3u(t), 试求系统的
零状态响应rzs (t) 。
10i(t)
d2 dt 2
e(t)
6
d dt
e(t
)
4e(t)
系统冲激响应h(t)，满足方程
d2 dt 2
h(t)
7
d dt
h(t)
10h(t)
(t)
6
(t)
4
(t)
它的奇次解形式为 h(t) A1e2t A2e5t (t 0 )
用冲激函数匹配法求h(0 )和h(0 )
h(t) a (t) b (t) c (t) du(t) h(t) a (t) b (t) cu(t) h(t) a (t) bu(t)
1
因为a 1，即h(t)中有一项a (t)
hh((00))
b h(0) c h(0)
1 1
A1 A2
4 13
3
h(t)
(t)
4 3
e2t
1 3
e5t
u(t)
冲激平衡法小结
n
mn
h(t) ( Akekt )u(t) Bl l (t)
k 1
l 0
n
1）由系统的特征根来确定 Akekt的形式。 k 1
t[ f1(
f2 ( )]d
f2
(t
)
t
f1()d
例：利用位移特性及u(t) u(t) R(t)，计算y(t) f (t) h(t)。
f (t)
h(t)
1
1
0
t
1
0
t 2
y(t) f (t) h(t) [u(t) u(t 1)][u(t) u(t 2)] u(t) u(t) u(t) u(t 1) u(t) u(t 2) u(t 1) u(t 2) R(t) R(t 1) R(t 2) R(t 3)
f2 ( )d
f1(t)
f
( 1) 2
(t
)
f2
(t
)
t
f1()d
f2(t)
f (1)
1
(t
)
推广导高阶导数或多重积分
设 s(t) [ f1(t) f2 (t)]
则有
s(i) (t)
f1( j) (t)
f
(i 2
j
)
(t
)
微分特性证明：
同理
d
dt
[
f1 (t )
f2 (t)]
d dt
f1( ) f2 (t )d
t0
系统的初始状态为 r(0) 1,r(0) 3 ，求系统的零
输入响应 rzi (t) 。 解：系统的特征方程为 2 5
系统的特征根为 1 2 j, 1 2 j
rzi (t) et ( A1 cos 2t A2 sin 2t)
r(0) rzi (0) A1 1 r(0) rzi (0) A1 2 A2 3
dt 动态方程式的特征根 6, 且 n m, 故 h(t) 的形式为
h(t) Ae6tu(t) B t)
d [ Ae6tu(t) B (t)] 6[ Ae6tu(t) B (t)] 2 (t) 3 (t)
dt
Ae6t (t) 6Ae6tu(t) B (t) 6Ae6tu(t) 6B (t) 2 (t) 3 (t)
f (t) (k) (t) f (k) (t) f (t) (k) (t t0 ) f (k) (t t0 )
例3
f1(t t2 ) f2 (t t1)
f1(t t1) f2(t t2) f1(t) (t t1) f2(t) (t t2)
f1(t) f2 (t) (t t2 ) (t t1) f (t) (t t1 t2)
f (t t1 t2 )
三、奇异信号的卷积
t1x
f1(x) f2 (t t2 t1 x)dx
f (t t1 t2 )
展缩特性证明：
f1(at) f2 (at) f1(a ) f2(a(t ))d
a x
1 a
f1(x) f2 (at x))dx
1 a
f1(x) f2 (at x))dx
a0 a0
f1
(
)
d dt
f2 (t )d
f1
(t
)
df2 (t dt
)
d[ dt
f1(t)
f2 (t)]
df1 (t ) dt
f2 (t)
积分特性证明：
t[ f1( f2()]d
t
t
f1( ) f2 (
)d d
t
f1