质点系 重力场
V
Mi0 Mi
Fi
dri
V mi gzi zi0 mgzC zC0
V mgzC zC0
举例：
已知：均质杆l，m ，弹簧刚度系数 k， AB水平时平衡，
弹簧变形为δ0 求：杆有微小摆角时系统势能。
MA(F) 0
k0l
mg
l 2
0
mg 2k
重力以杆的水平位置为零势能位置，
P有用
F
F
d 2
· n
30
n
30
F
60
dn
P有用
60 3.78
0.1 42
17.19kN
当 n 112r / min 时
F 60 3.78 6.45kN
0.1112
例12-7 已知 : m ，l0 ，k ， R ， J 。
求：系统的运动微分方程。
例12-7 已知 : m ，l0 ，k ， R ， J。
mg FN FT
作功的力： F FS
W Fs 2FSs
FT
O
mg
FS
FN
瞬心
F
s
§12-4 功率、功率方程、机械效率
1.功率：单位时间力所作的功
P W
dt
由W F dr ,得
P
F dr dt
F v
Ft v
即：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。
作用在转动刚体上的力的功率为
P
δW dt
V
M0 F dr
M
M0 M
Fxdx Fydy Fzdz
M0称零势能点
（1）重力场中的势能
V
Z0 Z
mgdz
mg
z
z0
（2）弹性力场的势能
V
r0 F dr k
r
2
2
2 0
0 0为零势能点, 则
V k2
2
（3）万有引力场中的势能
V
A0 F dr
A
A0
A
速度不变 此项为零
3.机械效率
有效功率
P有效
P有用
dT dt
机械效率 P有效
P输入
多级传动系统 12 n
例12-6 已知：P输入 5.4kw, P无用 P输入 30%
d 100mm, n 42r / min , n ' 112r / min
求：切削力F的最大值。
例12-6
解： P有用 P输入 P无用 3.78kw
力场 ：一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向 完全由所在位置确定的力的作用。
F F x, y, z
势力场(保守力场) ：力的功只与力作用点的始、末 位置有关，与路径无关。
势力场中，物体所受的力为有势力（保守力） 。 重力场、弹性力场、万有引力场都为势力场
2.势能
在势力场中，质点从点M运动到任意位置M0， 有势力所作的功为质点在点M相对于M0的势能。
W12
2 1
M

zd
3.动能定理
微分形式 dT δW
积分形式 T2 T1 W12
理想约束条件下，只计算主动力的功。 注意：内力有时作功之和不为零。
讨论
已知：均质圆盘R，m，F=常量，且很大，使O向右 运动，初静止。
求：O走过 s 路程时力的功。
瞬心
FT
O
mg
FS
FN
F
s
不作功的力：
解： 卡住前（平衡位置Ⅰ）为零势能位置 V1 0
卡住后（位置Ⅱ）
V2
1 2
k
max
第十二章 动能定理
1.动能是物体机械运动的一种度量。
平移刚体的动能
T
1 2
mvc2
定轴转动刚体的动能
T
1 2
J z 2
平面运动刚体的动能
T
1 2
mvc2
1 2
J c 2
2.力的功是力对物体作用的积累效应的度量
重力的功 W12 mg z1 z2
弹性力的功
W12
k 2
12
2 2
定轴转动刚体上力的功
W12 V1 V2 得 T1 V1 T2 V2
质点系仅在有势力作用下运动时，机械能守恒。 此类系统称保守系统。
非保守系统的机械能是不守恒的。
例12-8 已知：重物m=250kg， 以v=0.5m/s匀速下降，钢索
k=3.35×106 N/m . 求：轮D突然卡住时，钢索的最大张力。
例12-8 已知：m=250kg， v =0.5m/s，钢索k=3.35×106 N/m . 求：轮D突然卡住时，钢索的最大张力。
fm1m2 r2
er
dr
由于er dr dr有
V
r1 fm1m2
r
r2
dr
fm1m2
1 r1
1
r
取零势能点在无穷远 r1
V fm1m2 r
（4）质点系受到多个有势力作用
质点系的零势能位置：各质点都处于其零势能点的 一组位置。
质点系的势能：质点系从某位置到其零势能位置的 运动过程中，各有势力做功的代数和为此质点系 在该位置的势能。
取平衡位置为零势能点，更为简便。
得 V 1 k 2l 2
2
只有重力和弹性力作功时，
势能为
V
1 2
k12
1 为弹簧相对于平衡位置的变形量
FB
mg
质点系在势力场中运动,有势力功为
W12 V1 V2
3. 机械能守恒定律
机械能：质点系在某瞬时动能和势能的代数和。
由 T2 T1 W12
质点系仅在有势力作用下，有
Mz
d
dt
M z
单位W（瓦特）,1W=1 J/s
2.功率方程 dT Wi （动能定理）
dT
dt
n Wi
i1 dt
n i 1
Pi
功率方程：质点系动能对时间的一阶导数，
等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。
车床
dT dt
P输入 P有用 P无用
或
dT P输入 P有用 P无用 dt
J R2
d2s dt 2
mg
ks
令 δ0 为弹簧静伸长，即 mg=kδ0 ，以平衡位置为原点
s 0 x
m
J R2
d2x dt 2
mg
k 0
kx
kx
系统的运动微分方程
m
J R2
d2x dt 2
kx
0
系统的运动微分方程与弹簧倾斜角无关
§12-5 势力场﹒势能﹒机械能守恒定律
1.势力场
求：系统的运动微分方程。
解： s R
T
1
m
ds
2
1
J
d
2
2 dt 2 dt
1 2
m
J R2
ds dt
2
P重力
mg
ds dt
,
P弹性力
ks
ds dt
dT dt
P重力 P弹性力
例12-7
m
J R2
ds dt
d2s dt 2
mg
ds dt
ks ds dt
m
弹簧以自然位置O为零势能位置：
V
1 2
k 0
l 2
mg l
2
1 2
k 2l 2
m2 g 2 8k
FB k0
FB
mg
取杆平衡位置为零势能点：
V
1 2
k
2
02
mgh
1 2
k
02
2 0l
2l
2
02
mg l
2
0
mg 2k
代入 得V
1 k 2l 2
2
FB
mg
对于不同的零势能位置,系统的势能是不同的。 取平衡位置为零势能点，更为简便。