验证 了算 法的有 效性． 学 院 ｕ 学 关键 词 ： 分数 阶 常微分 方程 ； ａ ｕｏ分数 阶导数 ； Ｃｐ ｔ 降阶 法 ； 数值 解
Ｏ １５ 报 中图分 类号 ： ７
文 献标 识码 ： Ａ
文章编 号 ：６ ３—２ １ （ ０ １ ０ —０ ２ —０ １７ ６８ ２１ ）６ ０ ７ ４
０ 引 言
最近 几年 ， 数 阶微积 分在 许多 学科 和现 代工 程计 算 中得 以广泛关 注 和应 用 ． 分 在使 用分数 阶导 数 的模 型中， 大部 分 情况 下会 出现 一 系列 的分数 阶微 分方 程． 数 阶微分 方程 的数值 求解 方法 成为 了近年研 究 的 分 热点 课题 之一 ． ｌ ｒ Ｒ ｓ 在文 献［ ］ Ｍｉｅ 和 ｏ ｓ ｌ １ 中给 出了一种 将分 数 阶常系 数线性 常微 分方 程
Ｈ
摘 要 ： 对一 类分数 阶 常 系数 线性 常微 分 方程 ， 于降 阶 的思 想 ， 针 基 通过 转 换将 其 转化 为低 滨 阶 的分数 阶 方程 组 的形式 ， 构造 了一 种新 的数 值 解 法 ， 出 了具 体 的 计算 格 式 ， 给 并通 过数 值 算 例
州 Ｂ
ａ
（） １
收 稿 日期 ： ０ １—１ ２１ Ｏ—Ｏ ７
基 金 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 项 目（ ０ ７ ０ ８ ， 州 学 院青 年 人 才 创 新 工 程 科 研 基 金 项 目（ Ｚ ＹＱＮ Ｇ ０ ００ 国 １９ １ １ ）滨 ＢＸ Ｌ ２ １１ ） 作者简介 ： 王
１６ ｃ ｒ ． ３． ｏ ｎ
ａＤ￣（ ＋ｎ１ ” （ ＋…＋ｎＤｙ ） ０ ｏ（ 一０ 一÷，∈Ｎ ．Ｔ Ｄ ￡ Ｃｙ） 一 ｙ） １ Ｔ（ ＋ａ ￡ ， ｃ ） ｑ
转化 为分 数 阶常 微分 方 程组 的方 法 ， 在此 基础 之上 求 出了这类 方程 的解 析解 ． ｉｔｅｍ 和 Ｆ ｒ 并 Ｄ ｅｈ ｌ ｏｄ在 文献 ［ ］中将 这 种 降阶算 法应 用 到 Ｂ ｇｅ ２ ａ ｌｙ—Ｔ ｒ ｉ ｏ ｖｋ方程
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其 中 ０＜
＜
＜ … ＜
≤ １ ｍ 一 ［ ，。 ， 口］ ＋ ＋ … ＋ 一 ．
利用 如下代 换把 式 （ ）改写 ， ３
Ｙ — Ｙ， Ｙ ： Ｄ ， ， ，０ ｌ — Ｏｙ ， ／ — Ｄ。 一 。 ｌ … ｎ＋ Ｙ 。 … ， Ｙ － － Ｄ Ｙ．
等 价 的 矩 阵 的 形 式 为
第 ２ 卷 ７
（ ２）
对 于方 程 （）不妨 设 ａ １， ＞
ａ ｏ ｏ ，
＞ … ＞ａ ＞ ａ ≥ ０ 将 方 程 （ ）改 写 成 ： 。 ， １
（ ３）
（ ＋∑ （， Ｊ ｉ（ ＋ｂ Ｄ ｄ （ ＋…＋６ Ｄ ｙ ） ＝ｆ ） ６Ｄ＋ ２ Ｊ２ １ ％ ） ， ＋， ） Ｊ ｊ ｊ Ｊ （） ，
证 明参 见文 献 Ｅ ］ ４． 由引理 １和引理 ２易 知上 述转 化是等 价 的．
Ｄ ［Ｄ ＿（） ［ ｆ（） ｅ ￡． ］一 Ｄｆ ＤＴ ］一 ＤＦ ｆ（） 厂 证 明 ： 见文 献［ ］ 参 ３．
引理 ２ 如 果 （）∈ Ｃ Ｅ ， ， ￡ ｏ 丁］ 这里 Ｔ＞ ０ 并且 是∈ Ｎ， ， 如果 ａ Ｎ ， ａ ｋ 则 Ｄ Ｙ ０ ０＜ ＜ ， （ ）一 。
Ａ Ｄ Ｙ＋ＢＤＰ ｙ＋Ｃ ｙ一 厂 ． （）
本 文 将这 种降 阶 的转化 方法 应用 到任 意 阶的常 系数 线性 常微 分方程
ａＣ ｙ ￡ ＋ ａ一 Ｄ ｙ ￡ ＋ … ＋ ａ Ｙ ￡ ＋ ａ Ｙ ． Ｄ￣ （） １ （） １ Ｄ （） ０ Ｔ （）一 厂 ￡ ， Ｄｏ （）
得到 这类 分数 阶常系 数线 性常 微分 方程 的数 值解 ， 以 Ｂ ｇｅ —Ｔｏｖｋ方 程 为例验 证算法 的有 效性 ． 并 ａ ｌｙ ｒｉ
分数 阶导数 的定 义有 很多 种 ， 中选 用 的是 Ｃ ｐ ｔ 数 阶导数 ． 文 ａ ｕｏ分
定 义 （ ａ ｕ ｏ分 数 阶 导 数 定 义 ［ ） 设 Ｙ ∈ Ｃ ， Ｃ ｐｔ 。 ］ ” 一 １ 口 ｎ ∈ Ｎ， ＞ ０则 称 ＜ ≤ ， ｔ
磊 （ ９ Ｏ ） 男 ， 东 滨 州 人 ， 师 ， 士 ， 要 从 事 微 分 方 程 的 数 值 解 法 研 究 ， － ａｌｋｌ １ｎ １８ 一 ， 山 讲 硕 主 Ｅ ｍ ｉ ｅ２ ｃ ＠ ： ｉ
２ ８
滨州 学 院学报
¨ （ ）一 ｃ ， ｋ一 ０ １ … ，口 ］ ０ ＾ ， ， ［ ．
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其中
为 ｎ 的矩阵 ×
０
●
：
Ｄ＾ 一
： ● …来自０ 引理 １ Ｃ ｐｔ ａ ｕｏ分数 阶微分 算子 满足 交换 律 ， 且满 足叠加 关 系 并
㈤一 ＿ 』 而ｌ
１ 算 法 构 造
对 于分 数 阶线性 常 系数多 项 常微分 方程
ａ ｒ
为 ＿ 厂 ）在 Ｃ ｐ ｔ （ ａ ｕｏ意义 下 的 ａ阶导 数． 了方便起 见 ， 为 下文 中均 记为 Ｄ ．
口ｃ Ｄ Ｙ（）＋ ａ－ ￡ ｎ１Ｄ Ｙ（）４ … ＋ 口 ＇ － １ Ｙ（）＋ ａ ｏ ￡ ＤＴ ｏＤＴ Ｃ ｙ（）一 ，（） ，
第 ２ ７卷 第 ６期
Ｖｏ１ ２ Ｎｏ ． ７， ．６
２１ ０ １年 １ ２月
Ｄｅ ．， ０１ ｃ ２ １
【 分 方 程 与 动 力 系 统研 究】 微
一
类 分 数 阶 常 微 分 方 程 的数 值 解
王 磊
Ｔ Ｊ
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（ 滨州 学 院 数 学与 信息科 学 系 ， 山东 滨州 ２ ６ ０ ） ５ ６ ３