福建省三明市市区三校2019届高三联考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +科的方程是 （ ）A ．9π=x B ．6π=x C ．3π=x D ．2π=x3. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。

根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （ ） A. 甲地：总体均值为3，中位数为4 B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C. 丙地：中位数为2，众数为3 D . 丁地：总体均值为2，总体方差为34. 设椭圆22221x y m n +=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 （ ）A.2211216x y += B . 2211612x y += C. 2214864x y += D. 2216448x y += 5. 在等比数列{}n a 中，已知1673=a a ，则64a a 的值为 （ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 6．函数f （x ） =xx 2ln -的零点所在的大致区间是 （ ） A ．（1, 2）B ．（2，e ）C ．（e ，3）D ．（e ，+∞）7. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与椭圆的一个交点P ，且2PF x ⊥轴，则此椭圆的离心率e 为 （ ）AB．2 D．38. 610(1(1+展开式中的常数项为 （ ） A ．1 B ．46 C ．4245 D ．4246 9. 若12,e e 是夹角为3π的单位向量，且122a e e =+,1232b e e =-+，则a b ⋅= （ ） A.1 B. 4- C . 72- D. 7210. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 （ ）∙ A∙ ∙ ∙ ∙∙ BCDE FA.175 B. 275 C. 375 D . 475二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知0,2a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当0(cos sin )a x x dx -⎰取最大值时，a =_____. 12. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为13. 若不等式(2)k x ≤+的解集为区间[],a b ,且2b a -=,则 k =．14. 如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的n 值为15. 已知0>a，设函数120102009()sin ([,])20101x x f x x x a a ++=+∈-+的最大值为M ，最小值为N ，那么=+N M .三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数） （Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n ，n S k ≤恒成立，求实数k 的最大值.17．（本小题满分13分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．（Ⅰ）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．18．（本小题满分13分） 如图，ABCD 是块矩形硬纸板，其中CCDEABAB =2AD = 22，E 为DC 中点，将它沿AE 折成直二面角D-AE-B . （Ⅰ）求证：AD⊥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角B-AD-E 的余弦值. 19.（本小题满分13分）已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。

（I ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围； （Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。

20.（本小题满分14分）已知函数1)1()1ln()(+---=x k x x f 。

（I ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）证明：①),2(2)1ln(+∞-<-在x x 上恒成立②∑=+>∈-<+ni n N n n n i i 2)1,(,4)1())1(ln (21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

（Ⅰ）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.（Ⅱ）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长．（Ⅲ）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 解不等式∣2x-1∣<∣x ∣+1福建省三明市市区三校2010届高三联考试卷数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. D2. A3. D4. B5. A6. B7.A8.D9.C 10.D A.1 B. 4- C. 72-D. 72二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.4π14. -1 15. 4019 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ） 3231=++n n S a ， ① ∴ 当2≥n 时，3231=+-n n S a . ② 由 ① - ②，得02331=+-+n n n a a a . 311=∴+n n a a )2(≥n .又 11=a ，32312=+a a ，解得 312=a . ∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为31=q 的等比数列. 11131--⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴n n n qa a （n 为正整数） ……………………（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴n n S )31(123 由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-≤nk 31123，. 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-n311单调递增， 当1=n 时，数列中的最小项为32，∴ 必有1≤k ，即实数k 的最大值为1 ……………… （13分）17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：ξ的所有可能取值为0，1，2．依题意，得3436C 1(0)C 5P ξ===， 214236C C 3(1)C 5P ξ===， 124236C C 1(2)C 5P ξ===．∴ξ的分布列为∴ 10121555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………（7分） （Ⅱ）解：设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则()2536C 1C 2P A ==，()1436C 1C 5P AB ==， ∴()()()25P AB P B A P A ==．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25…………………………（13分） 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：由题设可知AD ⊥DE ，取AE 中点O ， 连结OD 、BE ，∵AD=DE=2，∴OD ⊥AE ， 又∵二面角D —AE —B 为直二面角，∴OD ⊥平面ABCE ， ∴OD ⊥BE ，AE=BE=2，AB=22，∴AB 2=AE 2+BE 2，AE ⊥BE ，OD ∩AE=O ，∴BE ⊥平面ADE ，∴BE ⊥AD ，BE ∩DE=E ，∴AD ⊥平面BDE. ……………………………………（6分） （Ⅱ）取AB 中点F ，连结OF ，则OF//EB ，∴OF ⊥平面ADE ， 以O 为原点，OA ，OF ，OD 为x 、y 、z 轴建立直角坐标系（如图）， 则A(1，0，0)，D(0，0，1)，B(-1，2，0)，)1,0,1(-=，)1,2,1(-=，设),,(z y x m =是平面ABD 的一个法向量，则0=⋅，0=⋅,∴⎩⎨⎧=+-=+-02z xz y x 取x=1，则y=1，z= 1，则)1,1,1(=，平面ADE 的法向量)0,1,0(= ∴33311cos =⋅==θ. …………………………………………（13分）19.（本小题满分13分）解：（I ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意1b = 25a = 故椭圆方程为2215x y += …………………………………………（13分）（Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，所以02m ≤≤，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠） 代入2215x y +=，得2222(51)202050k x k x k +-+-=， 设1122(,),(,),A x y B x y 则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++， 12121212(4),()y yk x x y y k x x ∴+=+--=-112212122121(,)(,)(2,),(,)MA MB x m y x m y x x m y y AB x x y y ∴+=-+-=+-+=--1221211222222()0,(2)()()()020420,(85)05151MA MB AB x x m x x y y y y k k m m k m k k +⋅=∴+--+-+=∴--=∴--=++由280,0855m k m m =>∴<<-， ∴当805m <<时，有()MA MB AB +⊥成立。

………（8分）（Ⅲ）在x 轴上存在定点N ，使得C 、B 、N 三点共线。

依题意11(,)C x y -，直线BC 的方程为211121()y y y y x x x x ++=-- 令0y =，则121122112121()y x x y x y x x x y y y y -+=+=++ l 的方程为(2),y k x A =-、B 在l 上1221121211221212(1)(1)22()(2),(2)()4()4k x x k x x kx x k x x y k x y k x x k x x k k x x k-+--+∴=-=-∴==+-+- 222222205202255151202451k k k k k k k k k k -⋅-⋅++==-+， ………………………………………………（13分）∴在x 轴上存在定点5(,0)2N ，使得C 、B 、N 三点共线。