达朗贝尔行波解
行波解的物理意义：
由任意初始扰动引起的自由振动弦总是以行波的形式向 正、反两个方向传播出去，传播的速度恰好等于泛定方 程中的常数 a ，这就是达朗贝尔公式的物理意义。达朗 贝尔解表示正行波和反行波的叠加给出波动特性。
特点： 基于波动特点； 引入坐标变换简化方程求解，解的形式简单。 缺点：适用范围窄，无界域的波动或相近问题。


utt a 2u xx f ( x, t ) u x, 0 x ut x, 0 x
I I utt a2uxx f ( x, t ) utt a2uxx 0 u |t 0 ( x) ＋ u |t 0 0 u t |t 0 0 u | ( x)
v(r, t ) ru(r, t )
vtt a vrr
2
从而：
v(r, t ) f1 (r at ) f 2 (r at )
v(r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r r
代入边界条件得：
1 u ( M 0 , t0 ) 4 a t0
n 边
1 s 2 s 1 2 1 s 2 s
定解问题包括： 初值问题：泛定方程＋初始条件 边值问题：泛定方程＋边界条件 混合问题：泛定方程＋初始条件＋边界条件 例：设有一单位球，其边界球面上温度分布为 u |r 1 cos2 ， 试写出球内的稳定温度分布的定解问题。 解：
u 0 2 u |r 1 cos , u |r 0 有限

(M )
M0
Sat0
at0
ds
(M )
at0
Sat0 M 0
ds
泊松（Poisson）公式
物理意义
2 u a u, x, y, z , t 0 例：求解 tt u |t 0 x 2 y, ut |t 0 0
1 x 2y
x x0 r sin cos 用到公式: y y0 r sin sin z z0 r cos
r
x x0 y y0 z z0
2 2
2
at
对于非齐次泛定方程问题：－－冲量原理法 定解问题：
2
提出定解问题：泛定方程＋定解条件 求解：分离变量法等 分析解答
第二章 行波解
中心：行波法求解无界空间波动问题 重点知识包括：
达朗贝尔公式－－利用坐标变换求通解的方法 泊松公式－－化三维为一维的平均值法 冲量原理－－非齐次方程定解，推迟势
对于一维问题：－－变量代换法
定解问题：
utt a2uxx
本征解
解1 解2
定解问题
齐次边 界条件
分离变量
常微分方程2 边界条件
本征值问题
解2 本征函数
（定解条件）
所求解
初始 条件
确定迭加系数
本征值
本征解
注意
（1）双齐次问题中的“双齐次”保证了构成“通解”的可 能—满足齐次泛定方程及其次边界条件的若干解得叠加后仍 满足齐次泛定方程及齐次边界条件。 （2）“通解”的另一保证是满足齐次泛定方程及齐次边界 n a n a n u x, t An cos t Bn sin t sin x 条件的任意解均可表示成，
解：
, , u ( x, y , z , t ) dS 4 a t s M r r at 1 2 x at sin cos 2 y at sin sin 2 ( at ) sin d d 0 0 4 a t at 2 2 1 2 2 at x 2 y d sin d a t . cos sin d sin 2 d 0 0 0 0 4 a t
令：
( x, t; ) ( x, t; )
tt a 2 xx 0 |t 0 t |t f x,
从而：
1 t x a (t ) u ( x, t ) ( x, t; )d f , d d 0 2a 0 x a (t )
u x, 0 x ut x, 0 x
x , t 0
思路：
utt－a uxx＝（ a （ ) a )u 0 t x t x
2
x at x at u
1 3 u sin y x sin y / 3 x y 2 / 3 xy 4 4
对于三维问题：－－平均值法
utt a u
2
x, y, z , t 0
u |t 0 M u | M t t 0

0
u u d 0d c c
u , c d f 2 f1 f 2
u x, t f1 x at f2 x at
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at
t t 0
对于三维问题
utt a 2 u f ( M , t ), ( x, y, z , t 0) u |t 0 0 u | 0 t t 0
同样有：
r f ( M , t ) 1 t a ds dr u(M , t ) 4 a at SrM r a r f ( M , t ) at 1 a dsdr 2 0 S M r 4 a r r f ( M , t ) 1 a d 2 T M at 4 a r
例：求解
2 utt a u xx u |t 0 x, t x at x at 4d x at 2 2a x 4t
利用一维行波解的思想，类似可以求解：
uxx 2u xy 3u yy 0 u x, 0 sin x u y x, 0 x
推迟势
第三章 分离变量法
基本思路: 把偏微分方程通过分离变量的技巧 分解为几个常微分方程，其中有的常微分方 程带有附加条件而构成本征值问题。通过分 别求解各个常微分方程，进而利用定解条件 和广义傅立叶展开确定定解问题的解。
1. 2. 3. 4. 双齐次问题的本征函数基本迭代解 非齐次泛定方程的本征函数展开法和冲量法 非齐次边界条件的齐次化原理 正交曲线坐标系中的分离变量法和特殊函数应用
例：利用麦克斯韦方程组导出电磁场所满足的波动方程
定解条件的确定： 初始条件＋边界条件 （1）初始条件：如果泛定方程是关于时间变量t的n阶方 程，就必须给出n个初始条件，只有这样才可能给出具体 问题的定解。 （2）边界条件：三类边界条件＋自然边界条件 三类给定的边界： u 边 f (M , t ) 第一类（狄利克莱）边界条件 un 边 f (M , t ) 第二类（诺依曼）边界条件 (u hu ) f (M , t ) 第三类（混合）边界条件 （根据 f 是否为零还可以分为齐次和非齐次边界） 其他边界条件： u u 衔接性边界条件 u u n n 自然边界条件： y x0 有限 有界性自然边界条件 ( 2 ) ( ) 周期性自然边界条件
偏微分方程的阶数、线性与非线性、齐次与非齐次 我们的重点：
utt a u f
2
波动方程 热传导方程
双曲型方程 抛物型方程
ut Du f
u h
稳定场方程
椭圆型方程
定解问题： 泛定方程＋定解条件 泛定方程的确定： （1）对所研究的问题做数学抽象表述，从所研究的系统 中划出一小部分，即微元作为研究对象，分析相邻部分 与这一小微元的相互作用； （2）根据相关领域中的物理学的规律（如前面所用的牛 顿第二定律、能量守恒定律、高斯定律等），以数学表 达对微元的这种作用关系； （3）化简、整理，取相应的极限过程，得到数学物理方 程。
知识要点总结
主要内容包括：
1、三类典型数理方程的定解问题。 2、无界域波动方程初值问题的行波解。 3、各种边界条件下的三类方程的分离变量法。 4、特殊函数的应用。 5、积分变换法。 6、格林函数法。
第一章 定解问题 数学物理方程主要研究偏微分方程的求解问题：
u u u mu F ( x1 , x2 ,L , xn , u, , ,L , ,L , m1 m2 )0 mn x1 x2 xn x1 x2 L xn
utt a2uxx f ( x, t )
u x,0 0 ut x,0 0
x , t 0
纯强迫振动
思路： f ( x, 所引起的振动，看作是一系列 t) 将持续力 前后相继的瞬时力 ) f ( x, ) (0 t所引起的振动 的叠加。即 ( x, t ; )
定义：
1 u r, t 4 r 2 1 srM0 u M , t ds 4
r 0

M0 sr
u M ,t d
u M 0 , t0 lim u r , t0
则可以证明：
2 2 2 ( ru ) a (ru ) 2 2 t r
一、双齐次问题的本征函数基本迭代解 齐次泛定方程＋齐次边界条件＝双齐次问题
（1）双齐次问题中的“双齐次”保证了构成“通解”的 可能—满足齐次泛定方程及其次边界条件的若干解得叠 加后仍满足齐次泛定方程及齐次边界条件。
（2）本征值问题是分离变量法的核心问题 。
常微分方程1--解1 偏微分 方程
分离变量