第七章 势流理论（二）本章主要讨论：轴对称有势流动和机翼绕流的有关理论。

§7.1 轴对称流动一条曲线绕轴旋转一周形成的物体形状称为旋成体。

当来流沿旋成体中轴线方向绕流旋成体时，通过中轴线的各子午面上的流动均相同，这种流动称为轴对称流动。

比如，均匀流绕圆球的流动。

对于无旋轴对称流动，存在速度势函数φ和流函数ψ 。

但，速度势函数φ是调和函数，流函数 ψ 不是调和函数。

采用柱坐标(r ,θ,x )，设 x 轴为对称轴，流动参数不随 θ 变化。

),,(t x r v v r r = ),,(t x r v v x x =不可压缩流体的轴对称势流应该满足：()()0=∂∂+∂∂xrv r rv x r 连续性方程：0=∂∂-∂∂r v x v xr 无旋条件： 如果存在物体壁面S ，速度应该在物面上满足边界条件：0=v 物面法向流速为零：∞=V 无穷远处流速：求解不可压缩流体轴对称势流问题的主要任务就是寻求满足以上方程组和边界条件的速度矢量。

有两种数学求解途经:rxV ∞轴对称轴途径一：0122222=∂∂+∂∂+∂∂=∇xr r r φφφφ控制方程：0=V 物面无穿透条件：∞=V 无穷远处来流：xv rv x r ∂∂=∂∂=φφ,这里：速度势函数φ是调和函数，可以采用叠加法求解。

途径二：0122222=∂∂+∂∂-∂∂=x r r r D ψψψψ控制方程：0=V 物面无穿透条件：∞=V 无穷远处来流：rr v xr v x r ∂∂=∂∂-=ψψ1,1这里：流函数函数Ψ不是调和函数，称为斯托克斯函数。

但它是线性的，也可采用叠加法求解。

一.基本的轴对称势流：1.均匀直线流：0,,0===∞θv V v v x r∞=∂∂==∂∂=V x v r v x r φφ,0 x V ∞=∴φ∞=∂∂==∂∂-=V r r v x r v x r ψψ1,01又 221r V ∞=∴ψ2.空间点源(汇)流：(0 , 0)处有一点源 Q ： R v R Q 24π=()22244xr QR Q v R +==ππ如图，有：()22224sin xr rx r Q v v r R r +⋅+===∂∂∴πθφ()22224cos xr xx r Q v v x R x +⋅+===∂∂∴πθφ 2214xr Q +⋅-=∴πφ()23224x r rxQrv r x +==∂∂πψ又：()232224x r Qr rv x r +=-=∂∂πψ且：224x r xQ +⋅-=∴πψ 22224,14xr xQ xr Q +⋅-=+⋅-=πψπφ即：当点源在 x 0 点（轴对称轴上），速度势函数和流函数为：()()22022414x x r x x Q x x r Q -+-⋅-=-+⋅-=πψπφ 3.空间偶极子流：0lim 0>=∆∞→→∆M x Q Q x 令：()()23222222220414114limx r x M x r x M x x x r xr x Q Q x +⋅-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆-+-+∆=∞→→∆πππφ令：()23224x r x M +⋅-=∴πφ ()232224x r r M +⋅=πψ亦可得：当偶极子在 x 0 点（轴对称轴上），速度势函数和流函数为：()[]()[]232322222044x x r r M x x r x x M-+⋅=-+-⋅-=πψπφ*二.均匀来流绕圆球体的流动：采用球坐标（R ，θ，λ）。

柱坐标与球坐标的关系为： θθcos sin R x R r ==均匀流： 221r V x V ∞∞==ψφ偶极子流： ()()23232222244x r r M x r xM +⋅=+⋅-=πψπφ 叠加后得到： θπθψθπθφ2222sin 4sin 21cos 4cos RMR V RMR V -=+=∞∞ 求出速度： θπφcos 123⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂=∴∞R M V R v R θπθφθsin 1413⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂=∴∞R M V R v在球表面 v R = 0 ，故： ∞=V R M 302π 302∞=∴V MR π θR R R V cos 2230⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴∞φ θR R R V ψ2302sin 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞θR R V v R cos 1330⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞相应地：θR R V v θsin 21330⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=∞球表面速度分布： θV v v θR sin 23∞-==设无穷远处压强为 p ∞，由伯努利方程，有： ()2222222θρρρV V p V p V p R ++=+=+∞∞于是，得到球表面的压强分布： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞∞θV p p 22sin 4912ρ 球表面的压强系数分布： θC p 2sin 491-= 流体作用在球体上的阻力和升力均为零。

例1: x =d ，点汇 –Q ；x = -d ，点源 Q ，与均匀流 V ∞ 叠加。

求流函数和物面形状。

解: 叠加三个基本势流的流函数，得到：()()222224421d x r d x Q d x r d x Q r V ψ++-⋅++++⋅-=∞ππ令 ψ = 0，得到零流线方程：()()0442122222=++-⋅++++⋅-∞d x r dx Q d x r d x Q r V ππ 代数方程给出了两条曲线，一条是与轴重合的直线，另一条是卵形封闭曲线。

显然，流函数Ψ = C.给出了均匀直线流绕流卵形回转体所形成的势流流场的流线。

这类卵形回转体也称为兰金（Rankine ）体。

§7.3 有限翼展机翼对机翼理论的研究是流体力学中最引人注目的应用课题之一。

舰船上的舵、水翼、减摇鳍等本身就是机翼，螺旋桨、透平机械的叶片、水泵的叶片等都是利用机翼的原理工作的。

我们可以利用机翼原理来产生升力（例如飞机、风筝等）或推力（例如螺旋桨等），因此机翼理论的研究对船舶工程有重要意义。

一.机翼的几何参数：翼型：翼型是机翼剖面的基本形状。

翼型具有产生的升力与阻力之比（升阻比）尽可能大的体形，整体上是优良流线形，使流体能顺着其表面尽可能无分离地向尖后缘流去。

如图所示为翼型无分离地绕流。

前缘或导边（leading edge）：迎流的一端。

后缘或随边（trailing edge）：翼面：迎向来流的一面，形状可凸可凹。

翼背：背向来流的一面。

攻角α（angle of attack）：来流与弦之间的夹角。

工程实际中应用的一些翼型的基本形状：后缘总是尖的（产生环量）。

圆前缘：减小形状阻力。

尖前缘：减小压缩性所引起的激波阻力或自由表面所引起的兴波阻力。

中线（center line):翼型内各圆弧中点的连线。

翼弦（chord): 中线两端的连线，常作为翼型基线。

对称翼型：中线与弦线重合的翼型。

厚度（thicheness)ｔ：翼弦的垂线与翼型上下表面交点之间的最大距离。

相对厚度：翼厚与弦长之比。

bt t =展长l一般来说，翼型的厚度与翼弦相比要小得多，许多实用场合中翼展比翼弦大得多。

展弦比：λ= 翼展的平方/翼面积Ｓ S l 2=λ对于矩形机翼： bl lb l S l ===22λ 水翼λ＝５～７。

船用舵λ＝0.5～1.5。

λ＜２称小展弦比机翼。

λ＞３称大展弦比机翼。

λ＝∞，无限翼展机翼，即为二元机翼。

二.有限翼展机翼：实际上机翼的展弦比均为有限值，故流动是三维的。

对于无限翼展机翼，可近似用一根无限长的涡线（涡线有Γ）来代替，称附着涡。

而对于有限翼展机翼，却不能用有限长附着涡来代替机翼，因为这样旋涡会在流体内终止。

对于有限翼展机翼，由于下翼面压力大于上翼面：上翼面下翼面上下上翼面流线向中间偏移，下翼面流线相反。

上下压差作用下产生自由涡。

自由涡与附着涡联成Π形涡。

由海姆霍兹定理已知Π形涡Γ＝常数。

图片三.下洗和诱导阻力：如图，对于矩形机翼上任一点Ａ，坐标为ｙ，用半无穷直线涡公式得左自由涡在该点所诱导的速度：yv z π4Γ-= 左自由涡产生的沿翼展的平均诱导速度为： ⎰+=le e z i dy v l w 1因左右对称，整个机翼下面的平均诱导速度为： ⎰+=le ez i dy v l w 2e l e l y dy l dy y lw le e le ei +Γ-=Γ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ-=∴⎰⎰++ln 2242πππ 左、右翼端涡在机翼下面产生的平均诱导速度，方向向下，称为下洗速度，或称为下滑速度。

来流速度与下洗速两速度矢相加： w V V +=∞ 式中V 为实际（有效）来流速度。

V 的方向与翼弦的夹角为： i e ααα-= 式中αe 为有效攻角，αi 为下洗角或下滑角。

下洗角可由下式计算：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∞-V w i i 1tan α 因为Ｗi 向下故为负值。

库塔—儒柯夫斯基力为： Γ='V L ρ力L ´在升力和阻力方向的投影分别为： i i iV R V L αραρsin cos Γ=Γ=一般地，下洗速度W i 很小，即αi 很小，故有： i i i αααtan sin ≈≈ 这时： ∞-≈V w ii α下洗角：， Γ≈∞V L ρ升力：， Γ-=≈i i i w L R ρα诱导阻力：。

如果在翼端装上当板，限制绕流，可减小诱导阻力，如图所示：§7.4 升力线理论一.有限翼展机翼的升力模型：实际有限翼展机翼沿翼展方向的剖面的形状，安装角度有变化，各个截面环量也变化。

如图，用Π形涡系代替单一的Π形涡，附着涡在翼展上迭合在一起形成升力线，Π形涡系的自由涡连成一整体而形成涡面。

虽然每根Π形涡环量不变，但沿翼展不同截面有数目不同的Π形涡，所以沿翼展环量是变化的。

二.有限翼展机翼的升力线理论：λ＞２：大展弦比机翼。

λ＜２：小展弦比机翼或短翼。

λ＞２时机翼的附着涡系可用一根涡丝来代替，这根涡丝通常称为升力线（liftline）。

升力线理论：以升力线为理想模型的计算机翼动力特性的理论。

引入两点假定：(1)自由涡面是平面，延伸至无穷远而不翻卷成两股大涡，自由涡面旋涡角速度矢量平行来流。

(2)翼面上横向流动很小，任一剖面处可作平面流动处理，三元效应仅考虑各翼剖面处下洗速度和下洗角的不同。

这就是“简单的切片理论”方法：点产生的下洗速度为：的涡丝在升力线上处强度为y d d d d d ηηηηη)(Γ'=Γ=Γ ηηηπ-Γ'=y d dw i )(41沿展向积分得整个自由涡在y 处的诱导速度： ⎰--Γ'=22)(41ll y d w i ηηηπ对于小攻角，下洗角αi 为小量，有： ∞-≈V w ii α 宽度为dy 的一段机翼的二维升力为： dy y V dL )(Γ=∞ρ 按定义升力垂直于来流： dy y V dL dL i )(cos Γ==∞ρα 诱导阻力： dy y w dL dR i i i )(tan Γ-==ρα 整个机翼的升力和诱导阻力：⎰-∞Γ=22)(ll dy y V L ρ ⎰⎰⎰---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-Γ'Γ-=Γ-=222222)()(4)()(4l l l l ll dy y d y dy y y w R i i ηηηπρπρ可见,要求出诱导阻力,必须要知道沿翼展的速度环量分布。