两个变量之间存在相关关系，还需要考虑两个变量 之间的逻辑关系—因果关系，即哪个变量依赖于哪 个变量。例如消费支出与收入之间的关系，一定是 消费支出依赖于收入，即收入是“自变量”，消费 支出是“因变量”；但是也有一些经济变量之间是 互相依赖的，如某种商品的价格与供应量之间的关 系就是互相依赖的关系。判断因果关系依据是相关 的经济理论，在统计意义上是无法判断的，所以在 进行相关分析时一般不区分因果关系。
第2章 回归与回归分析
学习目标
1、掌握线性相关系数的意义及计算方法 2、理解统计关系与确定性关系的意义 3、理解总体线性回归方程与总体回归模型的意义 4、理解随机扰动项的意义 5、理解样本回归方程与总体回归模型的意义
2.1回归的基本问题
现代意义的“回归”已经演变成建立回归方程或 模型研究一个随机变量Y对另一个变量(X)或多个 变量(X1，X2，…，Xk)的相互依存关系的统计分 析方法。 在经济领域，很多变量之间都存在着相互依存关 系。
相关分析就是研究统计关系的形式、方向和密切程 度的统计方法。为了表达问题的方便，我们约定在 本书中，用大写字母表示变量，如Y、X、X1、…、 Xk等等。
2.相关关系的种类 （1）按相关的程度可分为完全相关、不完全相关 和不相关 当两个变量之间的关系是确定性关系是，称这两种 现象间的关系为完全相关；当两个变量之间彼此互 不影响，其数量变化各自独立时，称为不相关；两 个变量之间的关系介于完全相关和不相关之间，称 为不完全相关，一般的相关关系就是指这种不完全 相关。
绘制X与Y的散点图：
6000 5500 5000 4500
Y
4000 3500 3000 2500 3000
图 2-3 收入与消费支出的散点图 4000 5000 6000 7000 8000 9000
X
由图（2-3）可以看出，消费支出的条件均值可以用 一条直线来表示： E(Y X i ) 0 1 X i （2-8） 我们称式（2-8）为总体线性回归方程，因为它是一 个一元一次方程，所以也称为总体一元线性回归方 程。 对于相同收入水平的家庭，消费支出并不一定相同。 每个家庭的具体消费支出与其条件均值会一个“偏 离”，这个偏离记为u i ，之所以加下标是因为在同 一个收入水平下，这样的偏离有多个。显然有： （2-9） ui Yi E(Y X i )
28000
24000
20000
Y
16000 12000 8000 12000 16000 20000 24000 28000 32000 36000 X
图2-1 广东省各地区城镇居民可支配收入与消费支出的关系
其中，X表示收入，Y表示消费。从图2-1可以看出， 当X增加时，Y也在增加，并且这些散点散布在某 条直线附近。于是我们可以用一条直线“近似”表 示收入(X)与消费支出（Y）的关系： （2-1） Y a bX 而其中的斜率项系数 b Y X ，即消费支出的增 量比收入的增量，其含义是边际消费倾向。
2.3 一元线性回归分析
回归分析是指在相关分析的基础上，将变量之间的 变动关系模型化，即寻找出一个能够“近似”刻画 变量间变化关系的函数关系式，并据此“精确”的 表达变量之间影响的结构、方向和程度。通过回归 分析，可以将相关变量之间不确定、不规则的数量 关系一般化、规范化，从而可以根据自变量的某一 个给定值推断出因变量的可能值（或估计值）。
图2-2 菲利普斯曲线
由图2-2，我们可以用一条双曲线“近似”表示货 币工资增长率（Y）与失业率（X）这两个变量的 规律性：
1 Y ab X
（2-2）
【例2-3】经济理论告诉我们，影响经济增长的主要 因素是消费、投资和净出口，如果用GDP作为经济 总量的代表变量，则可以用以下方程“近似”地表 示这些变量的关系： Y a bX1 cX 2 dX 3 （2-3） 其中 Y—GDP，X1—消费，X2—投资，X3—净出 口。
（2）按相关的方向可分为正相关和负相关 当一个变量的数量增加（或减少），另一个变量的 数量也随之增加（或减少）时，称为正相关；反之， 当一个变量的数量增加（或减少），而另一个变量 的数量向相反方向变动时，称为负相关。
（3）按相关的形式可分为线性相关和非线性相关 当两种相关变量之间的关系大致呈现为线性关系时， 称之为线性相关；如果两种相关变量之间，并不表 现为直线的关系，而是近似于某种曲线方程的关系， 则这种相关关系称为非线性相关。 （4）按所研究的变量多少可分为简单相关、复相关 两个变量之间的相关，称为简单相关；当所研究的 是一个变量对两个或两个以上其他变量的相关关系 时，称为复相关。
（2-4）
其中
——变量X和Y的协方差 Cov( X , Y ) ——变量X的方差 Var( X ) ——变量Y的方差
Var (Y )
可以证明， 的取值范围为-1≤ ≤1；若 为正， 则表明两变量为正相关；若 为负，则表明两变 –1，则表明两个变量完 量为负相关；如果 =1或 全相关。 根据样本数据计算的相关系数称为样本相关系数， 记为r。由于总体一般是不能全面观测的，所以相 关系数一般只能计算样本相关系数，计算公式为：
经济变量大多都是随机变量，例如消费支出、失业 率、净出口等等，正是由于这种随机性，导致经济 变量之间很难保持确定性的关系。但是，经济运行 存在的内在规律性会使经济变量之间存在着某种 “相关”，这些“相关”在实践中被反复大量的观 察，并在某种程度上被证实，于是人们描述出这些 “相关”意义，总结成相应的经济理论，这些“相 关”就是我们所理解的经济意义上的统计关系—相 关关系。
根据这些数据，说明收入对消费支出影响的规律性。
解：由经济理论可知，收入是解释变量，消费支出 是被解释变量。 从这些数据可以看出，虽然每一个收入水平对应下 的消费支出是不相同的，但平均而言当收入增加时， 消费支出也会增加。 计算每一个收入水平对应的平均消费支出，由于这 个平均值是在给定的收入条件下得到的，所以称为 条件均值，一般用符号表示，如，表示在收入水平 为4000元的条件下，消费支出是2720元。

【例2-1】边际消费倾向是凯恩斯宏观经济学的 核心概念之一。通俗的讲当人们的收入增加时， 消费支出也会增加，但消费支出增加的没有收入 增加的快，而消费支出的增加值比收入的增加就 是边际消费倾向。在这个理论中，叙述了两个经 济变量--收入与消费之间的关系，那么两者之间 存在怎样的关系呢？我们抽取2010年广东省各地 区城镇居民可支配收入与消费支出的数据（数据 见例2-1，数据来源：广东统计年鉴2011），并 绘制散点图如下：
2.3.1总体线性回归方程与回归模型 【例2-4】假设一个总体中只有100个家庭。由于这 个总体非常小，我们可以对这个总体中的所有数据 进行调查。经过调查，这100个家庭的月度收入和 消费支出数据如下：
表2-1 100个家庭收入与消费支出数据
单位：元
收入X 4000 2656 2687 2698 2698 2754 2828 4500 2931 2934 2951 2965 2997 3048 3141 消 费 支 出 Y 3157 5000 3148 3173 3202 3271 3301 3303 3320 3331 5500 3428 3564 3590 3612 3636 3651 3681 3700 6000 3722 3772 3802 3820 3823 3828 3829 3858 6500 3996 4169 4192 4238 4262 4272 4285 4292 7000 4288 4379 4417 4453 4464 4583 4752 4797 7500 4661 4694 4917 5015 5051 5056 5104 8000 4635 4857 4999 5205 5526 5690 8500 4915 5214 5523 5693
3. 简单线性相关关系的度量 简单线性相关关系是最简单也是最常见的相关形式， 一般用简单线性相关系数度量这种关系的密切程度。 简单线性相关系数简称相关系数（correlation coefficient），如果是根据总体全部数据计算的， 则称为总体相关系数，通常记为 ，计算公式为：


Cov( X , Y ) Var( X )Var(Y )
3157
3363
3374 3426 3450
3708
3720 3723 3723 3732 3787 3799

3905
3921 3969 4011 4043 4043 4063 4067 4133
4335
4381 4400 4439 4453 4551
4839
4231
Y的条件均值 2720 3031 3305 3670 3936 4305 4552 4928 5152 5336
t r n2 1 r
2
~ t (n 2)
（2-7）
其中 r—样本相关系数 n—样本容量
显著性检验的步骤如下： 1）提出假设： H0 : 0 ，H1 : 0 ； 2）由式（2-7）计算检验统计量的值； 3）确定显著性水平，根据给定的显著性水平和自 由度（n-2）查t分布表查构造拒绝域； 4）决策判断：若 t t 2 ，拒绝H0, 表明总体的两 个变量之间存在显著的线性相关关系。
r
( X X )(Y Y ) ( X X ) (Y Y )
i i 2 i i
2
（2-5）
其中
X
Y
—变量X的平均数 —变量Y的平均数
注意到式（2-5）中计算项都是离差， 设 x X X，y Y Y ，则有：
i i
i
i
r
( X X )(Y Y ) ( X X ) (Y Y )
i i 2 i i
2

x y x y
i i 2 i
2 i