2017-2018学年度上学期高三第一次大练习数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}|(1)(3)0A x x x =+-<，{}|10B x x =-≥，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}|13x x x ≤-≥或B ．{}|1x x ≤C ．{}|13x x x <≥或D ．{}|1x x ≤-2.已知复数z 满足111121z i i=++-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．15B ．15iC ．15-D ．15i -3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ） A ．5B ．34C ．41D ．524.下列说法中正确的是（ ）A ．若一组数据1、a 、3的平均数是2，则该组数据的方差是23B ．线性回归直线不一定过样本中心点(,)x yC ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50m +，100m +，150m +，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样5.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -= B ．221916x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -=6.设有下面四个命题：①“若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题 ②若p ：x R ∀∈，20x>，则p ⌝：0x R ∃∈，020x <③“1a >，1b >”是“1ab >”的充分不必要条件 ④若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题 A ．3B ．2C ．1D ．07.已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴正半轴交点的横坐标依次构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，则下列叙述不正确的是（ ）A ．()g x 的图象关于点(,0)2π-对称 B ．()g x 的图象关于直线4x π=对称C ．()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．()g x 是奇函数8.我国南宋著名数学家秦九昭发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为2222221()42a c b S a c ⎡⎤+-=-⎢⎥⎣⎦．若2sin 4sin a C A =，22()12a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为（ ）A ．2B ．3C ．3D ．69.函数2()(1)cos 1xf x x e =-+的部分图象大致为（ ） 10.运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，(0,)x ∈+∞是增函数的概率为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．3711.已知等边三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是（ ） A ．2π B ．3πC ．74πD ．94π12.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足||||PA m PF =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．21+B ．212+ C ．51-D ．512- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，(1,2)AB =-，(2,1)AD =，则AD AC ⋅= ．14.若实数x ，y 满足20,,3,x y y x y x -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为 ．15.曲线ln y x x =在点(1,(1))P f 处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ． 16.已知函数1()()xx f x x e e=-，则使()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足13122n n S a a =-（*n N ∈），且11a -，22a ，37a +成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令92log n n b a =，11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况及因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期 1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x ()C ︒ 10 11 13 12 8 6 就诊人数y （个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：现从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：1122211()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xnxx x ====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）参考数据：1125132912268161092⨯+⨯+⨯+⨯=，22221113128498+++=．19.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，点D 、E 在线段AC 上，且2AD DE EC ===，4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且//EF BC ．（1）证明：AB ⊥平面PFE ；（2）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长．20.设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为(2,0)-，且椭圆C 与直线632y x =+相切． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点(0,1)P 的动直线与椭圆C 交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得7OA OB PA PB λ⋅+⋅=-恒成立？请说明理由．21.已知a R ∈，函数2()ln(1)2f x x x ax =+-++．（1）若函数()f x 在[1,)+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；（2）令1a =-，b R ∈，已知函数2()2g x b bx x =+-，若对任意1(1,)x ∈-+∞，总存在2[1,)x ∈-+∞，使得12()()f x g x =成立，求实数b 的取得范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标为1ρ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ．（1）若曲线2C ：1,2x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线1C 相交于两点A ，B ，求||AB ；（2）若M 是曲线1C 上的动点，且点M 的直角坐标为(,)x y ，求(1)(1)x y ++的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|||21|f x x m x =++-（m R ∈）． （1）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）设关于x 的不等式()|21|f x x ≤+的解集为A ，且3,24A ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数m 的取值范围．2017-2018学年度上学期高三第一次大练习数学（文）答案一、选择题1-5:DCDAB 6-10:CCBBA 11、12：DA二、填空题13.5 14.4 15.12 16.1(,1)3三、解答题17.解：（1）由13122n n S a a =-得123n n S a a =-，由123n n S a a =-得()111232n n S a a n --=-≥. 两式相减得()132n n a a n -=≥.又1231,2,7a a a -+成等差数列，∴213417a a a =-++.即11112197a a a =-++. 解得13a =．∴数列是以3为首项公比为3的等比数列，即3n n a =．（2）由992log log 3nn n b a n ===，得11111(1)1n n n C b b n n n n +===-++． ∴11111122311n nT n n n =-+-++-=++． 18解：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A .因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都 是等可能出现的，其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种 ，∴51()153P A ==．(2)由数据求得11,24x y == 由公式求得187b = 再由307a y bx =-=-.∴y 关于x 的线性回归方程为183077y x =-. (3)当10x =时,1507y =, 150|22|27-<； 同样, 当6x =时,787y =, 212778<-. ∴该小组所得线性回归方程是理想的.19．（1）证明：∵DE =EC =2，PD =PC ，∴点E 为等腰PDC ∆边DC 的中点，∴PE AC ⊥.又∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC =BC ，PE ⊂平面P AC ，PE AC ⊥， ∴PE ⊥平面ABC . ∵AB ⊂平面ABC ，∴PE AB ⊥.∵90ABC ∠=，//EF BC ，∴EF AB ⊥. 又∵,PE EF ⊂平面PFE ，PE EF E =.∴AB ⊥平面PFE .（2）解：设BC =x ，则在Rt ABC ∆中，22236AB AC BC x =-=-.∴2113622ABC S AB BC x x ∆=⋅=-. 由//EF BC 得23AF AE AB AC ==，AFE ∆∽ABC ∆，∴224()39AFE ABC S S ∆∆==，即49AFE ABC S S ∆∆=， 由12AD AE =得2114213622999AFD AFE ABC ABC S S S S x x ∆∆∆∆==⨯==-. ∴四边形DFBC 的面积为2221173636362918ABC AFD S S S x x x x x x ∆∆=-=---=-四边形DFBC .由（1）知PE ⊥平面ABC .，∴PE 为四棱锥P DFBC -的高.在Rt PEC ∆中，22224223PE PC EC =-=-=.∴2117362373318P DFBC DFBC V S PE x x -=⋅=⨯-⨯=四棱锥四边形. ∴42362430x x -+=.解得29x =或227x =. 由于0x >，因此3x =或33x =.∴ BC =3或33BC =.20．解:（1）根据题意可知2a =，∴22214x y b+=，由椭圆C 与直线632y x =+相切，联立得22214632x y b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 可得：()22261263640b x x b +++-=，0∆=，即()()()222126463640b b -+-=，解得：20b =(舍)或3，∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）假设存在常数λ满足条件。